安徽省高级中学人教版高中数学选修1-1教案:2.4.2 抛物线的简单几何性质

长丰县实验高中 2016 ~2017 学年第一学期高二年级数学(文科) 集 体 备 课 教 案 项目 内容 修改 2.4.2 抛物线的简单几何性质 与创 (共 1 课时) 新 知识与技能:使学生理解并掌握抛物线的几何性质,能运用抛物线 的标准方程推导出它的几何性质,同时掌握抛物线的简单画法。 过程与方法:通过对抛物线的标准方程的研究,得出抛物线的几何 课题 教学 目标 性质,并应用抛物线的性质解决有关抛物线的实际问题,培养学生的数 形结合、转化与化归的能力,提高我们的综合素质。 情感、态度与价值观:使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本 方法,加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解,这样才能解决 抛物线中的弦、最值等问题. 教学 重点:抛物线的几何性质及初步运用. 重、 难点:抛物线的几何性质的应用 难点 教学 多媒体课件 准备 教学 过程 (一)复习 1.抛物线的定义是什么? 2.抛物线的标准方程是什么? 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p >0)出发来研究它的几何性质. (二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y2=2px(p>0)为例,用 小黑板给出下表,请学生对比、研究和填写. 填写完毕后,再向学生提出问题:和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛 物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐 近线. (2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和 焦点的连线重合,抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义 作比较.其结果是应规定抛物线的离心率为 1.注意:这样不仅引入了 抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了. (三)应用举例 为了加深对抛物线的几何性质的认识,掌握描点法画图的基本方法,给 出如下例 1. 例1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 求抛物线的方程。 解:因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 程是 y2=4x. 后一部分由学生演板,检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情 况. 第一象限内的几个点的坐标,得: (2)描点作图 描点画出抛物线在第一象限内的一部分,再利用对称性,就可以画出抛 物线的另一部分(如图). 例2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3, m)到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方 因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离 得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x. 又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=(-8)*(-3). 解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意 在抛物线上且|MF|=5,故 本例小结: (1)解法一运用了抛物线的重要性质: 抛物线上任一点到焦点的距离(即此 点的焦半径)等于此点到准线的距离.可得焦半径公式:设 P(x0, 这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌 握. (2)由焦半径不难得出焦点弦长公式:设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦 点弦),若 A(x1,y1)、B(x2,y2)则有|AB|=x1+x2+p.特别地:当 AB⊥x 轴, 抛物线的通径|AB|=2p. 例3 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1,y1)、B(x2,y2). 证明: (1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为: 此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y2y2=-p2. 或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点, 本例小结: (1)涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一 个变量,得到关于另一变量的一元二次方程,然后用韦达定理求解,这 是解决这类问题的一种常用方法. (2)本例命题 1 是课本习题中结论,要求学生记忆. (四)课堂练习 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 若 x1+x2=6,求|AB|的值. 2.证明:与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点. (五)课时小结: 1.抛物线的几何性质; 2.抛物线的应用. (六)布置作业 1.在抛物线 y2=12x 上,求和焦点的距离等于 9 的点的坐标. 2.有一正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2px 上,另一顶点在原点,求 这个三角形的边长. 3.如图是抛物线拱桥的示意图,当水面在 l 时,拱顶高水面 2m,水面 宽 4m,水下降 11m 后,水面宽多少? 4.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 2.4.2 1、范围 板书 2.对称性 设计 3.顶点 4.离心率 例1 抛物线的简单几何性质 例2 教学 反思 通过表格把三种圆锥曲线进行比较,让学生更深刻地理解它们的区别与联 系,有利于学生更好地掌握相关概念和性质,并灵活应用。

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