【数学】北师大版必修四:2.3.2《平面向量基本定理》ppt课件_图文

3.2 平面向量基本定理

? ?? ?? ? 思考:(1)向量 a 是否可以用含有 e ,e 的式子 2 1

? ?? ?? ? (2)若向量 a 能够用 e , e 2 表示,这种表示是否唯 1
一? 请进入本节课的学习!

来表示呢?怎样表示?

1.了解平面向量基本定理及其意义.(重点)

2.了解基底的含义.
3.会用任意一组基底表示指定的向量.(难点)

?? 探究点一:设a, b是同一平面内的两个不共线的向量, ? ? ? ? ? ? ??? ? 用平行四边形法则作出a+b, a+2b, 2a+b (用AC来表示)

?? 探究点二:设a, b是同一平面内的两个不共线的向量, ? ? ?? c是这一平面内的向量,我们能否把c用a,表 b 示出来?

1. 2.过点C作平行于OB的直线,
与直线OA相交于M;
M A C

过点C作平行于OA的直线,
与直线OB相交于N;
???? ? ???? ??? ? 则 OM ? ON ? OC
O

B

N

???? ???? ? 3.又 OM 与 OA

共线,
M

???? ON

??? ? 与 OB

共线.
C

A O

B

N
???? ? ???? OM ? λ1 OA,

所以有且只有一个实数λ 1,使得

???? ??? ? 有且只有一个实数λ 2 ,使得 ON ? λ 2 OB, ? ? ? ??? ? ???? ??? ? 即 OC ? λ1 OA ? λ 2 OB,亦即 c ? λ1 a ? λ 2 b.

平面向量基本定理

?? ?? ? 我们把不共线的向量 e1, e 2 叫作表示这一平面内所 有向量的一组基底.
? ?? ? ? ?? ? 特别地: λ 1=0,λ 2≠0时, a ? λ 2 e2 ,a与e 2 共线. ? ?? ? ?? a ? λ1 e1 ,a与e1 共线. λ 1≠0,λ 2=0时,

? ? λ 1=λ 2=0时, a ? 0.

思考1:在平面向量基本定理中,为什么要求向 ? ? ? 量e1, e2 不共线?0 可以作为基底吗?

思考2:平面向量的基底唯一吗?

提示:平面向量的基底不唯一,只要两个向
量不共线,都可以作为平面向量的一组基底.

?? e1

?? ? e2

C B

(2)作平行四边形OACB
A

O

例2

如右图所示,平行四边形ABCD的

? ??? ? ? ??? ? ? b 两条对角线相交于点M,且AB ? a,AD ? b,

D M
? a

C B

???? ? ???? ???? ???? ? ?? 用 a,b 表示 MA,MB,MC和MD.

A

分析:因为ABCD为平行四边形,可知M为AC与BD

的中点.所以 ???? ???? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? MC ? ?MA, MB ? ?MD, AC ? AB ? AD ? a ? b,
???? 1 ??? ? MC ? AC, 2

???? 1 ??? ? MB ? DB, 2

??? ? ??? ? ??? ? ? ? DB ? AB ? AD ? a ? b.

解:在平行四边形ABCD中,因为

? b

D M
? a

C

A

B

所以

又因为 所以


注意:我们在做有关向量的题目时,要先找清楚
未知向量和已知向量间的关系,认真分析未知与

已知之间的相关联系,从而使问题简化.

??? ? 分析:求OP,由图可知

??? ? ??? ? 解:因为AP=tAB , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB ? OA) ??? ? ??? ? =( 1-t) OA+tOB . 说明:同上题一样,我们要找到与未知相关联的
量来解决问题,避免做无用功!

N F

A M

E
G

??? ? ???? 1 | AF |?| AG | ? sin 30? ? 100 ? ? 50(N), 2

???? 因为 | AG |=10(kg)×10(m/s2)=100(N),

??? ? ???? 3 ? | AE |?| AG | ? cos30 ? 100 ? ? 50 3(N), 2 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以,| AM |?| AF |? 50N,| AN |?| AE |? 50 3 N.
答:物体所受滑动摩擦力大小为50N,方向与斜面平行向 上;所受斜面支持力大小为 50 3N, 方向与斜面垂直向上.

D
A

F E B

C

1.下列说法中,正确的有( ②③ )
①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示

该平面所有向量的基底;
②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表 示该平面所有向量的基底; ③零向量不可以为基底中的向量.

2.如图,在△ABC中, AN= 若 AP = A.
9 11

1 3

NC,P是BN上的一点,

2 mAB+ 11

AC,则实数m的值为( D ) C.
2 11

B.

5 11

D.

3 11

分析:由已知△ABC中, AN= NC,P是BN上的一点, ? 设BP=λBN后,我们易将AP表示为(1-λ) AB+ 4AC 的形式,根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ, m的方程组,解方程组后即可得到m的值.

1 3

3.如图,已知梯形ABCD,AB∥CD,且AB=2DC,M,N分别

是DC,AB的中点.请大家动手,从图中的线段AD,AB,BC,
DC,MN对应的向量中确定一组基底,将其他向量用这 组基底表示出来.
D M

C

A

N

B

??? ? ?? ??? ? ?? ? ??? ? 1 ?? 解:取 AB ? e1 , AD ? e 2为基底,则有DC ? e1 ; 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ? 1 ?? ? 1 ?? ?? BC ? BA ? AD ? DC ? ?e1 ? e 2 ? e1 ? ? e1 ? e 2 , 2 2 ???? ? ???? ? ???? ???? ? 1 ?? 1 ?? ?? ? 1 ?? ?? MN ? MD ? DA ? AN ? ? e1 ? e 2 ? e1 ? e1 ? e 2 . 4 2 4

1.平面向量基本定理 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共

线向量的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其
几何特点即可解题. 2.基底 (1)零向量不能作基底. (2)平面中的任意不共线向量都可以作为基底,一 旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一

的.

不用相当的独立功夫,不论在哪个严重的

问题上都不能找出真理;谁怕用功夫,谁
就无法找到真理. ——列宁


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