2017年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)答案

2017 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不得增加其他中间档次. 一 、 ( 本 题 满分 40 分 ) 如图 ,在 ABC 中 , AB ? AC , I 为 ABC 的 内 心.以 A 为圆心, AB 为半径作圆Γ1 ,以I 为圆心,IB 为半径作圆Γ 2 ,过点B 、I 的圆 Γ 3 与Γ1 、Γ 2 分别交于点P 、Q (不同于点B ).设IP 与BQ 交于点R . 证明:BR CR .(答题时请将图画在答卷纸上) A I B Q P C R 证明:连接IB ,IC ,IQ ,PB ,PC . 由于点Q 在圆Γ 2 上,故IB ? IQ ,所以 IBQ ? IQB . 又 B ,I ,P ,Q 四点共圆,所以 IQB ? IPB ,于是 IBQ ? IPB , 故 IBP ∽ IRB ,从而有 IRB ? IBP ,且 IB ? IP . …………………10 分 IR IB 注意到 AB ? AC ,且I 为 ABC 的内心,故IB ? IC ,所以 IC IP , ? IR IC 于是 ICP ∽ IRC ,故 IRC ? ICP . …………………20 分 ? 又点P 在圆Γ1 的弧BC 上,故 BPC ? 180 ? 1 A ,因此 2 BRC ? IRB ? IRC ? IBP ? ICP ? 360 ? BIC ? BPC? ? 360 ? 90 ? 1 1 2 A ? 180 ? 2 A? ? 90 , 故BR CR . …………………40 分 二、(本题满分 40 分)设数列{an}定义为a1 a a ? n , 若a ≤ n, n?1 1 , n ? 1, 2, . 求满足a r r 3 2017 a n ? n , 若a n ? n , 的正整数r 的个数. ????n n 解:由数列的定义可知a1 ? 1, a2 ? 2 .假设对某个整数r ≥ 2 有ar ? r ,我们证明 对t ? 1, , r ?1 ,有 ar ? 2 t ?1 ? 2r ? t ? 1 ? r ? 2t ? 1, ?2t ar ? r ? t ? r ? 2t . ① ?1 对t 归纳证明. 当 t ? 1 时,由于 ar ? r ≥ r ,由定义, ar ? ar ? r ? r ? r ? 2r ? r ?1 , ar ? 2 ? ar ?1 ? ( r ? 1) ? 2r ? ( r ? 1) ? r ? 1 ? r ? 2 ,结论成立. 设对某个1 ≤ t ? r ?1 ,①成立,则由定义 ar ? 2 t ?1 ? ar ?2t ? ( r ? 2t ) ? r ? t ? r ? 2t ? 2r ? t ? r ? 2t ?1, ar ? 2 t ? 2 ? ar ? 2 t ?1 ? ( r ? 2t ? 1) ? 2r ? t ? ( r ? 2t ? 1) ? r ? t ? 1 ? r ? 2t ? 2 , 即结论对t ?1 也成立.由数学归纳法知,①对所有t ? 1, 2, , r ?1 成立,特别当 t ? r ?1时,有a3 r ?2 ? 1,从而a 3 r ?1 ? a 3 r?2 ? (3r ? 2) ? 3r ?1 . 若将所有满足ar ? r 的正整数 r 从小到大记为r1 , r2 , ,则由上面的结论可知 r1 ? 1, r2 ? 2 ,rk ?1 ? 3rk ?1,k ? 2, 3, . 由此可知, ,从而 . 由于r3 2017 …………………20 分 1 2 32017 2018 32018 2 1 r 2019 ,在1, 2, ,32017 中满足a ? r 的数r r 共有2018个,为r1 , r2 , , r2018 . 由①可知,对每个 k 1, 2, , 2017 , a r r .由于r2018 1 …………………30 分 中恰有一半满足 , 32017 中,奇数 r 32017 1 1与3 r 2017 均为奇数,而在r2018 1, 2 均满足a r ? r ,偶数均满足a 2017 3 的正整数r 的个数为 1 3 2 2017 r ,其中的偶数比奇数少 1 个.因此满足a r 2018 1 32017 2019 . 2 …………………40 分 三、(本题满分 50 分) 将 33 × 33 方格纸中每个小方格染三种颜色之 一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,则称它 们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值. 解:记分隔边的条数为L .首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜 色, 粗线上均为分隔边,此时共有 56 条分隔边,即L ? 56 . …………10 分 16 11 17 11 17 11 16 33 下面证明L ≥ 56 .将方格纸的行从上至下依次记为 A1 , A2 , , A33 ,列从左至右 依次记为B1 , B2 , , B33 .行 Ai 中方格出现的颜色数记为 n (Ai ) ,列Bi 中方格出现的颜 色个数记为n (Bi ) .三种颜色分别记为c1 ,c2 , c3 .对于一种颜色cj ,设n ( cj ) 是含有cj 色方格的行数与列数之和.记 δ ( Ai , cj ) ? 1, 若Ai 行含有cj色方格 0, 33 3 否则, 类似地定义δ ( Bi , cj ) .于是 33 i?1 ∑ ( n ( Ai ) ? n ( Bi )) ? ∑∑(δ ( Ai , c j ) ? δ ( Bi , cj )) i ?1 j?1 ? ∑∑(δ

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