创新设计2016_2017学年高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.2.2对数函数第1课时对数函数及其图象课件_图文

第3章

3.2.2 对数函数

第1课时 对数函数及其图象

学习 目标

1.理解对数函数的概念.

2.初步掌握对数函数的图象及性质.
3.会类比指数函数,研究对数函数的性质.

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知识梳理

自主学习

知识点一

对数函数的概念

一般地,把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,

函数的定义域是 (0,+∞) .
思考 答 根据对数函数的定义,你能总结出对数函数具有哪些特点吗? (1)底数a>0,且a≠1.

(2)自变量x在真数位置上,且x>0.
(3)在解析式y=logax中,logax的系数必须为1,真数必须是x.

答案

知识点二

对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域 过定点

(0,+∞) R 过定点 (1,0),即x=1时,y=0 当0<x<1时, y>0 y<0 当x>1时,_______ 在(0,+∞)上是 减函数

性质

函数值 当0<x<1时,y<0 y>0 的变化 当x>1时,______ 单调性 在(0,+∞)上是 增函数

答案

知识点三 反函数.

反函数

x(a>0,且a≠1) 指数函数 y = a 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与___________________________互为

答案

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题型探究

重点突破

题型一

对数函数的概念

例1 指出下列函数哪些是对数函数? (1)y=3log2x; (2)y=log6x; (3)y=logx3; (4)y=log2x+1.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1

④ 下列函数为对数函数的是________.

①y=log1x;
③y=log2(x+1);

②y=3log2x;
④y=log2x.

答案

题型二

对数函数的图象

例2 如图所示,曲线是对数函数 4 3 1 y=logax 的图象,已知 a 取 3,3,5,10,则相应于 c1,c2,c3,c4 的 a
4 3 1 3,3,5,10 值依次为________________.

解析 在第一象限内各图象对应的对数函数

的底数顺时针增大,∴c3<c4<c2<c1,
4 3 1 故 c1,c2,c3,c4 各值依次为 3,3,5,10.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练2

如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,

0<b<a<1 则a,b,0,1的大小关系是________.

解析 两图象均呈下降趋势,
所以a,b均小于1.结合第一象限图象特征得b<a,

所以0<b<a<1.

解析答案

(-1,1) 例3 函数y=loga(x+2)+1的图象过定点的坐标为________.

解析 令x+2=1,即x=-1,
得y=loga1+1=1,

故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3

函数f(x)=loga(2x+1)+2(a>0,a≠1)的图象必过定点的坐

(0,2) 标为________. 解析 当x=0时,f(x)=2,

所以函数f(x)的图象必过定点(0,2).

解析答案

题型三
例4

对数函数的定义域

1 (-1,1)∪(1,+∞) (1)函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是_________________. 1-x
? ?1+x>0, 由题意知? 解得 x>-1 且 x≠1. ? ?1-x≠0,

解析

1 (2)若 f(x)= ,则 log 1 (2 x ? 1)
2

? ? 1 ? ? - , 0 ? ?∪(0,+∞) 2 ? ? f(x)的定义域是_____________________.

解析

? ?2x+1>0, 1 由题意有? 解得 x>-2且 x≠0. ? ?2x+1≠1

反思与感悟

解析答案

跟踪训练4

求下列函数的定义域:

1 (1)f(x)=lg(x-2)+ ; x-3


解得x>2且x≠3.

? ?x-2>0, 要使函数有意义,需满足? ? ?x-3≠0,

∴函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). (2)f(x)=log(x+1)(16-4x).

? ?16-4x>0, ? 要使函数有意义,需满足?x+1>0, ? ? ?x+1≠1,
解析答案

解得-1<x<0或0<x<4. ∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,4).

题型四
例5

对数函数与指数函数的反函数

1x (1)y=(2) 的反函数为________.

1x 1 解析 ∵指数函数 y=(2) 的底数为2,
∴它的反函数为对数函数 y ? log 1 x.
2

y=7x (2)y=log7x的反函数为________.
解析 ∵对数函数y=log7x的底数为7.

∴它的反函数为指数函数y=7x.
解析答案

2 (3)点(4,16)在函数y=logax(a>0,a≠1)的反函数的图象上,则a=________. 解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1),

又∵点(4,16)在函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象上. ∴16=a4,∴a=2.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 5
解析

1 - 1 点(2,4)在函数 f(x)=logax 的反函数的图象上,则 f(2)= ___.

因为点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数图象上,

所以点(4,2)在函数f(x)=logax的图象上,
所以2=loga4,即a2=4,得a=2,
1 1 所以 f(2)=log22=-1.

解析答案

易错点

求解对数函数定义域考虑不全致误

例6 求函数y=log(x+1)(16-4x)的定义域. 错解 由16-4x>0,解得x<2, ∴函数定义域为(-∞,2).
x ? 16 - 4 >0, ? ? 由?x+1>0, ? ? ?x+1≠1,

正解

? ?x<2, ? ? ?-1<x<2, x > - 1 , ? 得 ∴? ? ? ?x≠0. ? ?x≠0,

∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,2). 纠错心得 求对数函数的定义域,要满足:(1)真数大于零;

(2)底数大于零且不等于1.注意要同时满足这两个条件,不能漏掉其中一个.
解析答案

跟踪训练6

求函数f(x)=log(2x-4)(10-2x)的定义域.
5 5 解得 2<x<2或2<x<5,



? ?10-2x>0, ? 由已知,得?2x-4>0, ? ? ?2x-4≠1,

5 5 ∴函数 f(x)的定义域为(2,2)∪(2,5).

解析答案

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当堂检测

1

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3

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5

④ 1.下列函数是对数函数的是________.( 填序号) ①y=loga(2x); ③y=log2x+1; 解析 ②y=log22x; ④y=lg x.

①②③中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式,

只有④符合.

解析答案

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1 1 (-3,1) 2.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是________. 1-x
解析
? ?1-x>0, 1 由? 可得-3<x<1. ? ?3x+1>0,

解析答案

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3.函数y=ax与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能 ① 是________.( 填函数序号) 解析 函数y=-logax恒过定点(1,0),排除②;

当a>1时,y=ax是增函数,y=-logax是减函数, 当0<a<1时,y=ax是减函数,y=-logax是增函数, 排除③和④,①正确.

解析答案

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(2,1) 4.若a>0且a≠1,则函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点坐标为________. 解析 函数图象过定点,则与a无关, 故loga(x-1)=0, ∴x-1=1,x=2,y=1, 所以y=loga(x-1)+1过定点(2,1).

解析答案

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4 5.若函数f(x)=ax-1的反函数的图象过点(4,2),则a=________. 解析 ∵f(x)的反函数图象过(4,2),

∴f(x)的图象过(2,4), ∴a2-1=4,∴a=4.

解析答案

课堂小结 1. 判断一个函数是不是对数函数,关键是分析所给函数是否具有 y = logax(a>0,且a≠1)这种形式. 2.在对数函数 y= logax中,底数 a 对其图象直接产生影响,学会以分类的 观点认识和掌握对数函数的图象和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.

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