也谈抛物线焦点弦的性质——由一道高考题引发的思考_论文

程 , 二式 及斜 翠公 式 联立 也 口 J 得 到 斜 率 k与 A 、 B   2点  也 谈 抛 物 线 焦 点   弦 治 性 质   由 一 道 高 考 题 引 发 的 思 考   ◇ 安徽 方 玮  的横、 纵坐标间的关系式. 对条件“   . 旆 = = = o ” 的使  用 同思 路 1 .   方法 2   设 A(   , Y   ) 、 B( z z , Y z ) , 由题 意 得 焦 点  一  ,   F( 2 , 0 ) , 则 由 A、 B、 F   3点共 线 可 得 :   即 z   z   2   z — z z  一 2   . 又 z   一 等 ,   z 一   y l , 所 以   等   z 一 2   z 一   一 2 l y l ’   z   一 ) (   + 2 ) _ 0 _   目前 , 有 关 抛 物 线 焦 点 弦 的 性 质 已被 总 结 出 很  多, 它 为 我们 研 究 抛 物 线 的焦 点 弦 问题 提 供 了帮 助.   本文对 Z 0 1 3 年 高考全国大纲卷理科数学第 1 1 题 给  出几 种方 法 , 同时 也 对 此 问题 进 行 推 广 , 并 总 结 出 几  条 有 关抛 物线 焦 点弦 的性 质.   1   原 题 重 现  又  ≠  , 则y   z . y 2 一 一 1 6 , 从 而   1 l z 2 一 壶  ; 一 4 , 由   等 , z z 一 警得  一 z z 一   1 (   +   ) (   一  ) , 即   zl — 2   三 一   . 又  三 一 是 , 则  @ Y 2 = = = 一 8 Y   k , 从 而  l + 2 ’   z 1 一 2   ’   ’   … ’   已知抛 物 线 C: y   一8 x与 点 M ( 一2 , 2 ) , 过焦点 F   z   + z   一 警 + 警 一 吉 [ (   +   )  2  。 ] 一 4 +   .   以 下 用 方 法 1的 解 法 , 可得 k 一2 .   2 ) 几. 何 法  斜 率 为 k的直 线与 C 交 于 A 、 B   2点 , 若MA? MB一0 ,   则 k 一(   ) .   思 路 3 如 图 1所 示 , 由 抛  A 去;   2   思 路 探 究  B   ;   C   ;   D  2   物 线 C: Y 。 一8 x的准线 l :  一   一 /  2 及 M( 一2 , 2 ) 可 知点 M 在 z   本 题 既能考 查 抛 物 线 的 基 本 概 念 、 基本性 质 , 又  上, 又 弦 AB 过 焦 点 F , 联 想 到  ≤   A   手 _ 1D /    、   能考 查 平 面几 何 的 推理 能力 、 解 析 几 何 的运 算 能 力 ,   因 而思 路宽 , 方 法多 .   1 )代 数 法  抛 物线 的定 义 . 又 由条 件 “ MA?   MB= = = 0 ” 可 得 M A上 M B, 再 结  合 平面 几何 的 知 识 进 行 推 理 可  得 △ A_ P M兰 △AF M, 由 此 得 到  思路 1   先 设 出过 焦 点 F斜 率 为 k的直 线 方 程 ,   并 联 立抛 物线 的方程 可得 到斜 率 k与 A、 B   2点 的 横 、   纵 坐 标 间的关 系 式 , 再 对 条件 “ MA? MB一0 ” 直接 代 人  数 量 积 的坐标 运算 公 式 , 便 可 沟通 “ 已知” 和“ 未知” .   方法 1   设 A(   , Y   ) 、 B(   。 , Y   ) , 由 题 意 得 焦 点  F( 2 , 0 ) , 故 可 设 直 线 AB: Y —k (  一 2 )( 志 ≠O ) , 联 立 得  Y   一8 x, 消 去 Y得 : 志 。  。 一( 4 k   +8 ) z+ 4 k  一 0 , 则  MF   AB, 从而, AB 的 斜 率 等  于 MF斜 率 的负 倒数 .   图 1   方 法 3 取 弦 AB 的 中点 D , 连 接 DM ; 并 分 别过  A、 B   2 点 作 准线 z : z一一2的 垂线 , 垂 足分 别 为 P、 Q.   — — + — — ' .   1   由MA? MB一0 得  上MB, 则 DM =÷AB . 又 AB一   厶  1   AF+BF   AP+B Q, 从 而 DM =÷ ( AP+BQ) , 所 以  厶  / ' I + z 2 — 4 +告, z l X 2 —4 . 消去   得k y   - 8 y -1 6 k = 0 ,   则  1 +Y 2 一  o, y 1   y 2 一 一1 6 .又MA一 (  1 +2 , y 1 —  2 ) , MB= = = ( z 2 +2 , Y   一2 ) , 由M A? M B— O 得:   (  1 + 2 )(  2 + 2)+ (  1 —2 )(  2 — 2)一 0,   D M 是 梯 形 APQ B 的 中 位 线 ,即 DM / /AP, 则  PAM 一  AM D.又 由 DM — DA 可 得  DAM 一  AMD , 所 以  PAM 一  DAM . 又 AP— AF, AM  AM , 所 以 △AP M 兰 △ A_ F M, 则  AP M 一  AF M. 又  APM 一 9 O 。 , 所 以  AFM   9 O 。 , 即 M F_ 上 I AB, 故  L一 一 整 理得 z l  2 +2 (  l +z 2 ) + 1 y 2 —2 (  

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