北京市高三数学一模分类汇编1 集合、简易逻辑与函数 理

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数
【2012 北京市丰台区一模理】1.已知集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {a} ,若 A 取值范围是 A. (??, ?1) C. (-1,1) 【答案】B 【 2012 北 ( )

B ? ? ,则 a 的

(1, ??) B. ? ??, ?1?

?1, ???
D.[-1,1] 区 一 模 理 】 1. 已 知 集 合


2







M ?? , a ?0
( ) (A) 1 【答案】C

N ?,?

x 2? x Z 5 ? 如果 x 0 ? ,x

?

则 , 等于M ?

? N
5 2

,

a

(B) 2

(C) 1或2

(D)

【2012 北京市海淀区一模理】 (1) 已知集合 A = {x x > 1},B = {x x < m}, 且A 那么 m 的值可以是 (A) - 1 【答案】D 【2012 年北京市西城区高三一模理】 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x | (A) (0,1) (B) (0,1] (C) (??, 0] 【答案】C 【解析】 A ? {x (B) 0 (C) 1 (D) 2

B= R,

1 ? 1} , 则 ?U A ? ( x



(1, ??) (D) (??, 0) [1, ??)

1 ? 1} ? {x 0 ? x ? 1} ,所以 CU A ? {x x ? 0或x ? 1} ,选 C. x

2 【2012 北京市门头沟区一模理】已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 3x ? 4 ? 0 ,

?

?

B ? ? x x ? ?2或x ? 3? ,则集合

A

U

B 等于

(A) x ?2 ? x ? 4 (C) x ?1 ? x ? 3 【答案】C

?

?

(B) x ?2 ? x ? ?1 (D) x 3 ? x ? 4

?

?

?

?

?

?

【2012 北京市石景山区一模理】1.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log1 x ? 0} ,
2

2

则 M ? N 等于(



A. (?1,1) 【答案】B

B. (1,3)

C. (0,1)

D. (?1,0)

【解析】 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x | log1 x ? 0} ? {x | x ? 1 },
2

所以

M ? N ? {x 1 ? x ? 3}

,答案选 B.

【2012 北京市石景山区一模理】14.集合

U ? ?( x, y) | x ? R, y ? R?, M ? ? ( x, y) | x ? y ? a? , P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?,
现给出下列函数:① y ? a x ,② y = loga x ,③ y ? sin( x ? a) ,④ y ? cos ax , 若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f ( x ) 的编号是 【答案】①②④ 【解析】由 P ? CU M ? P, 可知 .

M ?P ??

,画出相应的图象可知,

①②④满足条件。

【2012 北京市海淀区一模理】 (20)(本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

已知 A = {2, 4,6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} . M ?N ? {x f M (x ) ? fN x ( ? )? . 1} (Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A? B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值; (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P, Q ? A

B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ?

【答案】解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= -1 , A?B ? {1,6,10,16} . ……………3 分 ( Ⅱ ) 根 据 题 意 可 知 : 对 于 集 合 C, X , ① 若 a ? C 且 a ? X , 则

C a r ( d ? ( C C a ( ? r (d

X { } ?a ) C{? X }

; ② C? a ( r d ?) C 1X



a? C d1 C



a? X





)

a ?.

(C ?

a )r

X

所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A

B 之外的元素.

所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B)

取到最小值 4. (Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} , 所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) .

………………………………………8 分

所以 对任意元素 x , f( A?B) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) ,

f A?( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f( A?B) ?C ( x) ? f A?( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q . 因为 P, Q ? A

B,

所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 27 ? 128 .

x?) 【 2012 北 京 市 丰 台 区 一 模 理 】 7 . 已 知 a ? b , 函 数 f ( x) ? s i nx ,g ( p : f ( a) ? f ( b? ) ,命题 0 q : g ( x)在(a, b) 内有最值,则命题 p 是命题 q 成立的
( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

c ox s . 命题

2 【 2012 北京市东城区一模理】 ( 2 )若集合 A ? {0 , m } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是

“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A 【2012 北京市东城区一模理】 (9)命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? 2

.

【答案】 ?x ? (0, ), tan x ? sin x 【2012 北京市丰台区一模理】8.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当

? 2

?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga | x | 至少有 6 个零点,则 a
( A. a ? 5或a ? )

1 5

C. a ? [ , ] [5, 7] 【答案】D

1 1 7 5

1 ?5, ?? ? 5 1 1 D. a ? [ , ] [5, 7] 7 5
B. a ? (0, )

?? x2 ? ax, x ? 1, 【2012 北京市海淀区一模理】 (7)已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使 x ? 1, ?ax ? 1,
得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 (A) a < 2 (C) - 2 < a < 2 (B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2

【答案】A 【2012 年北京市西城区高三一模理】6.若 a ? log 2 3 , b ? log3 2 , c ? log4 6 ,则下列结论 正确的是( )

(A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a 【答案】D 【解析】 0 ? log3 2 ? 1 , log2 3 ? log4 9 ? log4 6 ? 1所以 b ? c ? a ,选 D。 【 2012 年北京市西城区高三一模理】 13.

? 0 ? x ? c, ?x 2 , 已知函数 f ( x) ? ? 其中 2 x ? x , ? 2 ? x ? 0, ? ?
1

1 c ? 0 .那么 f ( x) 的零点是_____;若 f ( x) 的值域是 [? , 2] ,则 c 的取值范围是_____. 4
【答案】 ?1 和 0 , (0, 4] 【解析】当 0 ? x ? c 时,由 x
1 2

? 0 得, x ? 0 。当 ? 2 ? x ? 0 时,由 x 2 ? x ? 0 ,得 x ? ?1 ,
1 2

所以函数零点为 ?1 和 0 。当 0 ? x ? c 时, f ( x) ? x ,所以 0 ? f ( x) ?

c ,当 ? 2 ? x ? 0 , 1 1 1 1 f ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? , 所以此时 ? ? f ( x) ? 2 。 若 f ( x ) 的值域是 [? , 2] , 则有, 2 4 4 4 c ? 2 ,即 0 ? c ? 4 ,即 c 的取值范围是 (0,4] 。 1 1 【2012 北京市门头沟区一模理】14.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 2 2

叫离实数 x 最近的整数,记作 ? x? ? m ,已知 f ( x) ? ? x ? ? x ,下列四个命题: ①函数 f ( x ) 的定义域为 R ,值域为 ?0, ? ; 2 ③函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 1; 其中正确的命题是 【答案】①③④ 【2012 北京市朝阳区一模理】6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ) .当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的 图象在 [0, 2] 内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是 A. 0 B. 0 或 ? .

? 1? ? ?

②函数 f ( x ) 是 R 上的增函数; ④函数 f ( x ) 是偶函数,

1 2

C. ?

1 1 或? 4 2

D. 0 或 ?

1 4

【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】 7. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第 一年免收管理费,因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x % 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年 增加了

70 ? x% 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 1 ? x%
C. 8.8 D. 10

管理费不少于 14 万元,则 x 的取值范围是 A. 2 B. 6.5 【答案】D

? 1 x 3 x ? 2, ?( ) ? , 【 2012 北 京 市 朝 阳 区 一 模 理 】 13. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 2 若函数 4 ? ? log 2 x, 0 ? x ? 2.
g ( x) ? f ( x) ? k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是
【答案】 ( ,1) .

3 4

? 2? x ? 1, x ? 0, 【2012 北京市东城区一模理】 (8)已知函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a 有 ? f ( x ? 1), x ? 0. 且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是
(A) ? ??,1? 【答案】A (B) ? ?? ,1? (C) ? 0,1? (D) ?0, ? ??

1 ? ? x ? a, x ? , ? ? 2 【2012 北京市石景山区一模理】12.设函数 f ( x) ? ? 的最小值为 ?1 ,则实数 a ? log x, x ? 1 2 ? ? 2
的取值范围是 【答案】 a ? ? .

1 2

【解析】因为当 x ?

1 1 时, log2 x ? ?1 ,所以要使函数的最小值 ? 1 ,则必须有当 x ? 时, 2 2 1 f ( x) ? ? x ? a ? ?1 , 又 函 数 f ( x) ? ? x ? a 单 调 递 减 , 所 以 f ( x) ? ? ? a 所 以 由 2 1 1 ? ? a ? ?1 得 a ? ? 。 2 2


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