2013届安徽高考数学模拟试卷

2013 届高考数学模拟试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分 钟.

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 a ? bi 22 1 0 ) a (易、 改编) (文) 1. 已知 i 是虚数单位, 和 b 都是实数, a (1 ? i ) ? 12 ? bi , ( 且 则 a ? bi 等于( ) A. i B. ? i C. 1 D. ? 1 a ? bi 1? i )? ?i ,故 【 解 析 】 C 根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 a ? b ? 12 , ( a ? bi 1? i a ? bi 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) ?i ? 1. a ? bi e 1 ?? dx ?i 1 x (易、 原创)(理) 1. 已知 i 是虚数单位, 在复平面内, 复数 对应的点位于 ( ) i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
王新敞
奎屯 新疆

【解析】A

??

e

1 x i

dx ?i ?

1

?1 ? i i

?

( ? 1 ? i )i i
2

? ? ( ? i ? i ) ? ? ( ? i ? 1) ? 1 ? i ,在复平面中
2

对应于点 (1,1) ,选 A. (易、原创)2.设全集 R,M= x x ? 1 ? ( ) .

?

1 2 , x ? R ,N= ? , 2 ,3, 4? ,则 ? C R M ? ? N 等于

?

1 A. ? , 2 ,3, 4?
【解析】 :C

B. ?2 ,3, 4?

C. ?3, 4?

D. ?4 ?

∵M= x x ? 1 ?

?

2 , x ? R ,∴ ?C R M ? ? N = ?3, 4? ,选C.
?

?

(中、原创)3.(文)在 ? ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ? ABC ? 60 , AD 为 BC 边上 ???? ??? ? ??? ? 的高, O 为 AD 的中点,若 AO ? ? AB ? ? BC ,则 ? ? ? 的值为
A.

【解析】 :. A

D .1 ???? ???? 建立如图所示的平面直角坐标系,由题意,知 | BD |? 1 , | AD |?
3 4
6

2

B.

3

C.

5

3,

???? ???? ??? ? 3 ) , AB ? ( ? 1, ? 3 ) , | DC |? 2 , ∴ AO ? (0, ? 2 ??? ? BC ? (3, 0) ,
???? ??? ? ??? ? ∵ AO ? ? AB ? ? BC , (0, ? ∴

3 2

) ? ? ( ? 1, ? 3 ) ? ? (3, 0) ,

? 1 ? ? ? ? ? 3? ? 0 ?? ? 2 2 ? ? 即? ,解得 ? ,∴ ? ? ? ? . 故选 A. 3 3 ?? ? 1 ? ? 3? ? ? ? ? 6 ? ? 2
2 2 2 2

(中、原创)3.(理) 抛物线 x ? 16 y 的准线与双曲线
2

y a

?

x b

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一

条渐近线交点的横坐标为 ?8 ,双曲线 ( ) B. 3
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的 离 心 率 为

A. 2

C.2

D. 5

【解析】 D 依题意知抛物线 x ? 16 y 的准线为 y ? ? 4 ,双曲线的一条渐近线与直线 y ? ? 4 交 :.
a b 1 2
a ?b
2 2

点横坐标为 ? 8 ,所以交点坐标为 ( ? 8, ? 4 ) (-4,4) ,故

?

,e ?

a

2

?

5.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (易、 改编) (文)已 知 x 、 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 4. y ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

y A

则 z=x +y 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 ( A. 13, 1 B.13, 2 C.13,
2 2

2

2

) D . 13 ,
2 5 5

4 5

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0

【解析】C 如 图 , 作 出 可 行 域 , x + y 是 点 ( x , y ) 到 原 点 的 2 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A( 2,3) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| =13, 4 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x+ y- 2=0 的 距 离 的 平 方 , 即 为 , 选 C. 5 ?x ? y ? 2 ? 0 2 2 x ? y ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? (中、改编)4.(理) 实数 x , y 满足 ? 的取值范围是 ( ) xy ?y ?2 ? 0 ? 5 5 10 10 1 A. [2, ] B. [ , ] C. [2, ] D. [ , 4] 2 3 3 4 2 y 【解析】C 在坐标平面上点 ? x , y ? 所表示的区域如图所示,令 t ? ,根据几何意义, t 的 x 值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率,显然点 A , B 是其中的两个临界值,点 A ? 3,1 ? , 点 B ?1, 2 ? ,故
1 3 ? t ? 2 ,u ?

x ? y
2

2

xy

?t?

1

?1 ? ,这个关于 t 的函数在 ? ,1 ? 上单调递减、在 t ?3 ?

?1, 2 ? 上单调递增,故其最小值为 2 ,最大值为两个端点值中的大者,计算知最大值为

10 3



? ax 2 ? 1 ? x ? 0 ? ? (中、原创)5.(理)已知函数 f ? x ? ? ? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的 x ? ( a ? 2) e ? x ? 0 ? ?

取值范围是( A. (2, 3]

) B. (2, ?? ) C. ( ?? , 3] D. (2, 3)

?a ? 0 ? 【解析】 A 若 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 ,解得 2 ? a ? 3 ;若 f ( x ) 在 R 上单 ?a ? 2 ? 1 ? ?a ? 0 ? 调递减,则有 ? a ? 2 ? 0 , a 无解,综上实数 a 的取值范围是 (2, 3] . ?a ? 2 ? 1 ?

(中、原创)5.(文)若函数 f ( x ) ? log a ( x ? ax ? 3)( a ? 0 且 a ? 1) ,满足对任意的 x 1 、
2

x 2 ,当 x1 ? x 2 ?

a 2

时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为( B. (1, 3 ) C. ( 0 , 1) ? (1, 2 3 )
a 2

) D. (1, 2 3 )

A. ( 0 , 1) ? (1, 3) 【解析】 D

“对任意的 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 ?

时, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ”实质上就是“函
a 2

2 数单调递减” ,同时还隐含了“ f ( x ) 有意义”.事实上由于 g ( x ) ? x ? ax ? 3 在 x ?

时递

? a ? 1, ? 减,从而 ? a 由此得 a 的取值范围为 (1, 2 3 ) .故选 D. ? g ( ) ? 0. ? 2

(中、改编)6. (理)已知数列 { a n } 、 {b n } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a 1 、

b1 , a 1 ? b1 ? 5 , 1 , b1 ? N * . c n ? a bn( n ? N * ) 则数列 { c n } 的前 10 项和等于 a 且 设 , (
A.55 【解析】 C B.70 C.85 D.100



数列 { a n } 、 {b n } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a 1 、 b1 ,且

a 1 ? b1 ? 5 , a 1 , b1 ? N * . 设 c n ? a bn ( n ? N * ) 则 数 列 { c n } 的 前 10 项 和 等 于 ,
a b1 ? a b2 ? ? ? a b10 = a b1 ? a b1 ?1 ? ? ? a b1 ? 9 , a b1 ? a1 ? ( b1 ? 1) ? 4 ,∴ ab1 ? ab1 ?1 ? ? ? a b1 ? 9

= 4 ? 5 ? 6 ? ? ? 13 ? 85 ,选 C. (易、 改编) (文) 6. 已知等比数列 ? a n ? 中 a 2 ? 1 , 则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是( A. )

? ?? , ? 1?

B. ? ?? , 0 ? ? ?1, ?? ?

C. ? 3, ?? ?

D. ? ?? , ? 1? ? ? 3, ?? ?

? 1? 1 【解析】D ∵等比数列 ? a n ? 中 a 2 ? 1 ∴ S 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 2 ? 1 ? q ? ? ? 1 ? q ? q? q ?

∴当公比 q ? 0 时, S 3 ? 1 ? q ?

1 q

? 1? 2 q ?

1 q

? 3;

? ? 1? 1? 当公比 q ? 0 时, S 3 ? 1 ? ? ? q ? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ? 1 q? ? ? q?

∴ S 3 ? ? ?? , ? 1? ? ? 3, ?? ?

故选 D.

(中、经典题)7.(文) 已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的半径为 1,则 该几何体表面积为( ) A. 46 ? ? B. 46 ? 2? C. 46 ? 3? D.52

【解析】B
S ? (2 ? 4 ? 1 2

? ) ? 2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3? ? 46 ? 2? .

(易、原创)7.(理) 如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f ? x ? ? sin x ? x ? ? 0, ? ? ? 及 直线 x ? a ? a ? ? 0, ? 率为
1 4

? ? 与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概

2? 3

,则 a 的值是


3? 4 5? 6

A.

7? 12

B.

C.

D.
? cos x ? 6

【解析】B
cos a ? ? 1 2

由几何概型可知,

?

a

a 0 ? 1 4

sin xdx 6

0

,所以

,又 a ? ?0 , ? ? ,所以 a ?

2? 3

.

? ? ? ? (中、改编)8.若将函数 y ? tan ? ? x ? ? ? ? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位长度后,与 6 4? ?

? ? ? 函数 y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为( 6? ?

)

A.

1 6

B.

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

【解析】D

? ? 向右平移 6 个单位 ? ? ? ? ? ? y ? tan ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? ta n ? ? x ? ? ? 4? 6 4 6? ? ?
?
6 ? ? ? 6k ? 1 2 ( k ? Z ) ,又? ? ? 0 ? ? min ?
2

?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

1 2

.故选 D.
2 2

(易、原创)9.若 a , b ? R ,命题 p : a ? b ? 1 ;命题 q : 直线 y ? ax ? b 与圆 x ? y ? 1 相 交,则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
? a?0 b ? 2 2 ? 1 即 a ? b ? 1 ,显然由 【解析】A 命题 p 等价于 ? b ? 1 ,命题 q 等价于 2 1? a ?a 2 ? b2 ? 1 ? 命题 p 可得命题 q ,反之不真.

(中、原创) (文)10.已经一组函数 y ? 2 sin( ? x ? ? )( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,其中 ? 在集 4? 5? ? ? 2? { 合 2、 3、 4} 中任取一个数,?在集合{3,2, 3 ,π, 3 , 3 ,2π}中任取一个数.从这些 函数中任意抽取两个,其图象能经过相同的平移后得到函数 y=2sinωx 的图象的概率是 ( ) 8 A.21 1 B.3 4 C.105 1 D.30
21 ? 20 2 ? 210 种不

【解析】C 这一组函数共有 3×7=21 个,从中任意抽取两个函数共有

? 同的方法,其中从这些函数中任意抽取两个,向右平移6个单位得到函数 y=2sinωx 的 ? 图象有 3 种取法;向右平移3个单位得到函数 y=2sinωx 的图象也有 3 种取法;向右平 2? ? 移2个单位得到函数 y=2sinωx 的图象有 1 种取法;向右平移 3 个单位得到函数 y= 2sinωx 的图象也有 1 种取法;故所求概率是
3? 3?1?1 210 ? 4 105

.

? x ? 1 ? 3 cos ? (中、原创)10.(理)设曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方 ? y ? ? 1 ? 3 sin ?

程为 x ? y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 2 的点的个数为 A.1 B.2 C.3
2 2

( D.4



【解析】B 化曲线 C 的参数方程为普通方程: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 9 ,圆心 ?1, ? 1 ? 到直线
x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

4 2

? 2 2 ? 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行的直线和圆的两

个交点符合要求,又 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 ,在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求,所以 选 B.

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. (易、改编)11.(文)阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值 为 . ? 2? 2009? ? ? ? sin 【解析】0 该程序的功能是计算 sin ? sin 3 3 3 的值,根据周期性,这个算式中每连续 6 个的值等于 0 ,故这个值 ? 2? 3? 4? 5? ? sin ? sin ? sin ?0. 等于前 5 个的和,即 sin ? sin 3 3 3 3 3 (中、原创)11.(理) 已知 a 为如图所示的程序框图输出的结果,
1 ? ? 则 二 项 式 ?a x ? ? x? ?
6

的 展 开 式 中 含 x2 项 的 系 数

是 . 【解析】 ? 192 . 程序框图运行时周期性变化,当 i ? 2010 时, a ? 2, : 所以输出的结果为 a ? 2. Tr ?1 ? C
5 1 2
r 6

?a x ?

6?r

1 ? ? r 6?r r 3? r ?? ? ? ? ? 1? 2 C 6 x , 显 x? ?

r

然 T2 ? ? 2 C 6 x , 含 x 2 项的系数是 ? 192 . (中、改编)12. 在 ? ABC 中,已知 a , b , c 分别 ? A , ? B , ? C 所对的边, S 为
? ? ? ?? ? ABC 的面积, 若向量 p ? (4, a 2 ? b 2 ? c 2 ) , ? (1, S ) 满足 p / / q , ? C ? 则 q

.
2 2

【解析】
C ?

?
4

显然有 S ?

a ?b ?c
2 2

2

4

1 a ?b ?c a ?b ?c , sin C ? ? cos C , ,所以 ab sin C ? 2 4 2 ab
2 2 2 2

. 4 (中、原创)13(理) 在平面直角坐标系中,已知双曲线 C 的中心在原点,它的一个焦点坐

?

标为 ( 5 , 0) , 其中 op ? m e1 ? n e 2( m , n ? R ) 则 m , n 满足的一个等式是 , 【解析】 4 mn ? 1 . 线方程为 y ? ?

.

? ? 因为 e1 ? (2,1) 、 e 2 ? (2, ? 1) 是渐进线方向向量,所以双曲线渐近

1 2

x ,又 c ?

5 ,? a ? 2 , b ? 1 双 曲 线 方 程 为

x

2

4

? y ?1 ,
2

? op ? m e1 ? n e 2 = ( 2 m ? 2 n , m ? n ) ,

(2m ? 2n ) 4

2

? (m ? n ) ? 1 , 化简得 4 mn ? 1 .
2

(易、改编)13. (文)以点 A ( 0 , 5 ) 为圆心、双曲线 准方程是
2

x

2

16

?

y

2

9

? 1 的渐近线为切线的圆的标

.
2

【解析】x ? ( y ? 5 ) ? 16

双曲线的渐近线方程为:y ? ?

3 4

x , A 到它们的距离 d=4, 点

所以圆的半径为 4. (中、原创)14.某校对高一男女学生共 1000 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个 容量为 200 的样本. 已知女生比男生少抽了 10 人, 则该校的女生人数应是 人. 200 200 ? y? ? 10 , y ? 475 . 【解析】475 男生 x , 女生 y , 则 x ? y ? 1000 , x ? 1000 1000 (难、改编)15.(理)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果 ? a , b ? S , 有 ab ? S ,则称 S 关 于数的乘法是封闭的. 若 T , V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T ? V ? Z 且 ? a , b , c ? T , 有 abc ? T ; ? x , y , z ? V , 有 xyz ? V ,有结论① T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 ; ② T , V 中至多有一个关于乘法是封闭的;③ T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 ; ④ T , V 中每一个关于乘法都是封闭的.其中结论恒成立的是 【解析】① .

因为 T ? V ? Z ,故必有 1 ? T 或 1? V ,不妨设 1 ? T ,则令 c ? 1 ,依题意对 ..

? a , b ? T ,有 ab ? T ,从而 T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选 A 了,但为了严

谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取 T ? N ,则 V 为所有负整 数组成的集合,显然 T 封闭,但 V 显然是不封闭的,如 ( ? 1) ? ( ? 2) ? 2 ? V ;同理,若
T ? { 奇数 } , V ? { 偶数 } ,显然两者都封闭,所以只有①正确.

(难、改编)15.(文)在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [k],即[k]={5n+k 丨 n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2012∈[1] ②-4∈[1]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中正确的结论是 . 【解析】 ②③④ ①2012=2010+2=402×5+2∈[2],不正确;由-4=-5+1∈[1]可知②正确;根 据题意信息可知③正确;若整数 a,b 属于同一类,不妨设 a,b∈[k]={5n+k 丨 n∈Z},则 a=5n+k,b=5m+k,n,m 为整数,a-b=5(n-m)+0∈[0]正确,故②③④正确. 三、解答题:本大题共 16 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (易、改编)16.(理)(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c. m ? (1,1),

n?(

3 2

? sin B sin C , cos B cos C ), 且 m ? n.

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1, b ?
3c. 求 S
3 2
△ABC.

【解析】(Ⅰ)? m ? n ?

? sin B sin C ? cos B cos C ? 0

?????? 2 分

? cos( B ? C ) ? ?

3 2

即 ? cos A ?

3 2

?????? 4 分 ?????? 5 分 ?????? 7 分

? A 为 ? ABC 的内角,? 0 ? A ? ?
?A?

?
6

(Ⅱ) 若 a ? 1, b ?
1 2

3c. 由余弦定理 b ? c ? a ? 2 bc ? cos A 得 c ? 1
2 2 2 2

?? 10 分

所以 S ? ABC ?

bc ? sin A ?

3 4

c ?
2

3 4

?????? 12 分

(易、改编)16.(文)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) ?
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2

,当 f (B ) 取最大值

3 2

时,判断△ ABC

的形状. 【解析】 (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 1 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA= . 2 ∵ 0<A<π , (或写成 A 是三角形内角) ? ∴A? . 3 (Ⅱ) f ( x ) ?
3 sin x 2 cos x 2 ? cos
2

????????3 分 ????????4 分 ????????6 分
1 2 1 2

x 2

?

3 2

sin x ?

cos x ?

???????7 分

? sin( x ?

? 6

)?

1 2



????????9 分

∵A? ∴
? 6

? 3

∴ B ? (0,
? 6 ? 5? 6

2? 3

)

?B?

???????10 分

∴当 B ? 又∵ A ? ∴C ?
?

? 6 ?

?

? 2

,即 B ?

? 3

时, f ( B ) 有最大值是

3 2



????????11 分



3

3 ∴△ ABC 为等边三角形.

????????12 分

(中、改编)17.(文) (本题 12 分) 2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震,地震引起了海啸及核泄漏.,某国际组织用分层抽样 的方法从心理学家,核专家,地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作,有 关数据见表 1(单位:人) 。 表 1: 相关人员数 抽取人数 x 心理专家 24 y 核专家 48 地质专家 72 6 核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响,随机选取了 110 只羊进行了 检测,并将有关数据整理为不完整的 2 ? 2 列联表(表 2). 表 2: 高度辐射 轻微辐射 合计 身体健康 30 A 50 身体不健康 B 10 60 合计 C D E 附:临界值表 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82 k0 2 6 1 4 5 9 8 2 0.15 0.10 0.05 0.02 0.01 0.00 0.001 P ( M ? k0 ) 5 0 5 参考公式: K ?
2

; ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d ) (I)求研究小组的总人数; (Ⅱ)写出表 2 中 A、B、C、D、E 的值,并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身 体不健康有关; (III)若从研究团队的心理专家和核专家中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人为心理专家的概率. 72 48 24 【 解 析 】 I ) 依 题 意 , ? ? , 解 得 x ? 2,y ? 4. 研 究 团 队 的 总 人 数 为 2 ? 4 ? 6 ? 1 2 ( 6 y x 人. ?????4 分 (Ⅱ)根据列联表特点得 A ? 20, B ? 50, C ? 80, D ? 30, E ? 110 .?????8 分
? 7.486 ? 6.635 .?????9 分 50 ? 60 ? 80 ? 30 由临界值表知,有 99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关. (III)设研究小组中心理专家为 a1 、 a 2 ,核专家为 b1 、 b 2 、 b3 、 b 4 ,从中随机选 2

n ( ad ? bc )

2

可求得 M

2

?

110 ? (30 ? 10 ? 50 ? 20)

2

人,不同的结果有:a1 a 2 、a1 b1 、a1 b 2 、a1 b3 、a1 b 4 、a 2 b1 、a 2 b 2 、a 2 b3 、a 2 b 4 、b1 b 2 、
b1 b3 、 b1 b 4 、 b 2 b3 、 b 2 b 4 、 b3 b 4 ,共 15 种.

?????10 分

其中恰好有 1 位来自心理专家的结果有: a1 b1 、 a1 b 2 、 a1 b3 、 a1 b 4 、 a 2 b1 、 a 2 b 2 、
a 2 b3 、 a 2 b 4 共 8 种.所以恰好有 1 人来自心理专家的概率为 P ?
8 15

.

?????12 分

(中、改编)17.(理) (本题 12 分) 在 如 图 的 多 面 体 中 , EF ⊥ 平 面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. A (Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值. 【解析】(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / / BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ?????2 分 ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB , EB ? EF ? E , EB , EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG , EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ?????????8 分 ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . ?????????9 分 解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB ,AE ? 平面 AEB ,BE ? 平面 AEB , EF ?AE ,EF ? BE , ∴ 又 AE ? EB , ∴ EB , EF , EA 两两垂直. ????????5 分 ?????????5 分 ?????????6 分
B A E

D

F

G

C

D

E

H

F

B

G

C

???????4 分

?????????7 分

以点 E 为坐标原点, EB , EF , EA 分别为 x , y , z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , , C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , , G (2,2,0). ??????????6 分 ???? ???? ∴ EG ? (2, 2, 0) , BD ? ( ? 2, 2, 2) ,???7 分
???? ???? ∴ BD ? EG ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,
x

z
A
D

E

F

y

B

G

C

∴ BD ? EG . ??????????8 分 ??? ? (Ⅲ)由已知得 EB ? (2, 0, 0) 是平面 EFDA 的法向量.

??????????9 分

???? ??? ? 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,∵ FD ? (0, ? 1, 2), FC ? (2,1, 0) ,
???? ? ? FD ? n ? 0 ?? y ? 2 z ? 0 ? ∴ ? ???? ? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? ( ? 1, 2,1) . ????????10 分 FC ? n ? 0 ?2 x ? y ? 0 ? ?

设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? ,
??? ? ?2 6 则 cos ? ? cos ? n , EB ?? , ?? 6 2 6

??????????11 分

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?

6 6

.

????????12 分

(中、改编)18.(文)(本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 G—ABCD 中, (如右图)ABCD 是正方形,且边长为 2, 面 ABCD⊥面 ABG,AG=BG. D (I)在四棱锥 G—ABCD 中,过点 B 作平面 AGC 的垂线, 若垂足 H 在 CG 上,求证:面 AGD⊥面 BGC (II)在(I)的条件下,求三棱锥 D—ACG 的体积 及其外接球的表面积. A 【解析】 (I)ABCD 是正方形 ∴ BC⊥AB ∵面 ABCD⊥面 ABG ∴ BC⊥面 ABG ???? 2 分 ∵AG ? 面 ABG ∴ BC⊥AG 又 BH⊥面 AGC ∴ BH⊥AG?????????4 分 ∵ BC ? BH=B ∴ AG⊥面 AGD ∴面 AGD⊥面 BGC ??????????6 分 (II)由(I)知 AG⊥面 BGC ∴AG⊥BG 又 AG=BG ∴ △ABG 是等腰 Rt△,取 AB 中点 E,连结 GE,则 GE⊥AB ∴ GE⊥面 ABCD 1 1 1 1 2 3 2 ∴ V D ? ACG ? VG ? ACD ? ? GE ? S ACD ? ? ? 2 a ? ? (2 a ) ? a 3 3 2 2 3 1 AC 又 AG ? GC ∴ 取 AC 中点 M,则 M G ? 2

C

B G
正前方

………………8 分

因此: MG ? MA ? MC ? MD ? 半径为 2a ∴
2

2a
2

即点 M 是三棱锥 D—ACG 的外接球的球心, ……………………12 分

S ? 4? R ? 8? a

(中、改编)18(理) (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 中 a1 ? 3 ,已知点 ? a n , a n ?1 ? 在直线 y ? x ? 2 上. (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? a n ? 3 ,求数列 ? b n ? 的前项和 Tn .
n

【解析】 (Ⅰ)? 点 ( a n , a n ?1 ) 在 直 线 y ? x ? 2 上 ,
? a n ?1 ? a n ? 2, 即 a n ?1 ? a n ? 2 …………………………………………………2 分 ? 数 列{a n }是 以 3为 首 项 ,以 2为 公 差 的 等 差 数 列 ,……………………………3 分 ? a n ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2 n ? 1 ……………………………………………………… 5 分

(Ⅱ)? bn ? a n ? 3 ,? bn ? (2 n ? 1) ? 3
n 3 3

n

? Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? 7 ? 3 ? ? ? (2 n ? 1) ? 3 ? 3Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? (2 n ? 1) ? 3 3
2 3 n 2 3 n ?1

n ?1

? (2 n ? 1) ? 3
n ?1

n

①………6分 ②…………8 分

? (2 n ? 1) ? 3

由①-②得 ? 2 Tn ? 3 ? 3 ? 2(3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? (2 n ? 1) ? 3
n

n ?1

…………… 10 分

? 9?2?

9(1 ? 3

n ?1

)

1? 3
n ?1

? (2 n ? 1) ? 3

n ?1

? ?2n ? 3

? Tn ? n ? 3

n ?1

……………………12 分

(中、改编)19.(文) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? a ) ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x ) 的单调区间; (III)若关于 x 的方程 f ( x ) ? ? 取值范围.
5 2 x ? b 在区间(0,2)有两个不等实根,求实数 b 的

【解析】 (I)由已知得 f ?( x ) ?
1? a

1 x?a

? 2x ?1 ?

1 ? 2 x( x ? a) ? ( x ? a) (x ? a)

? f ?( x ) ? 0

? 0? a ? 1 a 1 ? 2 x ( x ? 1) ? ( x ? 1) (II)由(1)得 f ?( x ) ? x ?1 3 ? 2 x( x ? ) 2 ( x ? ? 1) ? x ?1

?

………………3 分

………………5 分 ………………6 分 ………………7 分

由 f ?( x ) ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 0

? f ( x ) 的单调递增区间为(—1,0) ,单调递减区间为 ( 0 , ?? ) ……………8 分

(III)令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ? 则 g ?( x ) ?
1 x ?1 ? 2x ? 3 2

5 2

x ? b ) ? ln( x ? 1) ? x ?
2

3 2

x ? b , x ? (0,2 )

令 g ?( x ) ? 0 得 x ? 1或 x ? ?

5 4

(舍) , ………………10 分

当 0 ? x ? 1 时 g ?( x ) ? 0 ,

当 1 ? x ? 2时 g ?( x ) ? 0即 g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上递增,在(1,2)上递减 方程 f ( x ) ? ?
x ? b 在区间 ( 0 , 2 ) 上有两个不等实根等价于函数 g ( x ) 在(0,2)上有 2 两个不同的零点. ………………11 分
? g (0) ? 0 ? ? ? g (1) ? 0 ? ? g (2) ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 1 ? ? ln 2 ? ? b ? 0 ? 2 ? ? ln 3 ? 1 ? b ? 0 ? ?b ? 0 ? 1 ? ? b ? ln 2 ? 2 ? ? b ? ln 3 ? 1 ?

5

2 (中、改编)19.(理) (本小题满分 13 分)

? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1

即实数 b 的取值范围为 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 2

…………13 分

已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ?

1? a x

, ( a ? R).

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在 ?1, e ? ( e ? 2.718... )上存在一点 x 0 ,使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立,求 a 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ? ln x , f ?( x ) ? 1 ?
1 x ? x ?1 x

???????1 分 , ?????????2


x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)

1 0 极小

(1, ?? )

?????????3 分



+

所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 1. (Ⅱ) h ( x ) ? x ?
h ?( x ) ? 1 ? 1? a x
2

?????????4 分

1? a x
2

? a ln x ,
? ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] x
2

?

a x

?

x ? ax ? (1 ? a ) x
2

?????????6 分

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ? 1 时,在 (0,1 ? a ) 上 h ?( x ) ? 0 ,在 (1 ? a , ?? ) 上 h ?( x ) ? 0 , 所以 h ( x ) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a , ?? ) 上单调递增; ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ? 1 时,在 (0, ?? ) 上 h ?( x ) ? 0 , 所以,函数 h ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增. (III)在 ?1, e ? 上存在一点 x 0 ,使得 f ( x 0 ) ? g ( x 0 ) 成立,即 在 ?1, e ? 上存在一点 x 0 ,使得 h ( x0 ) ? 0 ,即 函数 h ( x ) ? x ? 由(Ⅱ)可知 ①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ( x ) 在 ?1, e ? 上单调递减, 所以 h ( x ) 的最小值为 h (e) ,由 h (e) ? e ? 因为
e ?1
2

?????????7 分

???8 分

1? a x

? a ln x 在 ?1, e ? 上的最小值小于零.

???????9 分

1? a e

? a ? 0 可得 a ?

e ?1
2

e ?1



e ?1

? e ? 1 ,所以 a ?

e ?1
2

e ?1



?????????10 分

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h ( x ) 在 ?1, e ? 上单调递增, 所以 h ( x ) 最小值为 h (1) ,由 h (1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ? 2 ; ?????????11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h ( x ) 最小值为 h (1 ? a ) , 因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a ) ? a 故 h (1 ? a ) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a ) ? 2

此时, h (1 ? a ) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?
e ?1
2

?????????12 分 或 a ? ?2 . ???????13 分

e ?1

(难、改编)20.(文) (本小题满分 13 分) 已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m ) 2 ? y 2 ? 5 ( m ? 3) 与椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0) 有一

个公共点 A(3,1) F1.F2 分别 是椭圆的左.右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. , (I)求 m 的值与椭圆 E 的方程;
??? ???? ? (II)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的范围.

y P

A

【解析】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m ) 2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1. ??????2 分

F1

O

C Q

F2

x

圆 C: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4 k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
11 2 1 2 36 11
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k ?1
2

?

5.

??????4 分

解得 k ? 当 k= 当 k=

,或k ?

. ,不合题意舍去. ??????5 分

11 2 1 2

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为

时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,

∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F .2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18, b2=2.椭圆 E 的方程为:
??? ?

x

2

?

y

2

?1.

??????6 分

18

2

(Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y ),???????7 分 ,
??? ???? ? AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .



x

2

?

y

2

18

2

? 1 ,即 x ? (3 y ) ? 18 ,
2 2

?????? 9 分

而 x 2 ? (3 y ) 2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 则 ( x ? 3 y ) 2 ? x 2 ? (3 y ) 2 ? 6 xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].??????11 分
x ? 3 y 的取值范围是[-6,6].

∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0]. (中、改编)20.(理)(本小题满分 13 分)

??? ???? ?

???????13 分

某市准备从 6 名报名者(其中男 4 人,女 2 人)中选 3 人参加三个副局长职务竞选. (I)求男甲和女乙同时被选中的概率; (II)设所选 3 人中女副局长人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (III)若选派三个副局长依次到 A,B,C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长的概率.
3 1 【解析】 (I)所有不同的选法共有 C 6 种,其中男甲和女乙同时被选中的选法有 C 4 种,则男
1 C4 3 C6

甲和女乙同时被选中的概率为

?

1 5

????3 分
C4 C
3

P ( ? 0) (II) ? 的所有可能取值为 0,1,2.依题意得 P( ?X=0) ?
3 1 2

3 6

?

1 5

, ,

P ( X ? 1) ?

C 2C 4 C
3 6

1

2

?

3 5

P ( X ? 0) ?

C4 C

3 6

?

1 5

,

P ( ? 1) P( ?X=1) ?

C 2C 4 C
3 6

?

3 5

PP ( X =2)? ( ? ? 2)


C2 C4 C
3 6

2

1

?

1 5

????6 分

∴ ? 的分布列为:

?
P

0
1 5

1
3 5

2
1 5

E? ∴ EX

? 0?

1 5

? 1?

3 5

? 2?

1 5

?1.

????9 分

(III)设事件 M=“A 局是男副局长” ,N=“B 局是女副局长” . 则 P(M ) ?
1 2 C 4 A5 3 A6

?

2

3,

P ( MN ) ?

1 1 1 C 2C 4C 4 3 A6

?

4 15 .

????12 分

4 15 ? 2 所以 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长的概率为 P ( N | M ) ? P ( M ) ? 2 5 3 P ( MN )

.??13 分

(难、改编)21.(文) (本小题满分 13 分) ? 设数列 {a n } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? ( n ? 1) a2 ? ? ? 2 an ? 1 ? an , n ? N ? ,已 知 b1 ? m , b2 ?
3m 2

,其中 m ? 0 .

(Ⅰ)求数列 {a n } 的首项和公比; (Ⅱ)当 m ? 1 时,求 b n ; (Ⅲ)设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 S n ? [1, 3] ,求实数 m 的取 值范围.

【解析】 (I)由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m ;
b2 ? 2 a1 ? a 2 ,所以 2 a1 ? a 2 ?

3 2

m ,解得 a 2 ? ?

m 2



.. 分 ..2 .. 分 ..3

所以数列 {a n } 的公比 q ? ?

1 2


n ?1

? 1? (II)当 m ? 1 时, a n ? ? ? ? ? 2?



bn ? na1 ? ( n ? 1) a 2 ? ? ? 2 a n ?1 ? a n ,?????????①,

?

1 2

bn ? na 2 ? ( n ? 1) a 3 ? ? ? 2 a n ? a n ?1 ,????????②, 3 2

.. 分 ..6

②-①得 ? bn ? ? n ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? a n ?1 ,
n 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? ? ?

?

所以 ? bn ? ? n ?
2

3

? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

? ?n ?

n 1? ? 1? ? 1? ?? ? ? , ? 3? ? 2? ? ? ?

.. 分 ..7

bn ?

2n 3

?

2 9

?

2? 1? 6 n ? 2 ? ( ? 2) ?? ? ? 9? 2? 9
n

1? n

...8 分 ..

? 1? m [1 ? ? ? ? ] 2m ? 2? ? (III) S n ? 3 ? 1? 1? ?? ? 2? ?
? ? 1? 2?
n

n ? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , ? 2? ? ? ? ?

因为 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以由 S n ? [1, 3] 得

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
3? ?; 2?
n



2m 3



3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

,..10 分 ..

注意到,当 n 为奇数时, 1 ? ? ? ? ? ? 1,
? 2? ? ?
n

?

1?

n

?

.. ..11 分

当 n 为偶数时, 1 ? ? ? ? ? ? , 1 ? , ? 2? ?4 ?
3 3 ? 1? 所以 1 ? ? ? ? 最大值为 ,最小值为 . 2 4 ? 2?
n

?

1?

?3

.. ..12 分

对于任意的正整数 n 都有

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n



2m 3



3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n



所以 ≤
3

4

2m 3

≤ 2 ,解得 2 ≤ m ≤ 3 .

.. ..13 分

(难、改编)21.(理) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

3 1 ? 1 ( a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . b 2 2
2

y

2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA , OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值. 【解析】 (Ⅰ)由已知, e ?
2

a ?b
2

2

a

2

?

1 4

,所以 3 a 2 ? 4 b 2 , ②

① …………1 分 ……………2 分

3 1 9 ?1 , 又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 2 ? 2 2 a 4b

由①②解之,得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

故椭圆 C 的方程为

x

2

4

?

y

2

3

? 1.

…………………5 分

(Ⅱ) 当直线 l 有斜率时,设 y ? kx ? m 时,
? y ? kx ? m , 则由 ? 2 2 ?x y ? ? 1. ? 3 ? 4

消去 y 得, (3 ? 4 k ) x ? 8 kmx ? 4 m ? 12 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

…………………6 分 ③…………7 分

? ? 64 k m ? 4(3 ? 4 k )(4 m ? 12) ? 48(3 ? 4 k ? m ) ? 0 , ( ( 设 A、B、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x 2 , y 2 )、 x 0 , y 0 ) ,则:
x 0 ? x1 ? x 2 ? ? 8 km 3 ? 4k
2

, y 0 ? y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 m ?

6m 3 ? 4k ,
2

…………8 分

由于点 P 在椭圆 C 上,所以

x0 4

2

?

y0 3

2

?1 .

……… 9 分

从而

16 k m
2

2

2 2

(3 ? 4 k )

?

12 m

2 2 2

(3 ? 4 k )

? 1 ,化简得 4 m ? 3 ? 4 k ,经检验满足③式.
2 2

………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:

3 d ? |m | 1? k
2

?

4

?k

2

1? k

2

? 1?

1 4(1 ? k )
2

? 1?

1 4

?

3 2
………11 分 ………12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而 P 点为 ( ? 2, 0), (2, 0) ,直线 l 为 x ? ? 1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

3 2

………13 分


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