也谈抛物线焦点弦的性质——由一道高考题引发的思考_图文

程 , 二式 及斜 翠公 式 联立 也 口 J 得 到 斜 率 k与 A 、 B   2点 

也 谈 抛 物 线 焦 点   弦 治 性 质  
由 一 道 高 考 题 引 发 的 思 考  
◇ 安徽 方 玮 

的横、 纵坐标间的关系式. 对条件“   . 旆 = = = o ” 的使 
用 同思 路 1 .  

方法 2   设 A(   , Y   ) 、 B( z z , Y z ) , 由题 意 得 焦 点  一  ,  

F( 2 , 0 ) , 则 由 A、 B、 F   3点共 线 可 得 :  

即 z   z   2   z — z z  一 2   . 又 z   一 等 ,   z 一   y l , 所 以  

等   z 一 2   z 一   一 2 l y l ’  
z   一

) (   + 2 ) _ 0 _  

目前 , 有 关 抛 物 线 焦 点 弦 的 性 质 已被 总 结 出 很  多, 它 为 我们 研 究 抛 物 线 的焦 点 弦 问题 提 供 了帮 助.   本文对 Z 0 1 3 年 高考全国大纲卷理科数学第 1 1 题 给  出几 种方 法 , 同时 也 对 此 问题 进 行 推 广 , 并 总 结 出 几  条 有 关抛 物线 焦 点弦 的性 质.  
1   原 题 重 现 

又  ≠  , 则y   z . y 2 一 一 1 6 , 从 而   1 l z 2 一 壶  ; 一 4 , 由  

等 , z z 一 警得  一 z z 一   1 (   +   ) (   一  ) , 即  

zl — 2  

三 一   . 又  三 一 是 , 则  @ Y 2 = = = 一 8 Y   k , 从 而  l + 2 ’   z 1 一 2   ’   ’   … ’  

已知抛 物 线 C: y   一8 x与 点 M ( 一2 , 2 ) , 过焦点 F  

z   + z   一 警 + 警 一 吉 [ (   +   )  2  。 ] 一 4 +   .  
以 下 用 方 法 1的 解 法 , 可得 k 一2 .  
2 ) 几. 何 法 

斜 率 为 k的直 线与 C 交 于 A 、 B   2点 , 若MA? MB一0 ,  
则 k 一(   ) .  

思 路 3 如 图 1所 示 , 由 抛 

A 去;  
2   思 路 探 究 

B  

;  

C  

;  

D  2  

物 线 C: Y 。 一8 x的准线 l :  一  


/ 

2 及 M( 一2 , 2 ) 可 知点 M 在 z  

本 题 既能考 查 抛 物 线 的 基 本 概 念 、 基本性 质 , 又 

上, 又 弦 AB 过 焦 点 F , 联 想 到 

≤   A  
手 _ 1D /   
、  

能考 查 平 面几 何 的 推理 能力 、 解 析 几 何 的运 算 能 力 ,   因 而思 路宽 , 方 法多 .  
1 )代 数 法 

抛 物线 的定 义 . 又 由条 件 “ MA?  
MB= = = 0 ” 可 得 M A上 M B, 再 结 

合 平面 几何 的 知 识 进 行 推 理 可 
得 △ A_ P M兰 △AF M, 由 此 得 到 

思路 1   先 设 出过 焦 点 F斜 率 为 k的直 线 方 程 ,  

并 联 立抛 物线 的方程 可得 到斜 率 k与 A、 B   2点 的 横 、  
纵 坐 标 间的关 系 式 , 再 对 条件 “ MA? MB一0 ” 直接 代 人  数 量 积 的坐标 运算 公 式 , 便 可 沟通 “ 已知” 和“ 未知” .  
方法 1   设 A(   , Y   ) 、 B(   。 , Y   ) , 由 题 意 得 焦 点  F( 2 , 0 ) , 故 可 设 直 线 AB: Y —k (  一 2 )( 志 ≠O ) , 联 立 得  Y   一8 x, 消 去 Y得 : 志 。  。 一( 4 k   +8 ) z+ 4 k  一 0 , 则 

MF   AB, 从而, AB 的 斜 率 等  于 MF斜 率 的负 倒数 .  

图 1  

方 法 3 取 弦 AB 的 中点 D , 连 接 DM ; 并 分 别过  A、 B   2 点 作 准线 z : z一一2的 垂线 , 垂 足分 别 为 P、 Q.  
— —



— —

' .  

1  

由MA? MB一0 得 

上MB, 则 DM =÷AB . 又 AB一  
厶 

1  

AF+BF   AP+B Q, 从 而 DM =÷ ( AP+BQ) , 所 以 
厶 

/ ' I + z 2 — 4 +告, z l X 2 —4 . 消去   得k y   - 8 y -1 6 k = 0 ,  
则  1 +Y 2 一  o, y 1   y 2 一 一1 6 .又MA一 (  1 +2 , y 1 — 
2 ) , MB= = = ( z 2 +2 , Y   一2 ) , 由M A? M B— O 得:  
(  1 + 2 )(  2 + 2)+ (  1 —2 )(  2 — 2)一 0,  

D M 是 梯 形 APQ B 的 中 位 线 ,即 DM / /AP, 则 
PAM 一  AM D.又 由 DM — DA 可 得  DAM 一  AMD , 所 以  PAM 一  DAM . 又 AP— AF, AM 

AM , 所 以 △AP M 兰 △ A_ F M, 则  AP M 一  AF M. 又 
APM 一 9 O 。 , 所 以  AFM   9 O 。 , 即 M F_ 上 I AB, 故 
L一 一

整 理得 z l  2 +2 (  l +z 2 ) + 1 y 2 —2 (  l +  2 ) +8 —0 ,  
所以 4 +8 +  一 1 6一  + 8 — 0,即  一  4+ 1 —0
,  



1  

一 一 —

9 

是  

一1 / 2   “ 

3 )代 数 、 几 何 综 合 法 

解得 k 一2 .  

思路 4   由条 件 ‘ ' MA? MB一0 ” 可得 MA一 _ MB,   结 合抛 物线 的定 义 , 再 由“ 勾 股 定 理” 及 直 角  角 形 中 

思路 2   由 A、 B、 F   3点 共线 可得 它们 的横 、 纵 坐  标 间的关 系 式 , 又 A、 B   2点 的 坐 标 满 足 抛 物 线 的 方 

的“ 射影 定 理” , 通过 几何 计算 也 可得 到 MF 上AB .  
9  



学海导航 ?  
L  

方法 4   设 AF— m, BF— n,  

系数 的关 系” , 考 生通 过平 时 的训 练 , 可 以熟 练掌握 .  
N   / 

P M=t , QM — S ,则 AM   一 m。 + 
t 。


2 )方 法 3 抓 住 了抛 物线 的定 义 , 以平面 几何 推理  的方式得 到 了 一个 很 有 用 的 几 何 特 征 : MF上AB, 从 

BM 2 一n  + S   .  

/  /  ① 
~  

又 AM   +BM   = = = AB  , 所 以  m  +t   4 - n   +S   一(   +” )   .  

而 大大 降低 了 运 算 方 面 的难 度. 当然 , 此 法 对 考 生 的 
推 理能 力有 一 定 的要 求 , 而且 考 生 能 否 发 现 点 M 在  准线 z 上是 解题 的关 键.   3 )方 法 4与方 法 5则 是 代 数 方法 与几 何 方 法 的 

如 图 2所 示 , 作 BN 上 AP 于 

点 N, 则 AN= = = m一  、 BN—t +S .  
又 AN。 + BN  一 AB  , 所 以 

\    .
图2  

完 美结 合 , 提 高 了解题 的效 率.  
方 法 4以考 生非 常熟悉 的“ 勾股定理” 为主线 , 结 

( m—  )   +( f +  ) 。 = = = ( m+  )   .   ② 

联立 ① ② 得 t   +S   一2 mn 、 s t = = =   n, 则( t  s )  一 

合 抛物 线 的定 义及 直 角三 角形 中 的“ 射影定理” , 用 几 
何 计算 的方 式 算 出 了 MF上 AB, 既 降 低 了 推 理 的难  度, 也 有效减 少 了考 生 的运 算量 .  

0 , 即t = = = S 一 ̄ /  n, 所 以 
B  一 ”   +S 。 一n   十  = = =  (   + ) 一 BF? AB.  

从 而在 直角 三角 形 AMB 中有 MFj - AB, 故 
.  

方法 5 巧 妙地 将思 路 2与 思 路 3结 合 到 一 起 , 先 

1  
MF

走一 一  

一 ~  


1  
l/  

一 z‘  

通过考生熟悉的“ 点差法” 得到  
R  
, c  

C C1  

J C 2  

一— { 一, 即  
l   T  2  

思路 5 将 代 数 法 与 几 何 法 综 合 到 一 起 , “ 半 代  数、 半 几何 ” , 既 降低 了代 数 运 算 的强 度 , 又 减 少 了几 
何推 理 的步骤 .  
万 法 5   议 A (zl ,Y1),  
y .  

+  一T 0, 再 由几 何 推 理 得 到 DM / / 2 7 2轴 , 从而 D  
与 M 的纵坐 标相 等.  

/。  
/。  

当然 , 解 题 没 有 绝对 固 定 的 方 法 , 只 有 以 通 法 为  抓手, 抓 住题 目的特 征 加 以灵 活 变 通 , 才 能 真 正 高 效 
地解 题 .  

B (   z ,   z ) , 则 z   一 等2 C 2 - 一 警 , 得  
l — z 2 一 言(   l +   2 ) (   l —   2 ) ,  
即 — Y l - — Y z 一 


、   l/  
、   , 

4 推 广 总 结  有关 抛物 线焦 点 弦 的性质 大 家 已总结 出很 多 , 这 



是 一 

里笔 者 只对这 道 高考题 进行 推广 总结 :   已知抛 物 线 C:   一2 p : c(  > 
/ 
A 

l  

正2  

1  1二 y2  

则  +y z —i 8



③ 

图 3  

0 ) , 如 图 4所 示 , 过 焦 点 F且 斜 率  为 是的直 线交 C 于 A 、 B   2 点, 点 M 
^ 

如 图 3所示 , 再 取 弦 AB 的 中点 D , 连 接 DM , 并  分别 过 A、 B   2点 作 准线 z :  一 一2的垂 线 , 垂 足 分别 

( 一   ,  。 ) 是其 准线 上 的任 意一 点.  
厶 

/  
J 【 , \  

为 P、 Q, 由MA? MB= = = 0 得 MA上MB, 则D M =÷AB.   又A B=AF +B F=AP +B O, 从 而 DM=÷ ( AP+  B Q) , 所 以 DM 是 梯 形 APQ B 的 中位 线 , 即 D M/ /  
AP, 从 而 DM / /z 轴 . 义 M( 一2 , 2 ) , D(  
) , 所以   -2 ,得 y l   4 -  。 = = = 4 .  

/ 

取 弦 AB 的 中点 D, 连 接 DM , 并 分  别 过 A、 B   2点 作 准线 的垂线 , 垂 足  分别 为 P、 Q . 当 MA _ l _ MB 时 , 有 下  面的结论 : ①走 一   ;②MF上 A_ B、  
P F_ 上 _ Q F、 AM 上 PF、 B M上Q F;③ M A、 MB 是 抛 物 
图 4  

丑 ,  
④ 

线 C 的 2条切 线 ; ④ AM 与 PF 的交 点 G、 B M 与Q F   的交 点 H 都 在  轴 上 , 且 四边 形 MHF G是矩形; 矩 
形 M HF G 的 面 积 是 直 角 i 角 形 PF Q 面 积 的一半 ; 矩 
1  

由③④得芋= = = 4 , 即是 一2 .  
3   方 法 评 注 

形 MHF G 的面积 最小 值 为 ÷ P   ( 此时 , 点 M 在 坐 标 
厶 

“ 解析 几何 ” 一 般 既 具 备 代 数 特征 又 具 备 几 何 特  征, 因此 , 解 题 时应该 把握 好 尺 度 , 在 搞 好 代数 运 算 的  同 时抓住 有用 的几何 特征 , 才 能有效 降低 解题 难度 .   1 )方法 1是 比较 典 型 的代 数 方 法 , 过 程清晰 自  
然, 考 生容 易上手 . 其 中用 到 了“ 一元 二 次 方程 的根 与 

原 点处 , 且 AB J -  轴 ) ; ⑤ 点M 是 P Q 的 中点 , 线 段 
DM 的 中 点 K 在 抛 物 线 C 上 ;⑥ △ AMB 的 面 积 是  四 边 形 APQ B 面积 的一 半 , 而 且 △AM B 的 面 积 最 小 

值为 P 。 ( 此时, M 在 坐标 原点 处 , 且 ABJ _  轴 ) .   ( 作者 单位 : 安徽 省 屯溪一 中)  

高 中  


相关文档

  • 2019届高三英语二轮复习试题专题二第八讲定语从句和名词性从句练习Word版含解析
  • 心理健康教育试题及答案
  • 2016年北京大学金融专硕考研经验交流(凯程学员朱cc)
  • 2019年出纳试用期工作总结范文-word范文 (2页)
  • 四年级英语教学案例Lesson4 How Many Books Are There
  • 高等教育法规概论练习题(二)
  • 河北神州巨电新能源科技开发有限公司(企业信用报告)
  • 镇宁布依族苗族自治县人民政府关于成立镇宁布依族苗族自治县环翠
  • 拯救男孩刻不容缓
  • “天人合一”的思想在传统文学中解读人与自然、自然与艺术的关系
  • 中国压调行业市场前景分析预测报告(目录)_图文
  • 电脑版