湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.1平面向量基本定理学案 新人教A版必修4

湖南省湘潭市凤凰中学 2014 年高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学 案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 1.平面向量基本定理; 2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示;能够在具体问题中适当地 选取基底,使其他向量都能够用基底来表示. 3.掌握两个向量夹角的定义以及 两向量垂直的定义. 【重点、难点】重点难点:平面向量基本定理的理解与应用. 自主学习案 【知识梳理】 1. 平面向量 基本定理: _________________________________________________________________________________ ________________________________________________ ___________ (1)我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)基底 给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数. 2. 向量的夹角 ( 1 )已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则 ∠AOB = θ ( 0≤θ≤π )叫 a 与 b 的 .

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(2)当 θ=0 时, a 与 b
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;当 θ =π 时, a 与 b

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(3)当 θ= 2 时, a 与 b 垂直,记

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; .

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点, 夹角的范围

【预习自测】 1.设 e1 , e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A. e1 , e2 一定平行 C B. e1 , e2 的模相等

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a ? ? e1 ? ? e2 ( λ 、μ ∈R)

?

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-1-

D.若 e1 , e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a ? ? e1 ? ? e2 (λ 、μ ∈R) 2. 已知非零不共线向量 a 与 b , m, n ? R, 且ma ? nb ? 0, 则 ( A. a ? b ? 0

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) D.m=0, b ? 0

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B.m=n=0

C.n=0, a ? 0

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3. 已知不共线向量 a 与 b 长度分别为 4 和 3, | a ? b |? 5, 则 a和b 的夹角为 【我的疑问】

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.

合作探究案 【课内探究】 例 1. 已知向量 e1 , e2 求作向量?2 e1 +3 e2 .

e2 e1

例2.已知向量 e1 , e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y) e1 +(2x-3y) e2 =6 e1 +3 e2 ,求 x-y 的值.

变式:已知向量 m+n=

? a ? e1 ? 2e2
.



b ? 2e1 ? e2 , c ? 2e1 ? 3e2 ,



? ? a ? mb ? nc,



-2-

例 3.如图,平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C, 线段 BC 上有 一点 M 满足 BC=3BM, 线 段 CD 上有一 点 N 满足 CD=3CN,设 OA ? a , OB ? b , 试用 a , b 表示OM , ON .

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变 式 : 如 图 所 示 , 在 平 行 四 边 形 OADB 中 ,M,N 分 别 为 DC,BC 的 中 点 , 已 知

AM ? c, AN ? d , 试用 c, d , 表示 AB, AD.
M

D

C

N A B

【当堂检测】 1. 已 知 向 量

? a ? e1 ? 2e2




b ? 2e1 ? e2 ,

其 中 e1 , e2 不 共 线 , 则 a ? b 与

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c ? 6e1 ? 2e2 , 的关系(
A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

2. 已知 a , b 不共线,且 c ? ?1a ? ?2b (λ 1,λ 2∈R),若 c 与b 共线,则 λ 1=

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.

3. 已知 λ1 > 0 , λ2 > 0 , e1 , e2 是一 组基底,且 a ? ?1e1 ? ?2 e2 , 则 a 与 e1 _____ , a 与

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e2 _________(填共线或不共线).
-3-

4.等边△ABC 中, AB 与 BC 的夹角是 课后练习案 1. ① ② ③ A. 2. 下面三种说法正确的是( ) 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底; 一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底; 零向量不可为基底中的向量. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

? ? ? ? ? ? e ? 0 , ? ? R , a ? e ? ? e , b ? 2e1 , 若 a 已知向量 1 , e2 ? 0, , b 共线,则下 1 2
列关系中一定成立的是( ) C. e1 // e2 D. e1 // e2 或 ? ? 0

A. ? ? 0

? B. e2 ? 0

3. 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,下列向量组: ①

AD, AB

② DA, BC

③ CA, DC



OD, OB


其中可以作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是 4.已知向量 e1 , e2 不共线,向量 a

?

? ? 3e1 ? 2e2 , b ? ?2e1 ? e2 , c ? 7e1 ? 4e2 , 试用 a ,

? ? b 表 示 c.

5.△ABC, D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 上的中点, 已知 AB = a ,AC = b , 用 a ,b 表示 DE ,

?

?

?

?

EF , AE .

-4-


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