山西省四校(康杰中学、 临汾一中 、忻州一中 、长治二中)2013届高三第一次联考 数学理

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2013 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考

数学(理)试题
命题: 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中 (满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)
2 x 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | 2 x ? x ? 0} , 集 合 B ? { y | y ? e ? 1} ,则 A ? B ?

A. { x | 1 ? x ? 2}
1 a

B. { x | x ? 2}

C. { x | x ? 1}

D. { x | 1 ? x ? 2}

2. 设 a ? R ,则 a ? 1 是

?1 的

A. 充分但不必要条件 C. 充要条件

B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 3 n ? 1, 则其通项公式 a n ? A.
3?2
n ?1

B.
, cos

2 ?3

n ?1

C.

2

n

D. 3

n

4. 已知 s in

?
2

?

3 5

?
2

? ?

4 5

,则 ? 是第( )象限角: C.第三象限
7 5 6

A. 第一象限

B .第二象限
4

D. 第四象限

5. 已知数列 { a n } 为等比数列, a ? a ? 2, a a ? ? 8 ,则 a 1 ? a 10 ? A. -7 B. -5 C. 5 D. 7

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3 x 的最大值为 ?x ?1 ? 0 ?

A. -3

B. 2

C. 4

D. 5 ) D. 2

7.在 ? ABC,已知 AB ? AC ? AB ? CB ? 1 ,则| AB |的值为: ( A.1
x

B.
2 ? a a?2 ? 1
x

2

C.

3

8.如果函数 f ( x ) ?

( a ? 0 ) 是奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的值域是

A. [ ? 1 , 1 ]
x

B. ( ? 1 , 1 ]

C. ( ? 1 , 1 )

D. ( ? ? , ? 1) ? (1, ? ? )

9.已知 f ( x ) ? ln( a ? b )( a ? 0 , 且 a ? 1) 的定义域为 (- ? ,1] ,值域为 [ 0 , ?? ) ,

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则 a ? b 的取值范围是 A. ( ?? ,1]
???? ????

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B. [1, ?? )

C.{1}
??? ? ????

D. ( 0 ,1 ]

E 10. 已知圆 O 的半径为 3, 直径 A B 上一点 D 使 A B ? 3 A D , 、 F 为另一直径的两个端点,

则 DE ? DF ? A. ? 3 11.

B. ? 4

C. ? 8

D. ? 6 当 x ? [3, 4 ) 时 ,

定 义 在 R 上 的 偶 函 数

f ( x ) 满足 f (x) ? f ( x ? 2 ),

f ( x ) ? ( l o 2 ) x ? 2 , 则 f (sin 1) 与 f (cos1) 的大小关系为 g 3

A. C.

f (sin 1) ? f (cos1)
f (sin 1) ? f (cos1)

B. f (sin 1) ? f (cos1) D. 不确定

12. 函数 f ( x ) ?

1 4

x ? 2 cos x ? 2 的导函数 f ? ( x ) 的图象大致是
2

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 函数 f ( x ) ?
1 3 x ? 2 x ? 3 x ? 1 的单调递增区间为_____________________.
3 2

14. 若不等式 | ax ? 2 |? 6 的解集为(-1,2) ,则实数 a 的值为 15. 若直角坐标平面内 M、N 两点满足: ①点 M、N 都在函数 f(x)的图像上; ②点 M、N 关于原点对称,则称这两点 M、N 是函数 f(x)的一对“靓点”。 已知函数 则函数 f(x)有 对“靓点”。

.

16. 已知 ? ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a , b , c ,若 1 ? 为 .

tan A tan B

?

2c b

,则

a

2

的最小值

bc

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答
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写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? B. (I)求 A ? B ;

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1 x log 2 ( x ? 1) 的定义域为 A,函数 g ( x ) ? ( ) ( ? 1 ? x ? 0 ) 的值域为 2

(II)若 C ? { x | a ? x ? 2 a ? 1} ,且 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知 { a n } 为等差数列,且 a 1 ? a 3 ? 8 , a 2 ? a 4 ? 12 . (I)求数列 { a n } 的通项公式; (II) { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 , a k , S k ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
(sin x ? cos x ) sin 2 x sin x

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

20.(本小题满分 12 分)
? ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 m ? ( 3 , 2 sin A ), n ? (sin A ,1 ? cos A ),

满足 m // n ,且 7 ( c ? b ) ? a (1)求角 A 的大小; (2)求 cos( C ?
?
6 ) 的值

21.(本小题满分 12 分)某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本 为 14000 元,每生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f ( x ) 与产量 x
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? 1 2 x , 0 ? x ? 400 ? 之间的关系为 f ( x ) ? ? 6 2 5 , 每件产品的售价 g ( x ) 与产品 x 之间的关 ? 256, x ? 400 ? ? 5 ? ? x ? 750, 0 ? x ? 400 系为 g ( x ) ? ? 8 ? 400, x ? 400 ?

(I)写出该陶瓷厂的日销售利润 g ( x ) 与产量 x 之间的关系式; (II)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润.

22.(本题满分 12 分). 已知函数 f ( x ) ?

2 x

? a ln x ? 2 ( a ? 0 ).

(1) 若曲线 y ? f ( x ) 在点 P (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直, 求函数 y ? f ( x ) 的 单调区间; (2)若对 ? x ? (0, ? ? ) 都有 f ( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立,试求实数 a 的取值范围; (3)记 g ( x ) ? f ( x ) ? x ?b (b ?R ) ,当 a=1 时,函数 g ( x ) 在区间 [ e , e ] 上有两个零点, 求实数 b 的取值范围。
?1

四校一联理科数学参考答案
一、选择题:DABDA, CBDCC, AC

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二、13. ( ? ? , 1), ( 3 , ? ? ) ;14. -4; 15.一对 ;16. 1 三、解答题: 17. 解:(Ⅰ)由题意得: A ? { x | x ? 2}
B ? { y | 1 ? y ? 2}
A ? B ? {2}

……………………………2 分

……………………………………………………4 分 ……………………………………………………………5 分

(II)由(1)知: B ? { y | 1 ? y ? 2} ,又 C ? B (1)当 2 a ? 1 ? a 时,a<1, C ? ? ,满足题意
?a ? 1 ?2a ? 1 ? 2

…………………6 分

(2)当 2 a ? 1 ? a 即 a ? 1 时,要使 C ? B ,则 ? 解得 1 ? a ?
3 2 3 2

…………8 分

………………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分
? 2 a1 ? 2 d ? 8 ? 2 a1 ? 4 d ? 1 2

综上, a ? ( ? ? , ]

18.解: (I)设数列 { a n } 的公差为 d,由题意得 ? 解得: a 1 ? 2 , d ? 2



…………………………………………………3 分 …………………5 分
? n (1 ? n )

所以 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n (II)由(I)可得: S n ?
( a1 ? a n ) n 2 ? (2 ? 2n)n 2

……8 分

因 a 1 , a k , S k ? 2 成等比数列,所以 a 2 k ? a 1 S k ? 2
2 从而 ( 2 k ) ? 2 ( k ? 2 )( k ? 3) ,即 k ? 5 k ? 6 ? 0

2

………………………10 分 …………………12 分

解得: k ? 6 或 k ? ? 1 (舍去) ,因此 k ? 6 . 19.解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
(sin x ? cos x ) sin 2 x sin x

?? 3 分

f (x) ?

=2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π = 2sin?2x-4?-1, ? ?

……………………………… 6 分

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2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2

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………………………8 分

π π (2)函数 y=sinx 的单调递增区间为?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z). ? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ-8,kπ?和?kπ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ………………12 分 ? ? ? ? 20. 解(12 分)⑴? m // n 即 2 cos
2

? 3 (1 ? c o s A ) ? 2 s i n A
2

A ? 3 cos A ? 1 ? 0

? cos A ? ?

1 2

或 -(舍去) 1

? A ?
2

2 3

?
2

………………5 分

⑵? 而a
2

( c ? b) ? a 7
? b
2

? 7 (c
? 2c
2

?b

2

? 2 bc ) ? a
2

?c

2

? bc

? 5 bc ? 2 b

? 0

? c ? 2b或 c ?

1 2

b (? c ? b , 舍去)

………………8 分

? sin C ? 2 sin B

与 7 (sin C ? sin B ) ? sin A ?

3 2

联立

可得 sin C ?

21 7

, cos C ?

2 7

7

…………………………10 分

? cos( C ?

?
6

) ?

3 2

cos C ?

1 2

sin C ?

3 21 14

………12 分

21. 解:(I)总成本 c ( x ) ? 1 4 0 0 0 ? 2 1 0 x ,所以日销售利润
1 6 2 ? 3 ? x ? x ? 2 1 0 x ? 1 4 0 0 0, 0 ? x ? 4 0 0, ? 1000 5 ? Q (x) ? f (x)g (x) ? ? x ? 400. ??210 x ? 88400 ? ?

……5 分

(II)①当 0 ? x ? 4 0 0 时, Q ? ( x ) ? ?

3 1000

x ?
2

12 5

x ? 210 .

令 Q ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? 1 0 0 或 x ? 7 0 0 (舍去). 当 0 ? x ? 1 0 0 时, Q ? ( x ) ? 0 ,当 1 0 0 ? x ? 4 0 0 时, Q ? ( x ) ? 0 .因为 Q (0 ) ? Q (4 0 0 )
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…………………8 分

所以 x ? 4 0 0 时, Q ( x ) 取得最大值,且最大值为 30000;

② x ? 4 0 0 时, Q ( x ) ? ? 2 1 0 x ? 8 8 4 0 0 ? 3 0 0 0 . ………………………………11 分

综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元. ……………………………………………………………………………………12 分 22.解: (1) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1. 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) , f ? ( x ) ? ? 所以 f ? (1) ? ? 所以 f ( x ) ?
2 1 2 x
2

2 x
2

?

a x

, ………2 分

?

a 1

? ? 1 ,解得 a ? 1 x?2 x
2

? ln x ? 2 , f ? ( x ) ?

由 f ? ( x ) ? 0 ,得 x>2; 由 f ? ( x ) ? 0 得 0<x<2

所以 f(x)的单调递增区间是(2,+ ? ),单调递减区间(0,2) (2) f ? ( x ) = ?
2 x
2

………4 分

? 2 a

a x

=

ax ? 2 x
2

,? a ? 0 ,
2 a 2 a 2

由 f ?( x ) ? 0 得 x ?

,由 f ? ( x ) ? 0 得 0 ? x ?
2 a

所以 f(x)的单调递增区间是( 当 x=
2 a

,+ ? ),单调递减区间(0,

) ………6 分

时, f ( x ) 取极小值,也就是最小值 f ( x ) min = f ( )
a 2 a ) >2( ( a ? 1)

? 对 ? x ? (0, ? ? ) 都有 f ( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立,∴ f (

2
2 a

? a ln

2 a

? 2 >2( ( a ? 1) ,………8 分

∴ a ln

2 a

? a,

ln

2 a

? 1 ,0 ? a ? 2 x

2 e

.实数 a 的取值范围(0,

2 e

)

………9 分

(3) 当 a =1 时, g ( x ) =
x
2

? ln x ? x ? 2 ? b ,(x>0)

g ?( x ) =

? x?2 x
2

,由 g ? ( x ) >0 得 x>1, 由 g ? ( x ) <0 得 0<x<1.

所以 g ( x ) 的单调递增区间是(1,+ ? ),单调递减区间(0, 1) x=1 时 g ( x ) 取得极小值 g (1) . ………10 分

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? g (e ?1 ) ? 0 ? ?1 因为函数 g ( x ) 在区间 [ e , e ] 上有两个零点,所以 ? g ( e ) ? 0 ……………11 分 ? g (1 ) ? 0 ?

解得 1 ? b ≤

2 e

? e ?1.

所以 b 的取值范围是 (1,

2 e

? e ? 1] .

……………12 分

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