2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修1_1


3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 单 调 性 1 2 已知函数 y1=x,y2=x ,y3= . x 问题 1:试作出上述三个函数的图像. 提示:图像为 问题 2:试根据上述图像说明函数的单调性. 提示:函数 y1=x 在 R 上为增函数,y2=x 在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增 1 函数,y3= 在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数. 2 x 问题 3:判断它们导函数的正负. 提示:y1′=1>0;y2′=2x, 当 x>0 时,y2′>0, 1 当 x<0 时,y2′<0,y3′=- 2<0. x 问题 4:由问题 2、3 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 提示:当 f′(x)>0 时,f(x)为增函数,当 f′(x)<0 时,f(x)为减函数. 问题 5:试用 y=e ,y=e 说明函数的单调性与其导函数正负的关系. 提示:y=e 的导函数 y′=e >0,所以 y=e 在 R 上为增函数,y=e 的导函数 y′=-e -x x -x x x x -x <0,所以 y=e 在 R 上为减函数. -x 一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系 导数 函数的单调性 单调递增 单调递减 常数函数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 1.函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释,导数大于零,切线的斜率 大于零,函数单调增加;即该函数是增函数;反之,函数为减函数. 2.在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件,而不 是必要条件, 若出现个别点的导数为零, 不影响函数在该区间上的单调性. 如 f(x)=x , f′(0) =0,而 f(x)=x 在 R 上是增函数. 3 3 -1- [对应学生用书P49] 判断或证明函数的单调性 ? π π? [例 1] 求证函数 f(x)=sin x+tan x 在?- , ?内为增函数. ? 2 2? ? π π? [思路点拨] 先利用求导法则求出导数 f′(x),再证明 f′(x)在?- , ?内恒正,得 ? 2 2? 出结论. [精解详析] ? π π? ∵函数 f(x)=sin x+tan x 在?- , ?内恒有意义,且 f′(x)=(sin ? 2 2? x 3 x)′+(tan x)′ =cos x+ x- 2 cos x x x 1 1+cos x =cos x+ 2 = . 2 cos x cos x ? π π? 又∵x∈?- , ?, ? 2 2? ∴0<cos x≤1, ∴f′(x)>0, ? π π? ∴y=f(x)在?- , ?内为增函数. ? 2 2? [一点通] 用导数判断函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的步骤: (1)求出 y=f(x)的导数 f′(x); (2)证明导数 y=f′(x)在区间(a,b)内恒正(恒负); (3)下结论 y=f(x)在区间(a,b)内为增函数(减函数). 1.已知函数 y=f(x),x∈[0,2π ]的导函数 y=f′(x)的图像如图所示,则 y=f(x)的单 调增区间为________. 解析:根据 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, f′(x)<0 时,f′(x)单调递减, -2- 由图得到 x∈[0,π ]时,f′(x)>0, 故 y=f(x)的单调增区间为(0,π ). 答案:(0,π ) 2.讨论下列函数的单调性: (1)f(x)=x

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