第一部分 微专题训练——回归教材第3练 三角函数与平面向量

第3练

三角函数与平面向量

【方法引领】
第 3练
【方法引领】

三角函数与平面向量

【回归训练】
【回归训练】 一、 填空题

? π? ?? - ? 1. 设向量a=(cos α ,-1),b=(2,sin α ).若a⊥b,则tan ? 4 ? =

.

π? ? π ?0 ?? ? ? 2 ? 的图象关于直线x= 6 对称,则θ = 2. 若函数f(x)=sin(x+θ ) ?
???? ??? ? ??? ? ???? 3 AC AB AB 3. 在△ABC中,已知| |=4,| |=1,S△ABC= ,则 ? AC =

.

.

4. 设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则 ??? ? ??? ? AE ? AF = .

? π π? ?- , ? 5. 已知函数f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间 ? 3 4 ? 上的最小值是-2,则ω 的最小值等
于 .

6. 设向量a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),其中0<α <β <π ,若|2ab|=|a+2b|,则β -α = .

?π π? ??? ? ??? ? ??? ? ? x- ? 7. 已知函数y=tan ? 4 2 ? 的部分图象如图所示,则( OA + OB )? AB =

.

(第7题)

???? ? ???? ??? ? ???? ? OM ON OP OM 8. 设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,已知 =e1, =e2, =x? ???? +y? ON (x,y为实数).若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形,则x-y的取值集合



.

二、 解答题 9. 已知向量a=(2cos α ,2),b=(2,2sin α ). (1) 若a⊥b,求α 的取值集合; (2) 求|a+b|的最大值及相应的α 的取值集合.

10. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2sin2 (1) 求角C的大小;

A? B 2

+cos 2C=1.

? b? - ? ? a, 3 ? ,且m⊥n,(m+n)?(m-n)=16,求a,b,c的值. ? (2) 若向量m=(3a,b),n=

4 11. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos B= 5 .
(1) 求cos(A+C)的值;

π? ? ?B? ? 6 ? 的值; (2) 求sin ? ? ??? ? ??? BC BA (3) 若 ? =20,求△ABC的面积.

【回归训练答案】

第 3练
1 1. 3

三角函数与平面向量

【解析】因为a⊥b,所以a?b=2cos α -sin α =0,即tan α =2,

? π ? tan? -1 2-1 1 ?? - ? 所以tan ? 4 ? = 1 ? tan? = 1 ? 2 = 3 .

π 2. 3

? π? ?π ? π ? ? ? ?? ? ? =1或-1, 【解析】f(x)=sin(x+θ )关于直线x= 6 对称,f ? 6 ? =sin ? 6

π π 而0<θ < 2 ,所以θ = 3 .

3. ±2 【解析】S△ABC=

3 1 1 3 = 2 ?4?1?sin A?sin A= 2 ?cos A=± 2 , ? 1?

???? ???? ??? ? ??? ? ?? ? AC AC AB AB 所以 ? =| |?| |cos A=4?1? ? 2 ? =±2.

4. 10 【解析】 AE ? AF =( AB + BE )?( AC + C F )=

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

? 1 ??? ? ? ? ??? ? 1 ??? ?? ? ??? 1 1 2 AB ? BC AC BC ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2 3 ?? ? 3 ? ? = AB ? AC - 9 | B C | + 3 B C ?( AC - AB )= 9 | B C |2=
2 9 ?45=10.

3 5. 2

π 【解析】因为f(x)=2sin ω x(ω >0)的最小值是-2,x= ? - 2 ? (k∈Z),

2kπ

π 2kπ π π 3 3 所以- 3 ≤ ? - 2 ? ≤ 4 ,所以ω ≥-6k+ 2 且ω ≥8k-2,所以ω min= 2 .

π 6. 2

【解析】因为|2a-b|=|a+2b|,

所以|2a-b| =|a+2b| ?8a?b=3(|a| -|b| )=0.又因为a=(cos α ,sin α ),b=(cos
2 2 2 2

β ,sin β ),所以|a|=|b|=1,所以a?b=0, 所以a?b=cos α cos β +sin α sin β =cos(β -α )=0.
π 因为0<α <β <π ,所以β -α = 2 .

? π π? π π ? x- ? 4 2 ? ? 4 7. 6 【解析】因为y=tan =0? x- 2 =kπ ?x=2+4k,
由图得x=2,故A(2,0).

? π π? π π π ? x- ? 由y=tan ? 4 2 ? =1? 4 x- 2 =kπ + 4 ?x=4k+3,
由图得x=3,故B(3,1),所以 O A + O B =(5,1), AB =(1,1), 所以( O A + O B )? AB =5?1+1?1=6.
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

8. {1}

1 ???? ? ???? ???? ? ???? 【解析】由题意得| OM |=| ON |=1, OM ? ON = 2 ,

又因为△PMN是以M为直角顶点的直角三角形, 所以有 MP ? MN =0,即( O P - OM )?( ON - OM )=0,
1 ???? ? ???? ???? ???? ? 所以[(x-1) OM +y ON ]?( ON - OM )=0,得(1-x)+y+ 2 (x-1-y)=0, 1 1 所以- 2 (x-y)=- 2 ,即x-y=1,所以x-y取值的集合为{1}.

????

???? ?

??? ? ???? ?

???? ???? ?

9. (1) 由a⊥b,可知a?b=(2cos α ,2)?(2,2sin α )=4cos α +4sin α =0, 所以tan α =-1,

π ? π ??|? ? - ? kπ,k ? Z} 4 所以α =- 4 +kπ ,k∈Z.故α 的取值集合为 ? .
(2) 由a=(2cos α ,2),b=(2,2sin α ), 得a+b=(2cos α +2,2sin α +2),

π? ? 12 ? 8 2sin ? ? ? ? (2cos? ? 2) ? (2sin? ? 2) 4? . ? 所以|a+b|= =
2 2

π? ? ?? ? ? 4 ? =1, 当sin ?
π 即α = 4 +2kπ (k∈Z)时,

|a+b|取得最大值为2 2 +2,

π ? ??|? ? ? 2kπ,k ? Z} 4 相应的α 的取值集合为 ? .
A?B 2

10. (1) 因为2sin2

+cos 2C=1, =cos(A+B)=-cos C,

所以cos 2C=1-2sin2

A?B 2

所以2cos2C+cos C-1=0,
1 所以cos C= 2 或cos C=-1. π 因为C∈(0,π ),所以C= 3 .

b2 (2) 因为m⊥n,所以3a2- 3 =0,即b2=9a2. ① 8b2 b2 又(m+n)?(m-n)=16,所以8a2+ 9 =16,即a2+ 9 =2. ②
由①②可得a =1,b =9,所以a=1,b=3. 又c2=a2+b2-2abcos C=7,所以c=
2 2

7 ,所以a=1,b=3,c= 7 .

11. (1) 在△ABC中,因为A+B+C=π ,所以A+C=π -B.
4 4 因为cos B= 5 ,所以cos(A+C)=cos(π -B)=-cos B=- 5 .

4 (2) 在△ABC中,因为cos B= 5 ,

? 4? 1-? ? 3 5 所以sin B= ? ? = 5 ,
π? ? 3 1 π π 3 4 3 3?4 ?B? ? 6 ? =sin Bcos 6 +sin 6 cos B= 5 ? 2 + 2 ? 5 = 10 . 所以sin ?
(3) 因为 BA ? B C =20, 即| BA || B C |cos B=20,
4 1 1 3 15 所以c?a? 5 =20,即ac=25,所以△ABC的面积S△ABC= 2 acsin B= 2 ?25? 5 = 2 .

2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?


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