[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第二篇 第6讲 幂函数与二次函数

第 6 讲 幂函数与二次函数 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2013· 临州质检)下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( 1 A.y= x(x∈R,且 x≠0) C.y=x(x∈R) ?1? B.y=?2?x(x∈R) ? ? D.y=-x3(x∈R) ). 解析 对于 f(x)=-x3,∵f(-x)=-(-x)3=-(-x3)=-f(x),∴f(x)=-x3 是 奇函数,又∵y=x3 在 R 上是增函数,∴y=-x3 在 R 上是减函数. 答案 D 2.(2013· 怀远模拟)如图所示,给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对 应是 ( ). 1 1 A.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x-1 1 B.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x-1 1 - C.①y=x2,②y=x3,③y=x2,④y=x 1 1 D.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x-1 解析 因为 y=x3 的定义域为 R 且为奇函数,故应为图①;y=x2 为开口向上 的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项 B 正确. 答案 B 3.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围 为 A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3) ( ). 解析 f(a)=g(b)?ea-1=-b2+4b-3?ea=-b2+4b-2 成立,故-b2+4b -2>0,解得 2- 2<b<2+ 2. 答案 B ?2x,x>0, 4. 已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的值等于 ?x+1,x≤0, A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( ). ?a>0, ?a≤0, 解析 f(a)+f(1)=0?f(a)+2=0?? 或? 解得 a= ?2a+2=0 ?a+1+2=0, -3. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.若 f(x)是幂函数,且满足 解析 设 f(x)=xα,由 f?4? ?1? =3.则 f?2?=________. ? ? f?2? f?4? 4α =3,得2α=3,解得 α=log23,故 f(x)=xlog23,所 f?2? 1 1 ?1? ?1? 以 f?2?=?2?log23=2-log23=2log23=3. ? ? ? ? 1 答案 3 6.若二次函数 f(x)= ax2 - 4x+c 的值域为[0,+∞),则 a, c 满足的条件是 ________. ?a>0, ? 解析 由已知得?4ac-16 =0 ? ? 4a 答案 a>0,ac=4 三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为最小正周期的周期函数.当-1≤x<1 时,y ?1 1? =f(x)的表达式是幂函数,且经过点?2,8?.求函数在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的 ? ? ?a>0, ?? ?ac-4=0. 表达式. ?1 1? 解 设在[-1,1)上,f(x)=xn,由点?2,8?在函数图象上,求得 n=3. ? ? 令 x∈[2k-1,2k+1),则 x-2k∈[-1,1), ∴f(x-2k)=(x-2k)3.又 f(x)周期为 2, ∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3.即 f(x)=(x-2k)3(k∈Z). 8.(13 分)已知函数 f(x)=x2-2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(-∞, 2]上是减函数, 且对任意的 x1, x2∈[1, a+1], 总有|f(x1) -f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数.又定义域和值域均为[1,a] ?f?1?=a, ?1-2a+5=a, ∴? 即? 2 解得 a=2. 2 ?f?a?=1, ?a -2a +5=1, (2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a≥2. 又 x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1, ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2. ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, ∴f(x)max-f(x)min≤4,得-1≤a≤3,又 a≥2,∴2≤a≤3. B级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 2 ?x +ax,x≤1, 1.(2013· 合肥八中月考)已知函数 f(x)=? 2 ?ax +x,x>1, 则“a≤-2”是“f(x)在 R 上单调递减”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ). a 1 1 解析 若 a≤-2,则-2≥1,且-2a≤4<1,则 f(x)分别在区间(-∞,1]和(1, +∞)上为减函数, 又函数在 x=1 处的值相同, 故 f(x)在 R 上单调递减, 若 f(x) 1 ? ?-2a≤1, 在 R 上单调递减,则 a<0,且? a - ? ? 2≥1, 答案 C 得 a≤-2.故选 C. 2.二次函数 f(x)=ax2+bx+c,a 为正整数,c≥1,a+b+c≥1,方程 ax2+bx +c=0 有两个小于 1 的不等正根,则 a 的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 ( ). 解析 由题意得 f(0)=c≥1,f(1)=a+b+c≥1.当 a 越大,y=f(x)的开口越小, 当 a 越小,y=f(x)的开口越大,而 y=f(x)的开口最大时,y=f(x)过(0,1),(1,1), b 1 则 c=1,a+b+c=1

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