河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考数学(文)试题Word版含答案

2017~2018 学年高三(上)第二次月考 数学试卷(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {( x, y) | y ? 3x2 } , N ? {( x, y) | y ? 5x} ,则 M ( A.0 ) B.1 C.2 D.3 )

N 中的元素的个数为

2.已知 a, b ? R , i 为虚数单位, (2a ? i)(1 ? 3i) ? ?7 ? bi ,则 a ? b ? ( A.9 B.-9 C.24 D.-34

3.设向量 a ? (3, 2) , b ? (6,10) , c ? ( x, ?2) .若 (2a ? b ) ? c ,则 x ? ( A.-2 B.-3 C.



7 6

D.

7 3


4.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m / / 平面 ? ,则下列命题正确的是( A.若 ? ? ? ,则 l / / m C.若 l / / ? ,则 m ? ?
3 3

B.若 l ? m ,则 ? / / ? D.若 ? / / ? ,则 l ? m

5.①已知 p ? q ? 2 ,求证 p ? q ? 2 ,用反证法证明时,可假设 p ? q ? 2 ;②设 a 为实 数, f ( x) ? x ? ax ? a ,求证 | f (1) | 与 | f (2) | 中至少有一个不小于
2

1 ,用反证法证明时可 2

假设 | f (1) |?

1 1 ,且 | f (2) |? ,以下说法正确的是( 2 2



A.①与②的假设都错误 C. ①的假设正确,②的假设错误

B.①与②的假设都正确 D.①的假设错误,②的假设正确 )

6. Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S3 ? S7 , a2 ? 7 ,则 a5 ? ( A.5 B.3 C.1 D. ?1

2 7.已知 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ?

? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2n (na ? b) ? c 对一切 n ? N * 都成立,则

a, b, c 的值为(

) B. a ? 3 , b ? 2 , c ? 2

A. a ? 3 , b ? ?2 , c ? 2

C. a ? 2 , b ? ?3 , c ? 3

D. a ? 2 , b ? 3 , c ? 3

?y ? x ? 8.设实数 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 6 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ?
A. ? ?4,8? B. ? ?4,9?
?x



C. ?8,9?

D. ?8,10?

9.已知函数 f ? x ? ? 3

? 2x ,给出下列两个命题:

命题 p :若 x0 ? 1 ,则 f ? x0 ? ? ?1 ; 命题 q : ?x0 ??1, ?? ? , f ? x0 ? ? ?3 . 则下列叙述正确的是( A. p 是假命题 B. p 的否命题是:若 x0 ? 1 ,则 f ? x0 ? ? ?1 C. ? q 是假命题 D. ? q 为: ?x0 ??1, ??? , f ? x0 ? ? ?3 10.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) )

A. 28 3

B. 24 3

C.

80 3 3

D. 26 3

11. 某次夏令营中途休息期间, 3 位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断: 甲说胡老师不是上海人,是福州人; 乙说胡老师不是福州人,是南昌人; 丙说胡老师既不是福州人,也不是广州人. 听完以上 3 人的判断后,胡老师笑着说,你们 3 人中有 1 人说的全对,有 1 人说对了一半, 另一人说的全不对,由此可推测胡老师( A.一定是南昌人 海人 B.一定是广州人 ) C.一定是福州人 D.可能是上

12.若函数 f ? x ? ? ? ln x ? sin x ? ? a ? 范围是( A. ? ?4, ) B. ? ?4, ? ?

? ?

1? ?? ? ? x 在区间 ? , ? ? 上有最大值,则实数 a 的取值 2? ?3 ?

? ?

1? ? 2?

? ?

3? 2?

C. ? ?3,

? ?

1? ? 2?

D. ? ?3, ? ?

? ?

3? 2?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知单位向量 a , b 满足 a ? (2a ? 3b ) ?

1 ,则向量 a 与 b 的夹角为 2

. .

14.在等差数列 {an } 中,a2 ? 4 , 且 1 ? a3 ,a6 ,4 ? a10 成等比数列, 则公差 d ? 15.已知 m ? 0 , n ? 0 ,若 2m ? 1 ? 2n ,则

3 27 ? 的最小值为 m n



O , AB ? AC ? 24 , ?BAC ? 120? , AA1 ? 平 16.已知三棱柱 A 1B 1C1 ? ABC 内接于球
面 ABC , AA1 ? 14 ,则球 O 的表面积是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. )
17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2kn (其中 k ? N ) ,且 Sn 的最小值为-9.
*

(1)确定常数 k ,并求 an ; (2)若 bn ?

? 2n ? 1?? 6 ? an ?

2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18.设函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的部分图象如图所示.

?

?

(1)求函数 f ? x ? 的解析式;

(2)当 x ? ? ?

? ? ? , ? 时,求 f ? x ? 的取值范围. ? 3 ? ?
2? b sin C ? 2sin B . , 3

19. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 a ? 4 ,B ? (1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积.

20.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 b sin B ? 4a sin B ? 5a sin A . (1)若 c ? 31a ,求角 C 的大小; (2)若 a ? 2 ,且 ?ABC 的面积为 5 3 ,求 ?ABC 的周长.

ABC ? 侧面 AA1B1B , 21.如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的所有棱长均为 2,平面

?AA1B1 ? 60? , P 为 CC1 的中点, AB1 I A1B ? O .
(1)证明: AB1 ? 平面 AOP ; 1 (2)若 M 是棱 AC 的中点,求四棱锥 M ? AA1B1B 的体积.

22.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 1 ? ,a?R 且a ? 0. ax a

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)设函数 g ? x ? ? e ? x ? p ,若存在 x0 ??1,e? ,使不等式 g ? x0 ? ? e 0 ln x0 成立,求实
x x

数 p 的取值范围.

2017~2018 学年高三(上)第二次月考 数学试卷参考答案(文科) 一、选择题
1-5:CADDC 6-10:CCBCA 11、12:DC

二、填空题
13.60°(或

? ) 3

14.3

15.96

16. 2500?

三、解答题
2 2 17.解: (1)因为 Sn ? n2 ? 2kn ? ? n ? k ? ? k ? ? k , 2

2 所以 ?k ? ?9 ,解得 k ? 3 , Sn ? n2 ? 6n .

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 7 ,显然当 n ? 1 时,也满足. 所以 an ? 2n ? 7 . (2)因为 bn ?

? 2n ? 1?? 6 ? an ? ? 2n ? 1?? 2n ?1?

2

?

2

?

1 1 ? , 2n ? 1 2 n ? 1

所以 Tn ? ?1 ? ? ? ?

? ?

1? ?1 1? 1 ? 1 2n ? 1 . ? ? ?L ? ? ? ? ? ? 1? 3? ? 3 5? 2 n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
T 4? ? ? ? ? ? ,即 T ? 4? . 4 3 3

18.解: (1)由图象知 A ? 3 , 又

2?

?

? 4? ,所以 ? ?

1 , 2

因此 f ? x ? ? 3sin ?

?1 ? x ?? ? . ?2 ?

又因为 f ? 所以

?? ? ? ? ?3 , ?3?

?
6

?? ? ?

?
2

? 2k? ? k ? Z ? ,即 ? ? ?

2? ? 2 k? ? k ? Z ? . 3

又 ? ? ? ,所以 ? ? ?

2? 2? ?1 ,即 f ? x ? ? 3sin ? x ? 3 3 ?2

? ?. ?

(2)当 x ? ? ?

1 2? ? 5? ? ? ? ? ? , ? ? 时, x ? ? ? ,? ? . 2 3 ? 6? ? 3 ? ? 6

所以 ?1 ? sin ?

2? ?1 x? 3 ?2

3 1 ? ? ? ? ,从而有 ?3 ? f ? x ? ? ? 2 . 2 ?

19.解: (1)因为 b sin C ? 2sin B , 所以 bc ? 2b ,即 c ? 2 .
2 2 2 由余弦定理得 b ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 cos

2? ? 28 , 3

所以 b ? 2 7 . (2)因为 a ? 4 , c ? 2 , B ? 所以 S ?ABC ?

2? , 3

1 1 3 ac sin B ? ? 4 ? 2 ? ?2 3. 2 2 2

20.解: (1)∵ b sin B ? 4a sin B ? 5a sin A ,∴ 5a 2 ? 4ab ? b2 ? 0 ,∴ b ? 5a . ∵ c ? 31a ,∴ cos C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ?5a 2 1 2? ? ? ? .∵ C ? ? 0, ? ? ,∴ C ? . 2 3 2ab 10a 2
1 3 ab sin C ? 10sin C ? 5 3 ,∴ sin C ? . 2 2

(2)∵ a ? 2 ,∴ b ? 10 ,∴ 当 C 为锐角时,

2 2 2 由余弦定理得,c ? a ? b ? 2ab cos C ? 4 ? 100 ? 2 ? 2 ? 10 ?

1 ? 84 ,∴ c ? 2 21 ,此 2

时 ?ABC 的周长为 12 ? 2 21 . 当 C 为钝角时,
2 2 2 由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos C ? 4 ? 100 ? 2 ? 2 ?10 ? ? ?

? 1? ? ? 124 ,∴ ? 2?

c ? 2 31 ,此时 ?ABC 的周长为 12 ? 2 31 .
21. (1)证明:取 AB 的中点 D ,连结 OP, CD, OD ,依题意得 OD ∥ AA 1 ∥ PC ,且

OD ? PC ,
所以四边形 ODCP 为平行四边形,则 OP ∥ CD ,

ABC 平面 AA1B1B ? AB , CD ? AB , 因为平面 ABC ? 平面 AA 1B 1B ,平面 OP ? 平面 AA1B1B , AB1 ? 平面 AA1B1B ,所以 AB1 ? OP , 所以 CD ? 平面 AA 1B 1B ,即

又因为四边形 AA 1B 1B 为菱形,所以 AB 1 ? A 1 B ,又 OP I A 1 B ? O ,所以 AB 1 ? 平面 . AOP 1 (2)解:由(1)结合已知得,四棱锥 M ? AA1B1B 的高为

1 3 , CD ? 2 2

菱形 AA 1B 1B 的面积为 2 ?

3 ? 2? 2 ? 2 3 , 4
1 3 ?2 3? ? 1. 3 2

所以四棱锥 M ? AA1B1B 的体积为 V ?

22.解: (1)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的单调递增函数,符合题意; 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ?

ax ? 1 1 ? 0 ,得 x ? , 2 ax a

∵函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 内单调递增, ∴

1 ? 1 ,则 a ? 1 . a

综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ??,0? U?1, ??? .

ax ? 1 ? 0 对 x ??1, ??? 恒成立可得,当 a ? 0 时,符合; ax 2 1 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 ,即 a ? ,∴ a ? 1 . x
(另由 f ? ? x ? ? 综上 a ? ? ??,0? U?1, ??? ) (2)∵存在 x0 ??1,e? ,使不等式 g ? x0 ? ? e 0 ln x0 成立,
x

∴存在 x0 ??1,e? ,使 p ? ? ln x0 ?1? e ? x0 成立.
x

令 h ? x ? ? ? ln x ?1? e ? x ,从而 p ? h ? x ?min x ? ?1, e ? ,
x

?

?

?1 ? h? ? x ? ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 . ?x ?

由(1)知当 a ? 1 时, f ? x ? ? ln x ? ∴

1 ? 1 在 ?1,e? 上递增,∴ f ? x ? ? f ?1? ? 0 . x

1 ? ln x ? 1 ? 0 在 ?1,e? 上恒成立. x

∴ h? ? x ? ? ?

?1 ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 , ?x ?
x

∴ h ? x ? ? ? ln x ?1? e ? x 在 ?1,e? 上单调递增. ∴ h ? x ?min ? h ?1? ? 1 ? e ,∴ p ? 1 ? e . 实数 p 的取值范围为 ?1 ? e, ??? .


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