第二章 §3 计算导数_图文

理解教材新知
第 二 章

§3

把握热 点考向

考点一 考点二 考点三

应用创新演练

对于函数y=-x2+2.
? 1? 问题1:试求f′(1),f′?-2?. ? ?

-?1+Δx?2+2-?-1+2? 提示:f′(1)= lim Δx Δx→0 = lim (-2-Δx)=-2.
Δx→0

? 1? f′?-2?= lim ? ? Δx→0
Δx→0

? 1 ? ? 1 ? 2 -?-2+Δx? +2-?-4+2? ? ? ? ?

Δx

= lim (1-Δx)=1.

问题2:求f′(x0)的值.
-?x0+Δx?2+2-?-x2 0+2? 提示:f′(x0)= lim = lim (- Δx Δx→0 Δx→0 2x0-Δx)=-2x0.
? 1? 问题3:利用f′(x0)可求f′(1)和f′?-2?吗? ? ?

1 提示:可以.只要令x0=1,x0=- . 2

问题4:若x0是一变量x,则f′(x)还是常量吗? 提示:因f′(x)=-2x,说明f′(x)不是常量,其值随自变量x 而改变.

1.导函数 若一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导

f?x+Δx?-f?x? lim Δx 数,导数值记为f′(x):f′(x)= Δx→0



则f′(x)是关于x的函数,称 f′(x)为f(x) 的导函数,简称为

导数 .

2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数 y=c(c是常数) 导函数 y′=0 函数 导函数 y=sin x y′= cos x y=cos x y′= -sin x

α- 1 y=xα(α为实数) y′= αx

y=ax (a>0, a≠1) y=loga

y′=

axln a
x

特别地(ex)′= e

1 2 y=tan x y′= cos x 1 2 sin x y=cot x y′=-

1 y′=xln a 特别 1 x(a>0,a≠1) 地(ln x)′= x

1.f′(x)是函数f(x)的导函数,简称导数,它是一个 确定的函数,是对一个区间而言的;f′(x0)表示的是函数 f(x)在x=x0处的导数,它是一个确定的值,是函数f′(x)的 一个函数值.

2.对公式y=xα的理解:
(1)y=xα中,x为自变量,α为常数; (2)它的导数等于指数α与自变量的(α-1)次幂的乘积, 公式对α∈R都成立.

[例1] 求函数f(x)=x2+5x在x=3处的导数和它的导函数.

[思路点拨]
即可得f′(3).
[精解详析]

先用导函数的定义求f′(x),再将x=3代入
?x+Δx?2+5?x+Δx?-?x2+5x? f′(x)= lim Δx Δx→0

2Δx· x+?Δx?2+5Δx = lim Δx Δx→0 = lim (2x+Δx+5)=2x+5.
Δx→0

∴f′(3)=2×3+5=11.

[一点通]

利用定义求函数y=f(x)的导函数的一般步骤:

(1)确定函数y=f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数; (2)计算Δy=f(x+Δx)-f(x); (3)当Δx趋于0时,得到导函数 f?x+Δx?-f?x? f′(x)=Δ lim . x→0 Δx

1.利用导数定义求f(x)=1的导函数,并求f′(2),f′(3). Δy 解:Δy=f(x+Δx)-f(x)=1-1=0, =0. Δx
Δy Δx趋于0时, 趋于0. Δx 所以f′(x)=0. 所以有f′(2)=0,f′(3)=0.

2.求函数y= x的导函数.

解:Δy= x+Δx- x, x+Δx- x Δy 1 = = , Δx Δx x+Δx+ x Δy 所以y′= lim = lim Δ x → Δx 0 Δx→0 1 1 = . x+Δx+ x 2 x

[例2]

求下列函数的导数.
13

(1)y=x ,(2)y= x,(3)y=log3x,(4)y=

4

1 5 x2

.

[思路点拨]

(1)(3)直接套用公式,(2)(4)先将分式、

根式转化为幂的形式,再求解.

[精解详析] 4

(1)y′=(x13)′=13x13 1=13x12;


1 1-1 1 -3 (2)y′=( x)′=(x )′= x 4 = x 4 ; 4 4
1 4

1 (3)y′=(log3x)′= ; xln 3 ? 1 ? ? ? (4)y′=? 5 ?′=(x 2 ? x? 2 =- x 5
2 - -1 5 - 2 5

)′

2 -7 =- x 5 . 5

[一点通]

求简单函数的导函数有两种基本方法:

(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难 度.解题时根据所给函数的特征,将题中函数的结构进行调 整,再选择合适的求导公式.

?π ? 3.函数y=sin?2-x?的导数是________. ? ?

?π ? 解析:y=sin?2-x?=cos ? ?

x,所以y′=-sin x.

答案:-sin x

4.若f(x)=x2-ex,则f′(-1)=________.
解析:f′(x)=2x-ex,∴f′(-1)=-2-e-1. 答案:-2-e-1

5.求下列函数的导数: (1)y=x
2 012

3 3 2 x ;(2)y= 3;(3)y=5 ;(4)y= x . x

解:(1)y′=(x2 012)′=2 012x2 011;
?3? (2)y′=?x3?′=-9x-4; ? ?

(3)y′=(5x)′=5xln 5;
2 1 ? ? - 2 3 (4)y′=( x2)′=? x ?′= x 3 3 ? ?

3

.

[例3]

点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直

线y=x的最小距离.

[精解详析 ]

根据题意设平行于直线 y

=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0), 该切点即为与 y=x 距离最近的点,如图. 则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1, 即 f′(x0)=1. ∵y′=(ex)′=ex, ∴ex0=1,得 x0=0,代入 y=ex,y0=1,即 P(0,1). 2 利用点到直线的距离公式得最小距离为 . 2

[一点通]

利用基本初等函数的求导公式,结合导数

的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问
题.解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题, 利用导数求解.

3 6.y=x 上切线斜率为 的切点为________. 4
3

3 1 1 解析:y′=3x ,令3x = ,解得x= 或- ,分别 4 2 2
2 2

1 1 代入y=x 得,y= 或y=- . 8 8
3

?1 1? ? 1 1? ∴所求点为?2,8?,?-2,-8?. ? ? ? ?
?1 1? ? 1 1? 答案:?2,8?或?-2,-8? ? ? ? ?

7.求曲线f(x)=sin

?π x在点P? ?3 , ?

3? ? 处的切线的斜率, 2? ?

并求切线方程.
解:f′(x)=cos
?π? 1 1 ? ? x,f′ 3 = ,所以切线的斜率为 , 2 ? ? 2

3 1? π? 切线方程为y- = ?x-3 ?,即3x-6y-π+3 3=0. 2 2? ?

8.已知直线y=kx是y=ln x的一条切线,求k的值.
解:设切点坐标为(x0,y0). 1 1 ∵y=ln x,∴y′=x.∴f′(x0)= =k. x0 ∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,
? ?y0=kx0, ∴? ? ?y0=ln x0,

① 1 把k= 代入①式得y0=1, x0 ②

再把y0=1代入②式求出x0=e. 1 1 ∴k= = . x0 e

1.f′(x0)与f′(x)的异同: 区别 f′(x0) 联系

f′(x0)是具体的值, 在x=x0处的导数f′(x0) 是数值 是导函数f′(x)在x=x0处

f′(x)是f(x)在某区
f′(x)

的函数值,因此求函数

间I上每一点都存在 在某一点处的导数,一 导数而定义的一个 新函数,是函数 般先求导函数,再计算 导函数在这点的函数值.

2.在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公 式时应注意的问题: (1)对于公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x, 一是注意函数的变化,二是注意符号的变化. 1 (2)对于公式(ln x)′=x和(ex)′=ex很好记,但对于 1 公式(logax)′= 和(ax)′=axln a的记忆就较难,特 xln a 别要注意ln a所在的位置.


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