高二上人教A版数学月考题(立体几何_圆锥曲线)

数学试题(理科)
(本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题(本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。把答案填在机读卡上。 ) 1、已知向量 a ? (2, ?3,5) 与向量 b ? (?4, x, y ) 共线,则 x,y 的值分别是( A. 6 和-10 B. –6 和 10 C. –6 和-10 D. 6 和 10 ) )

2、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

1 正方体 ○

② 圆锥

③ 三棱台

④正四棱锥

A.①②

B.②④

C.①④ )

D.①③

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于( 3.椭圆 m 4
A.5 或 3 B.8 C.5 D.

5或 3


4、已知直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,下列命题正确的是( A. 则m ? n m ? ? , n // ? 且 ? ? ? , C. ? ? ? ? m, n ? m 且 ? ? ? ,则 n ? ?

B. 则m ? n m ? ?, n ? ? 且? ? ? , D. m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n

x2 y2 ? ?1 2 9 5.已知 P 是双曲线 a 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,

F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 PF1 ? 3 ,则 PF2 ? (
A.3
2



B.6 C.5 D.7 2 x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 6、如果椭圆 36 9 A C
王新敞
奎屯 新疆



x ? 2y ? 0
x ? 2y ? 8 ? 0

B D
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? 2y ? 4 ? 0
2 x ? 3 y ? 12 ? 0

王新敞
奎屯

新疆

7、已知点 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, a 2 b2
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高二数学理 12 月月考

过点 F 垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若 ?ABE 是锐角三角形,则该 双曲线的离心率 e 的取值范围是( A. (1, ??) B. (1, 2) ) C. (1,1 ? 2) D. (2,1 ? 2)

8.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、BB1 的中点,G 为棱 A1B1 上的一点,且 A1G=λ (0≤λ ≤1) 则点 G 到平面 D1EF 的距离为( A.
2? 3

) C.
5 5

B.

2 2

D. 3 )

9.抛物线 y ? 4x 2 上一点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,则该点的坐标是( A. (1,2) B. (0,0) C. (1,4)
1 D. ( ,1) 2

10、 方程 mx ? ny2 ? 0 与 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意 图应是( )

A
2

B

C

D
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个 a 2 b2

11、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 为双曲线

焦点,经过两曲线交点的直线恰过点 F ,则该双曲线的离心率为( A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 D. 1 ? 3



12、已知 F1 , F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个 交点,并且 PF1 ? PF2 , e1 和 e2 分别是椭圆和双曲线的离心率,则有( A. e1e2 ? 2 C. e1 ? e2 ? 2 2
2 B. e12 ? e2 ?4



D.

1 1 ? 2 ?2 2 e1 e2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题。 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡上. ) D' C' ? ? ? ? 13. 如图在平行六面体 ABCD ? A B C D 中,
A' B'

高二数学理 12 月月考

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D C

A

B

AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90 , ?BAA? ? ?DAA? ? 60 ,则 AC ? 的
长是 。 (13 题图)

14、如果从抛物线 y 2 ? 16x 上各点向 x 轴作垂线段,那么 线段中点的轨迹方程为 。

15、已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有且只有一个公共点,那么 k ? 16、已知定点 N (2,0) ,动点 A, B 分别在图中抛物线
x2 y 2 ? ?1 y ? 8x 及椭圆 9 5 的实线部分上运动,且
2



AB / / x 轴,则△NAB 的周长 L 的取值范围

是 。 (16 题图) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,17—20 题各 12 分,最后一题 14 分,解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案填在答题卡上。 )
2 2 17、 (本小题共 12 分)已知双曲线与椭圆 x ? y ? 1 共焦点,它们的离心率之和

25

9

14 为 ,求: (1)双曲线的标准方程; 5

(2)双曲线的渐近线方程。 ▲ 18、 (本小题共 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角 的大小。 ▲ 19、 (本题共 12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,一条渐 4, ? 10 近线方程为 y ? x ,且过点 .

?

?

(1)求双曲线方程;
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(2)设 A 点坐标为 ?

0, 2 ?

,求双曲线上距点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离

PA

. ▲

20、 (本题共 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD 中 PA ? 平面 ABCD ,Q 在线段 PA 上,
0 且 PA=4PQ=4,底面为直角梯形, ?CDA ? ?BAD ? 90 , AB ? 2, CD ? 1, AD ? 2,

P

M , N 分别是 PD,PB 的中点.
(1)求证: MQ // 平面 PCB ; (2)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (3)求点 A 到平面 MCN 的距离. ▲ 21、 (本题共 12 分)设 F1、F2 分别是椭圆 M :

Q M A C

N B

D

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,P 是该 4

椭圆上的一个动点,O 为坐标原点。 (1)求 PF (2)若经过 1 ? PF 2 的取值范围; 点(0,2)的直线 l 与椭圆 M 交于 P,Q 两点,满足 OP ? OQ ? 0 ,求 l 的方程。 ▲ 22、 (本题共 14 分)如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8, 定点A(1,0), M 为圆
2 2

上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足

AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0,点N 的轨迹为曲线 Q.
(1)求曲线 Q 的方程; (2)过点 S (0, ? ) 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 Q 于 E、F 两点,在 y 轴上是否存在定点 G,满足 GT=GE+GF 使四边形 GETF 为矩形?若存在,求出 G 的坐标和四边形 GETF 面积的最大值;若不存在, 说明理由。 ▲

1 3

成都市树德协进中学高 2013 级月考
高二数学理 12 月月考 -4共4页

数学试题(理科)答案
一、 选择题。 题 1 2 3 号 选 A B A 项 二、填空题
13、 | AC? |? 85 ;

4 B

5 D

6 C

7 B

8 C

9 D

10 D

11 B

12 D

14、 y 2 ? 4 x

;15、 ?1,?

2

( ;16.

26 ,6) 。 5

三、解答题。 17、 (1 )解:由于椭圆焦点为 F( ? 4,0),离心率为 e= F( ? 4,0),离心率为 2,从而 c=4,a=2,b=2 3 . x2 y2 所以求双曲线方程为: ? ?1 4 12 (2)渐近线方程为 18、解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基 础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90? ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, 1 ∴ DE ? BC , 2 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥ AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?
1 AB , 2
1 AB . 2
4 ,所以双曲线的焦点为 5

y ? 3x或y ? ? 3x

∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? ,∴ BC ? ∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

DE BC 2 ? ? , AD 2 AD 4 2 . 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arcsin

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【解法 2】如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz , 设 PA ? a ,由已知可得
? 1 ? ? ? 3 3 A ? 0, 0, 0 ? , B ? ? a , a , 0 , C 0, a , 0 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? , P ? 0, 0, a ? . 2 ? ? ? ?

?1 ? (Ⅰ)∵ AP ? ? 0,0, a ? , BC ? ? a,0,0 ? , ?2 ?

∴ BC ? AP ? 0 ,∴BC⊥AP.又∵ ?BCA ? 90? ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴E 为 PC 的中点,
? 1 3 1 ? ? 3 1 ? ? a , a , a , E 0, a, a ? ∴ D? , ? ? ? 4 ? 4 2 ? 2 ? ? ? ? 4 ?

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,
? 1 ? 3 1 ? 3 1 ? ? a , a , a , AE ? 0, ∵ AD ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 a, 2 a ? ?, 4 2 ? ? ? ?

∴ cos ?DAE ?

AD ? AE AD ? AE

?

14 . 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arccos
2 2 19、解: (1)由题意,设双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? 0)

14 . 4

? 4, ? 10 ? 代入双曲线方程,得 4 ? ? ? 10 ? 将点
2

2

??



即? ? 6

2 2 所以,所求的双曲线方程为 x ? y ? 6

2 2 设 双 曲 线 上 任 意 一 点 P( x1 , y1 ) , 则 x1 ? y2 ? 6 , 从 而

| PA |? x12 ? ( y1 ? 2) 2 ? 6 ? y12 ? y12 ? 4 y1 ? 4

=

2 y12 ? 4 y1 ? 10 ? 2( y1 ? 1) 2 ? 8

当 y1 ? 1 时 | PA | 有最小值 2 2
所以当 P 的坐标为 (? 7,1) 时 | PA | 有最小值 2 2 .

20



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∴M Q∥平面 PCB

…………4 分

(2)设平面的 MCN 的法向量为

n ? ? x, y, z ?

,又

? ? 2 CM ? ? ? ? 2 , ?1, 2 ? ? , CN ? ? 2, 0, 2 ? ?

?

?

则有:

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22、解: (Ⅰ) ∴|NA|=|NM|.又

∴NP 为 AM 的垂直平分线,

∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为 焦距 2c=2.

∴曲线 Q 的方程为

(2)动直线 的方程为:





设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 )

则 假设在 y 上存在定点 G(0,m) ,满足题设,则

由假设得对于任意的 k ? R, 使得GE ? GF =0 恒成立,

即 解得 m=1。 因此,在 y 轴上存在定点 G,使得以 EF 为直径的圆恒过这个点, 点 G 的坐标为(0,1)

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这时,点 G 到 EF 的距离







所以

当且仅当

时,上式等号成立。因此,

面积的最大值是



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