2-2《1.3.2函数的极值与导数》课件2_图文

1.3.2 函数极值与导数

知识回顾:
用“导数法” 求单调区间的步骤:

①求 f '( x)

②令f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递增区间
f '( x) ? 0解不等式 ? f ( x)的递减区间

③求单调区间

注意:函数定义域

如果在某个区间内恒有 f ?(x) ? 0 ,则 f (x)为常数.

问题:如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t) ? ?4.9t2 ? 6.5t ?10 的图象

h' ?a? ? 0

h

单调递增
h?(t) ? 0

单调递减
h?(t) ? 0

oa t
归纳: 函数h(t) 在点 a 处 h?(a) ? 0,在t ? a的附近,
当 t ? a时,函数h(t)单调递增,h?(t) ? 0; 当 t ? a时,函数h(t)单调递减, h?(t) ? 0。

f ?(b) ? 0

y

y

f ?(x) ? 0 f ?(x) ? 0 f ?(x) ? 0

y ? f ?x?

ao

f

?(a)

?

b
(0图一)

问题:

x
y ? f ?x?

e cd of g
(图二)

hx

(1)函数 y ? f ?x? 在点 a, b 的函数值与这些点

附近的函数值有什么关系?

(2)函数 y ? f ? x? 在点 a, b 的导数值是多少?

(3)在点 a, b 附近,y ? f ?x? 的导数的符号有
什么规律?

f ?(b) ? 0

y

极大值f(b)

y

f ?(x) ? 0 f ?(x) ? 0 f ?(x) ? 0

y ? f ?x?

a
极小值f(a)

o

f

?(a)

?

b
(0图一)

x
y ? f ?x?

e cd of g
(图二)

hx

点a为函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值

点b为函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称极值点, 极大值和极小值统称为极值.

思考:极大值一定大于极小值吗?

(1)如图是函数 y ? f ?x?的图象,试找出函数y ? f ? x?
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?

(2)如果把函数图象改为导函数 y ? f ' ? x?的图象?

y
yy ?? ff?'x??x?

答:

x3
x a x1 o x2 x4 x5 x6 b

1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点,其中x1,x5是函

数y=f(x)的极大值点,x3,x6函数y=f(x)的极小值点。

2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点,x4是函数y=f(x)的极小值点。

例4:求函数f ? x? ? 1 x3 ? 4x ? 4的极值.

解:∵

f

?

x?

?

1

x3

?

4x

3
?4

3

∴ f ' ?x? ? x2 ? 4 ? ?x ? 2??x ? 2?

令 f ' ? x? ? 0, 解得x=2,或x=-2.

下面分两种情况讨论:

2

(1)当 f ' ?x? ? 0 ,即x>2,或x<-2时; ?2

(2)当 f ' ?x? ? 0 ,即-2 < x<2时。

当x变化时,f ' ?x?, f ?x? 的变化情况如下表:

x ???,?2? ?2 ??2, 2? 2 ?2,???

f ' ?x? ?

0?

0

f ? x? 单调递增 28 单调递减 ? 4

3

3

∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (?2) ? 28

当x=2时,

f(x)的极小值为

f

?2?

?

?

4 3

3

?
单调递增

? 若寻找可导函数极值点,可否
只由f?(x)=0求得即可?
? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x =0,
而x =0不是该函数的极值点.

y f (x)?x3
Ox

f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点

x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0
注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

归纳:求函数y=f(x)极值的方法是: (最好通过列表法)

解方程 f ' ? x? ? 0 ,当 f ' ? x0 ? ? 0 时:
(1)如果在 x0 附近的左侧 f ' ? x? ? 0 ,右侧 f ' ? x? ? 0 ,
那么 f ?x0 ?是极大值;
(2)如果在 x0 附近的左侧 f ' ? x? ? 0 ,右侧 f ' ? x? ? 0 ,
那么f ?x0 ? 是极小值

练习: 下列结论中正确的是( B )。

y f ?x? ? x3

A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0, 那么f(x0)是极大值。 D、极大值一定大于极小值。

x
0

巩固练习:求函数 f ?x? ? 3x ? x3 的极值

解:∵ f ?x? ? 3x ? x3

∴ f ' ? x? ? 3? 3x2

令 f ' ?x? ? 3?3x2 ? 0 ,得 x ?1 ,或 x ? ?1.

下面分两种情况讨论:

(1)当 f ' ?x? ? 0 ,即 ?1? x ?1时;

(2)当 f ' ?x? ? 0 ,即 x ?1 ,或 x ? ?1 时。

当 x 变化时,f ' ? x?, f ? x?的变化情况如下表:

x ???,?1? ?1 ??1,1? 1 ?1,???

f ' ?x? ?

0

?0?

f ?x?单调递减 ?2 单调递增 2 单调递减

∴当 x ? ?1时, f (x) 有极小值,并且极小值为 ?2.
当 x ?1 时, f (x) 有极大值,并且极大值为 2.

思考:已知函数 f ? x? ? ax3 ? bx2 ? 2x在x ? ?2, x ? 1 处取得
极值。

(1)求函数 f ? x?的解析式(2)求函数 f ? x? 的单调区间

解:(1)f ' ? x? ? 3ax2 ? 2bx ? 2

∵f ? x? 在 x ? ?2, x ? 1取得极值,∴f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0



?12a ? 4b ? 2 ? 0

? ?

3a

?

2b

?

2

?

0

解得 a ? 1 ,b ? 1 32



f

? x? ? 1 x3 ? 1 x2 ? 2x
32

(2) ∵ f ' ? x? ? x2 ? x ? 2 , 由 f ' ?x? ? 0 得 x ? 1或x ? ?2

∴ f ? x? 的单调增区间为 ???,?2?和?1,???

由 f ' ?x? ? 0 得 ?2 ? x ?1
f ? x? 的单调减区间为 (?2,1)

函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1时有极值10,则a,

b的值为( )C

A、 a ? 3,b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11

B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4,b ? 11

C、a ? ?4, b ? 11 , D、 以上都不对

解:由题设条件得:??
?

f f

(1) ? 10 / (1) ? 0

?1 ? a ? b ? a2 ? 10 ??
? 3 ? 2a ? b ? 0

解之得

?a?3 ??b ? ?3

或???ab

? ?

?4 11

注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

课堂小结:
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域
(2)求导数f'(x)
(3)求方程f'(x) =0的全部解
(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正 右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数 的极值,并能应用函数的极值解决函数的一些问题
作业: P32 5 ① ④

(2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间(a,b)
导函数 f ?(x)在 (a, b) 内的图像如图所示,则函数f (x) 在开区间 (a,b) 内有( A )个极小值点。

A.1 B.2 C.3 D. 4

y

y ? f ?(x)

f?(x) <0 f?(x) >0

b

a
f?(x) =0

O

x

注意:数形结合以及原函数与导函数图像的区别


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