20170715-Boost变换器在电阻负载下的小信号传递函数

Boost 变换器在电阻负载下的小信号传递函数
普高(杭州)科技开发有限公司 张兴柱 博士

用等效电源平均法,可获得 Boost 变换器在电阻负载和 CCM 下的两个等效子电路,分别如 图 1(b)和图 1(c)所示。其中图 1(b)为稳态等效子电路,图 1(c)为小信号等效子电路。

L

iL (t )

RL
S

vd (t )
is (t )
D

vo(t )
RC

vg (t )

ig (t )

Ig L
?oL (t ) i

IL

RL

DV o
S D

Vo IoL
RC

C

R

Vg

DIL
(b)

C
稳态等效子电路

R

(a) Boost 变换器

Ls
?g ( s ) v

?L ( s ) RL i
S

? ( s ) + Dv ?o( s ) Vod
D

?o( s ) v
R
?oL ( s ) i

RC
1 Cs

? ( s ) + Di ?L ( s ) ILd
(c)

小信号等效子电路

图 1: Boost 变换器和它的等效平均电路模型

用图 1(b)的稳态等效子电路,可以求出 Boost 变换器在电阻负载和 CCM 下的稳态关系。 因 RL << R ,故在稳态关系中,可将其忽略。求得的稳态关系为: 稳态关系

Vo = MVg IL = MIoL Ig = MIoL 1 M = 1? D
用与 Buck 变换器相同的求解技巧,可以求出 Boost 变换器在稳态工作点上的小信号传递函 数:

Gvd ( s ) =

( Vg ( 1 ? s ω a) 1 + s ωzc) 1 1 + s ωzc , Gvg ( s ) = 2 2 2 D′ 1 + s Qωo + s 2 ωo 2 D′ 1 + s Qωo + s ωo RL (1 + s ωzL )(1 + s ωzc ) D′2 1 + s Qωo + s 2 ωo 2 2Vg 1 + s ωzp1 1 1 + s ωzp , Gig ( g )( s ) = 3 2 2 2 D′ R 1 + s Qωo + s ωo D′ R 1 + s Qωo + s 2 ωo 2
1 1 + s ωzc D′2 R(1 + s Qωo + s 2 ωo 2 ) 1 或 = Z in ( s ) = Gig ( g )( s ) (1 + s ωzp ) D′ 1 + s Qωo + s 2 ω 0 2
1

Zout ( s ) =

Gid ( g )( s ) =

Gii ( g )( s ) =

Gid ( s ) =

2Vg 1 1 + s ωzp 1 + s ωzp1 , Gig ( s ) = 2 3 2 2 D′ R 1 + s Qωo + s ωo D′ R 1 + s Qωo + s 2 ωo 2

Gii ( s ) =

1 1 + s ωzc D′ 1 + s Qωo + s 2 ωo 2

其中: D′ = 1 ? D , ωo =

D′ 2 R 1 D′ ,Q = , ωa = L RL L LC ωo[ 2 + ( Rc + 2 )C ] D′ R D′

ωzL =

RL 1 2 1 , ωzc = , ωzp = , ωzp1 = RCC L RC RC

从 Boost 变 换 器 在 CCM 下 的 控 制 占 空 比 对 输 出 电 压 的 小 信 号 传 递 函 数 , 即

Gvd ( s ) =

Vg ( 1 ? s ω a) ( 1 + s ωzc) ,可以看出,它比 Buck 变换器增加了一个右半平面的 2 D′ 1 + s Qωo + s 2 ωo 2

单零点 ωa =

D′ 2 R 。另外其双极点的频率和右半平面单零点的频率还与输入的稳态占空比 L

有关,随稳态输入电压的变化而变化,是一种移动的双极点和移动的右半平面单零点,再一 个就是右半平面单零点的频率在重载时比在轻载时要低, 与负载有关。 所有这些表明, Boost 变换器在电压型控制时的补偿器设计要比 Buck 变换器困难很多,如果采用同样的补偿器结 构,则其的带宽就不容易做高,或者说 Boost 变换器的动态性能不如 Buck 变换器好。幸运 的是目前 Boost 变换器基本上被用在 AC-DC 中的前置端 PFC 功率变换电路或 DC-AC 中的 蓄电池升压电路,而这些环节因为只是一个前置端电路,其动态可以很慢,所以 Boost 变换 器本身动态性能不好的特性不显得那么要紧。 用 DCM 下的等效电源平均法,可同样求得 Boost 变换器在 DCM 下的稳态关系和小信号传 递函数。它们是: Boost 变换器在 DCM 下的稳态关系: 稳态关系

Vo = MVg IL = MIoL Ig = MIoL

M=

2 Lfs 1 + 1 + 4D2 / K , D = K M ( M ? 1) , K = 2 R

Boost 变换器在 DCM 下的小信号传递函数(共给出四个) :

Gvd ( s ) = Gvd 0

(1 ? s ω ′a ) (1 + s ωzc ) 1 + s ωzc , Gvg ( s ) ≈ Gvg 0 , ( 1 + s ω ′p1) ( 1 + s ω ′p1)
2

1 + s / ω ′p1 1 + s ωzc , Zin ( s ) ≈ Zin 0 Zout ( s ) ≈ R 0 ( 1 + s ω ′z1 1 + s ω ′p1)
其中: ωzc =

R 1 2M ? 1 1 1 , ω ′a = , ω ′p1 = , ω ′z1 = (1 ? )ω ′p1 2 RCC M M L RC M ? 1
R M ?1 M ?1 2Vo , R0 = R , Zin 0 = 2 M 2M ? 1 KM (2 M ? 1)

Gvg 0 = M , Gvd 0 =

如果采用三端 PWM 开关模型来推导 Boost 变换器在 DCM 下的小信号传递函数,还可以获 得第二个左半平面单极点,它的频率是: ω ′p 2 = 2 fs (

1 ?1/ M 2 ) ,这个单极点的位置在 D

f′ p2 >

fs

π

,DCM 的深度越深,该极点的频率就越高。正是因为该极点的频率很高,所以通

常在分析时,可以将其忽略。因而采用等效电源平均法或状态空间平均法求得的 Boost 变换 器在 DCM 下的一阶小信号传递函数是可以用来进行动态分析的。 从 Boost 变换器在 DCM 下的控制占空比对输出电压的小信号传递函数,即

Gvd ( s ) = Gvd 0

(1 ? s ω ′a ) (1 + s ωzc ) ,可以看出,它比 Buck 变换器在 DCM 下的该小信号传 ( 1 + s ω ′p1)

递函数, 也增加了一个右半平面的单极点 ω ′a =

R 。 不过当 Boost 变换器工作在 DCM 时, M 2L

这个右半平面单极点的频率一般会较高,对闭环后系统的动态性能影响会较小。

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