【精品】第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和解答

【精品】第 31 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 说明:所有答案 (包括填空)必须写在答题纸上,写在试题纸上无效。 一、 (12分)2013年6月20日,“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了我国首次太 空授课. 授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面张力引起的效应. 视频中可发现漂浮的液滴处于 周期性的“脉动”中(平时在地球表面附近,重力的存在会导致液滴下降太快,以至于很难观察到液滴的这种 “脉动”现象) . 假设液滴处于完全失重状态, 液滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化 (振动) , 如图所示. 振动的 液滴 (1)该液滴处于平衡状态时的形状是__________; (2)决定该液滴振动频率 f 的主要物理量是________________________________________; (3)按后面括号中提示的方法导出液滴振动频率与上述物理量的关系式.(提示:例如,若认为 a , b, c 是决 定该液滴振动频率的相互独立的主要物理量,可将液滴振动频率 f 与 a , b, c 的关系式表示为 f ? a? b? c? ,其 中指数 ? , ? , ? 是相应的待定常数.) 二 、 (16 分 ) 一 种 测 量 理 想 气 体 的 摩 尔 热 容 比 ? ? C p / CV 的 方 法 (Clement-Desormes 方法)如图所示:大瓶 G 内装满某种理想气体,瓶盖上 通有一个灌气(放气)开关 H,另接出一根 U 形管作为压强计 M.瓶内外的 压强差通过 U 形管右、左两管液面的高度差来确定. 初始时,瓶内外的温度 相等,瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高,记录此时 U 形管液面的高度 差 hi .然后打开 H,放出少量气体,当瓶内外压强相等时,即刻关闭 H. 等待 瓶内外温度又相等时,记录此时 U 形管液面的高度差 h f .试由这两次记录的 实验数据 hi 和 h f ,导出瓶内气体的摩尔热容比 ? 的表达式.(提示:放气过程时间很短,可视为无热量交 换;且 U 形管很细,可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变 化前后的体积变化) C 三、 (20 分)如图所示,一质量为 m、底边 AB 长为 b、等腰边长 为 a、质量均匀分布的等腰三角形平板,可绕过光滑铰链支点 A 和 B 的水平轴 x 自由转动;图中原点 O 位于 AB 的中点,y 轴垂直于 板面斜向上,z 轴在板面上从原点 O 指向三角形顶点 C. 今在平板 上任一给定点 M0 ( x0 ,0, z0 ) 加一垂直于板面的拉力 Q. A x O? M0 Q z y ? O B (1)若平衡时平板与竖直方向成的角度为 ?,求拉力 Q 以及铰链支点对三角形板的作用 力 NA 和 NB; (2)若在三角形平板上缓慢改变拉力 Q 的作用点 M 的位置,使平衡时平板与竖直方向 成的角度仍保持为 ?,则改变的作用点 M 形成的轨迹满足什么条件时,可使铰链支点 A 或 B 对板作用力的垂直平板的分量在 M 变动中保持不变? ? ? C O R 四、 (24 分)如图所示,半径为 R、质量为 m0 的光滑均匀圆环,套在光滑竖直细轴 OO? 1 / 19 上,可沿 OO?轴滑动或绕 OO?轴旋转.圆环上串着两个质量均为 m 的小球. 开始时让圆环以某一角速度绕 OO?轴转动,两小球自圆环顶端同时从静止开始释放. (1)设开始时圆环绕 OO?轴转动的角速度为 ?0,在两小球从环顶下滑过程中,应满足什么条件,圆环才有 可能沿 OO?轴上滑? (2)若小球下滑至 ? ? 30? (? 是过小球的圆环半径与 OO?轴的夹角)时,圆环就开始沿 OO?轴上滑,求开 始时圆环绕 OO?轴转动的角速度 ?0、在 ? ? 30? 时圆环绕 OO?轴转动的角速度 ? 和小球相对于圆环滑动的速 率v. 五、 (20 分)如图所示,现有一圆盘状发光体,其半径为 5cm,放置在一焦距为 10cm、半径为 15cm 的凸 透镜前, 圆盘与凸透镜的距离为 20cm, 透镜后放置一半径大小可调的圆形光阑和一个接收圆盘像的光屏. 图 中所有光学元件相对于光轴对称放置.请在几何光学近轴范围内考虑下列问题,并忽略像差和衍射效应. 圆盘 凸透镜 光阑 光屏 (1)未放置圆形光阑时, 给出圆盘像的位置、大小、形状; (2)若将圆形光阑放置于凸透镜后方 6cm 处. 当圆形光阑的半径逐渐减小时,圆盘的像会有什么变化?是 否存在某一光阑半径 ra ,会使得此时圆盘像的半径变为(1)中圆盘像的半径的一半?若存在,请给 出 ra 的数值. (3)若将圆形光阑移至凸透镜后方 18cm 处,回答(2)中的问题; (4)圆形光阑放置在哪些位置时,圆盘像的大小将与圆形光阑的半径有关? (5)若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方 6cm 处,回答(2)中的问题. 六、 (22 分)如图所示,一电容器由固定 在共同导电底座上的 N+1 片对顶双扇形薄金 属板和固定在可旋转的导电对称轴上的 N 片 对顶双扇形薄金属板组成,所有顶点共轴, 轴线与所有板面垂直,两组板面各自在垂直 于轴线的平面上的投影重合,板面扇形半径 均为 R,圆心角均为 ? 0 ( N 片可旋转金属板 ? s … … ?m ;固定 ? ?0 ? ? ) 2 N+1 片固定金属板 金属板和可旋转的金属板相间排列,两相邻 金属板之间距离均为 s.此电容器的电容 C 值与可旋转金属板的转角 ? 有关.已知静电力常量为 k . (1)开始时两组金属板在垂直于轴线的平面上的投影重合,忽略边缘效应,求可旋转金属板的转角为 ? ( ?? 0 ? ? ? ? 0 )时电容器的电容 C (? ) ; (2) 当电容器电容接近最大时, 与电动势为 E 的电源接通充电 (充电过程中保持可旋转金属板的转角不变) , 稳定后断开电源,求此时电容器极板所带电荷量和驱动可旋转金属板的力矩; (3

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