八(上)13[1].1~13.2平方根、立方根

中小学个性化教育专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号

学员编号: 学员姓名: 课 授课时间: 教学目标 题

年 级:初 二 辅导科目:数 学 13.1~13.2 平方根、立方根

课时数: 3 课时 学科教师:

备课时间: 1. 平方根、立方根的概念和性质; 2. 算术平方根,算术平方根的非负性的应用. 1. 重点:①平方根、立方根的概念和性质;②算术平方根. 2. 难点:①平方根、立方根的概念和性质;②算术平方根. 平方根和立方根是实数知识的基础,中考中多在填空题和选择题中出现,用来考查它 们的概念、性质、简单的运算.所以我们要准确掌握平方根、立方根的概念和性质,以及 算术平方根 a(a≥0)的非负性. 教学内容

重点、难点

考点及考试要求

知识梳理: 1. 平方根的概念 (1)如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a 的平方根.即:x2=a,x 叫 a 的平方根. (2)数 a(a≥0)的平方根记作± a,读作“正负根号下 a” ,其中 a表示 a 的正的平方根,- a表示 a 的负
2

的平方根; “ a”实际上省略了 a中的 2,2 叫做根指数,a 叫做被开方数. 2. 平方根的性质 (1)正数有两个平方根,它们互为相反数. (2)0 的平方根只有一个,还是 0. (3)负数没有平方根. 3. 算术平方根 一个正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,0 的算术平方根还是 0. (1)算术平方根的定义表明,只要是非负数就一定有算术平方根. (2)算术平方根是平方根的一种. (3)非负数的算术平方根还是非负数. a(a≥0), a≥0 4. 立方根的概念 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根,即:x3=a,则 x 叫做 a 的立方根,表示为 a.
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中小学个性化教育专家 5. 立方根的性质 (1)一个正数有一个正的立方根. (2)一个负数有一个负的立方根. (3)0 的立方根是 0. 6. 互为相反数的立方根之间的关系:互为相反数.
3 3

-a=- a,也就是说一个负数的立方根,可以先求它的相反数的立方根,再取相反数. 7. 开方: (1)求一个数的平方根的运算叫开平方 (2)求一个数的立方根的运算叫开立方. 8. 常见的非负数的类型: ︱a︱,a2, a(a≥0) 9. 注意事项 (1)要加强对平方根和算术平方根概念的理解,进一步明确非负数 a 的算术平方根是 a,而平方根是± a. (2)计算化简时要谨慎细心,如求 81的平方根,需先算出 81=9,求 81的平方根就是求 9 的平方根,而不 是求 81 的平方根. (3)真正领会负数没有平方根.

典型例题:
例 1:下列计算不正确的是( ) A. 4 =±2 C. 3 0.064 =0.4 A 点拨: 4 =2.
2 B. ( ?9) ? 81 =9

D. 3 ?216 =-6

例 2:已知 x,y 是实数,且 3x ? 4 +(y-3) =0,则 xy 的值是( )
2

A.4

B.-4

C.

9 4

D.-

9 4

B 点拨:3x+4=0 且 y-3=0.

例 3: .利用平方根、立方根来解下列方程. (1) (2x-1) -169=0;
2

(2)4(3x+1) -1=0;

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中小学个性化教育专家 (3)

27 3 x -2=0; 4
2

(4)

1 3 (x+3) =4. 2

解: (1) (2x-1) =169,2x-1=±13, 2x=1±13,∴x=7 或 x=-6. (2)4(3x+1) =1, (3x+1) =
2 2

1 , 4

1 1 ,3x=-1± , 2 2 1 1 x=- 或 x=- . 2 6 27 3 4 3 (3) x =2,x =2× , 4 27 8 2 3 x= ,x= . 27 3
3x+1=± (4) (x+3) =8,x+3=2,x=-1.
3

例 4: .已知 x ? a ?b M 是 M 的立方根, y ? 3 b ? 6 是 x 的相反数,且 M ? 3a ? 7 ,请你求出 x 的平方根. 解:由条件得, ?

?a ? b ? 3 ,所以 M ? 8 , ,故 x 的平方根是 ? 2 . ?(b ? 6) ? (3a ? 7) ? 0

例 5:将半径为 12cm 的铁球熔化,重新铸造出 8 个半径相同的小铁球,不计损耗,?小铁球的半径是多少厘米?(球 的体积公式为 V=

4 ? R3) 3

解:设小铁球的半径是 rcm, 则有

4 4 ? r3×8= ? ×123,r=6, 3 3

∴小铁球的半径是 6cm. 点拨:根据溶化前后的体积相等. 练习: 一. 选择题 1. 2 的平方根是 ( ) A. 4 B. 2 C. - 2

D. ± 2

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中小学个性化教育专家 2.计算 4的结果是 A. 2 B. ±2 ( ) C. -2 D. 4

3. 下列说法中正确的是 ( ) A. 1 的平方根是 1 B. 1 是 1 的平方根 C. -1 是-1 的平方根 D. 0 没有平方根 4. 下列式子中,正确的是 ( 2 A. (-2) =-2B. ± 4=2 5. 下列说法正确的是 A. 27 的立方根是±3 C. -2 是-8 的立方根
3

) C. 4=±2 D. 22=2



) 27 3 B. - 的立方根是 64 4 D. -27 没有立方根

6. 若 (k-4)3=4-k,则 k 的取值范围为 A. k≥4 B. k≤4



) D. k 为任何数

C. k=4

7. 估算 19+2 的值是在 ( ) A. 5 和 6 之间B. 6 和 7 之间 C. 7 和 8 之间 D. 8 和 9 之间 8. 当 x=-3 时,± x2的值是 A. -3 B. ±3 ( ) C. 3

D. ±9 )

9. 一个数的算术平方根等于它本身,则这个数是 ( A. 1 和-1 B. 1 和 0 C. 1 D. 1,0,-1 10. 若 4a+1有意义,则 a 能取的最小整数是 ( A. 0 B. 1 C. -1 D. -4 11. 如果 a的平方根是±2,那么 a 的值是 ( A. 4 B. 16 C. ±4 D. ±16 ) )

12. 一个自然数的算术平方根为 a,则它的下一个自然数的算术平方根是 A. a+1 B. a+1 C. a+1 D. a2+1 二. 填空题 1. 16的算术平方根是__________,3 的算术平方根是__________. 2. 如果 x2+1=6,且 x>0,则 x=__________.





3. 计算:( 4)2=__________, (-5)2=__________,( a)2=__________(a≥0) .

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中小学个性化教育专家 4. 正方体的表面积是 150cm2,则正方体的棱长是__________. 5. 一个数的算术平方根等于这个数的立方根,这个数是__________. 6. 比较大小:7__________ 50. (填>、<或=) 7.化简 (-4)2=_________. 8.已知 a、b 为两个连续整数,且 a< 7<b,则 a+b=__________. 9. (如果 2a-18=0,那么 a 的算术平方根是__________. 10. 一个正数的平方根是 2a 与 a-1,则这个正数是__________. 11. 若︱a︱=3, b2=2,且 ab<0,则 a-b 的值是__________. 12. (2007 年河南)已知 x 为整数,且满足- 2≤x≤ 3,则 x=__________. 13. 当 x__________时, 3-x有意义; x+ -x=__________. 三. 解答题 1. 求下列各数的平方根和算术平方根 121 (1) (2)0.0081 49

4 (3)(- )2 5 2. 求下列各数的立方根. (1)0.001 (2)-216

(4)14

3 (3)3 8

(4)-3

3. 求下列各式中的 x. (1)9x2-256=0

(2)4(2x-1)2=25

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中小学个性化教育专家 4. 已知:(1-2a)2+ b-2=0,求 ab 的值.

5. 若 3x+16 的立方根是 4,求 2x+4 的算术平方根.

四. 实际应用题 1. 计划用 100 块地板砖来铺设面积为 16m2 的客厅,求所需的正方形地板砖的边长是多少米?

2. 已知第一个正方体纸盒的棱长是 6cm,第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大 127cm3,求第二个正 方体纸盒的棱长.

课后作业: 1.9 的算术平方根是( ) A.-3 B.3 C.±3 D.81

3.下列说法中不正确的是( ) A.9 的算术平方根是 3 C.27 的立方根是±3 4. 3 64 的平方根是( ) A.±8 B.±4 C.±2 D.± 2
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B. 16 的平方根是±2 D.立方根等于-1 的实数是-1

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1 的平方的立方根是( ) 8 1 1 A.4 B. C.8 4

D.

1 4

6.

16 的平方根是_______;9 的立方根是_______. 81

7.一个自然数的算术平方根是 x,则它后面一个数的算术平方根是( ) A.x+1 B.x +1
2

C. x +1

D. x2 ?1

8.若 2m-4 与 3m-1 是同一个数的平方根,则 m 的值是( ) A.-3 B.1 C.-3 或 1 D.-1

8.求下列各数的平方根 ⑴ ( 3)2 ? 1 ⑵3

1 16

⑶0

⑷ ?1

2

10.求下列各数的立方根: ⑴ ?2

10 27



1 64

⑶0

⑷?

1 8

答案: 练习:
一. 选择题 1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 二. 填空题 1. 2, 3 1,0,1 三. 解答题 2. 5 3. 4,5,a 4. 5cm 5. 0 或 1 6. < 7. 4 8. 5 9. 3 10. 4 9 11. 5 或-5 12. - 6. C 7. B 8. B 9. B 10. A 11. B 12. D

13. ≤3,0

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中小学个性化教育专家 11 11 1. (1)平方根是:± ,算术平方根是: 7 7 (2)平方根是:±0.09,算术平方根是:0.09 4 4 (2)平方根是:± ,算术平方根是: 5 5 (2)平方根是:± 14,算术平方根是: 14 2. (1)0.1 (2)-6 (3) 256 16 3. (1)x2= ,x=± 9 3 5 5 7 5 3 (2)把 2x-1 作为一个整体,则 2x-1=± .当 2x-1= 时,x= ;当 2x-1=- 时,x=- 2 2 4 2 4 4. ∵(1-2a)2≥0, b-2≥0,又(1-2a)2+ b-2=0,∴(1-2a)2=0, b-2=0,∴1-2a=0,b-2 1 =0,∴a= ,b=2,∴ab=1. 2 5. ∵3x+16 的立方根是 4,∴3x+16=43,∴x=16,∴2x+4=36,∴2x+4 的算术平方根是 36=6. 四. 实际应用题 1. 每块正方形地砖的面积是 16÷100=0.16(m2) ,∴所需的正方形地砖的边长为 0.16=0.4(m) . 3 3 3 2. 第一个正方体的体积是 6 =216(cm ) ,第二个正方体的体积是 216+127=343(cm ) ,∴第二个正方体的棱长
3 3 3 (4)- 3 2

是 343=7(cm) . 课后作业:

1.B 5.D 6.± 7.D
2

3.C 点拨: (-

4.C 点拨: 3 64 =4,故 4 的平方根为±2.

1 2 1 1 1 )= ,故 的立方根为 . 8 4 64 64

2 3 , 9 3
点拨:这个自然数是 x ,所以它后面的一个数是 x +1,
2 2

则 x +1 的算术平方根是 x2 ?1 . 8. B 9.⑴±2 10.⑴ ? ⑵?

3 4

7 4 1 ⑵ 4

⑶0 ⑶0

⑷没有平方根 ⑷?

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