选修2-1


选修 2-1 第一章 第二章数学测试卷
一、选择题 1、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是(
2

)

A. ( ??,0] ? [1, ??) C. (??,0) ? (1, ??)

B. [0,1] D. (0,1)

2、下列有关命题的说法中错误的是(

)

A.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 B .“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

C.命题“若 x ? 3 ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为:“若 x ? 1, 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 2

D.对于命题 p : ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0
2 2

3.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是( A.a 和 b 至少有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数

) B.a 和 b 至多有一个是偶数 D.a 和 b 都是偶数

4、已知条件 p : x ? 1 <2,条件 q : x 2 -5x-6<0,则 p 是 q 的( A、充分必要条件 C、必要不充分条件 B、充分不必要条件 D、既不充分又不必要条件



5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线
2 2

的方程是(
2


2

A. y ? 3 x 或 y ? ?3x
2

B. y ? 3 x

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3 x

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

6、若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为( A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞)

2

2



D. (0,1)

7、过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,
2 2

那么△F1PQ 的周长为( A. 28

) C. 14 ? 8 2 D. 8 2

B. 14 ? 8 2

8、已知 P 为抛物线 y ?

1 2 17 x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 (6, ) , 2 2
) C. 10 D.

则 PA ? PM 的最小值是( A. 8 B.

19 2

21 2

9.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=3|PF2|, a 2 b2
) C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ? B. ?1, 2 ?

则双曲线离心率的取值范围为 ( A.(1,2)

10、如图,过抛物线 y ? 2 px( p> 0) 的焦点 F 的
2

直线 l 交抛物线于 A、B,交其准线于点 C, 若 BC ? 2 BF 且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为( A. y ?
2



3 x 2
9 x 2

B. y 2 ? 3 x D. y 2 ? 9 x

C. y 2 ?

二、填空题 11、已知圆柱体的斜截面的截口是一个椭圆.若椭圆的离心率为 sin ? ,则椭圆面与圆柱的底 面成 ? 角.试写出此命题的逆命题:________________. 12、抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标是
2

13 、与双曲线 _________

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 M ?3, 2 3 的双曲线的方程为 9 16

?

?

14 椭 圆 的 长 轴 为 A1 A2 , B 为 短 轴 一 端 点 , 若 ?A1BA2 ? 120 ? , 则 椭 圆 的 离 心 率 为 _________

15.椭圆的焦点是 F1(-3,0)F2(3,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等 差中项,则椭圆的方程为________________. 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的负实根;q:不等式 4x2+4(m-2)x+1>0 的解 集为 R,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 m 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的一条渐近线为 y ? (1)求双曲线 C 的方程; (2)直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 与双曲线 C 相交于 A, B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否 过原点,并说明理由

y2 1 ? 1 有公共焦点. x ,且与椭圆 x 2 ? 6 2

18. (本小题满分 12 分)

k 代表实数,讨论方程 kx2 ? 2 y 2 ? 8 ? 0 所表示的曲线

19. (本小题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? (I)求该双曲线方程. (II)是否定存在过点 P (1 ,1 )的直线 l 与该双曲线交于 A ,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?若存在,请求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由.

3 ,焦距为 2 3

20. (本小题满分 13 分) 已知:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 M , N ;直线 PQ 经过 N 交椭圆于 P, Q 两点. 8 4
y P M O N x

(1)求证: ?MPQ 的周长为定值.(2)求 ?MPQ 的面积的最大值?

Q

21. (本小题满分 14 分) 已知定点 F (0,1) 和直线 l1 : y ? ?1 ,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C . (1) 求动点 C 的轨迹方程; ? ??? ? ??? (2) 过点 F 的直线 l 2 交轨迹于两点 P 、 Q ,交直线 l1 于点 R ,求 RP ? RQ 的最小值。

高二月考数学试卷参考答案
题号 选项 1 D 2 A 3 A 4 B 5 D 6 D 7 C 8 B 9 B 10 B

二、填空题

? 1? 12、 ? 0, ? ? 8?
三、解答题

4x2 y 2 13、 ? ?1 9 4

14、

6 3

15、

x2 y2 ? ?1 36 27

△=m -4>0 ? ? 16、解析:p 为真命题??-m<0 ? ?1>0

2

?m>2

--------------4 分 ------------8 分

q 为真命题?△=[4(m-2)]2-4× 4× 1<0?1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 与 q 一真一假. 若 p 真 q 假,则 m>2,且 m≤1 或 m≥3,所以 m≥3. 若 p 假 q 真,则 m≤2,且 1<m<3,所以 1<m≤2. 综上所述,m 的取值范围为{m|1<m≤2,或 m≥3}.

-----------12 分

17、 (1) (6 分) C : y ?
2

x2 (2) (6 分)以 AB 为直径的圆过原点(证明略) 。 ? 1; 4

y 2 x2 18、解:当 k ? 0 时,曲线 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k
当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;
2

当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k
2

当 k ? 2 时,曲线 x ? y ? 4 为一个圆;
2

当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k

19、 (1) x ?
2

y2 ?1 2
2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,直线: y ? kx ? 1 ? k ,代入方程 x ?

y2 ? 1得 2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0 ( 2 ? k 2 ? 0 )


x1 ? x2 k (1 ? k ) ? ? 1 ,解得 k ? 2 ,此时方程为 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , ? ? 0 2 2 2?k

方程没有实数根。所以直线 l 不存在。

法二:由对称性,不妨设 PQ 的倾斜角为 ? ? ? 0,

? ?? ?. ? 2?

? S? ?
e?

1 ? MN sin ? ? PQ 2
2 b2 ,P ? ? 2) 2 c

,



PQ ?

eP eP ? 1 ? e cos? 1 ? e cos?

(





? PQ ?
1?

2 2 cos? 2

? 1?

2 2 cos? 2

?

2 2 ? cos?

?

2 2 ? cos?

?

4 2 2 ? cos2 ?

? S? ?

8 2 sin ? ? 1 ? sin 2 ?

8 2 sin ? ? 1 sin ? 8 2

??.10 分

;显然 ? ? 90? 时? S ? ?

1 sin ? ? sin ?

最大为 4 2 .??.13 分

21、解: (1)由题设点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离

?点 C 的轨迹是以 F 为焦点, l1 为准线的抛物线。
?所求轨迹的方程为 x 2 ? 4 y
(2) 由题意直线 l 2 的方程为 y ? kx ? 1 , 与抛物线方程联立消去 y , 得 x ?4 k x ? 4? 0 .
2

记 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4

2 ? ?直线 PQ 的斜率 k ? 0 ,易得点 R 的坐标为 R ? ? ? , ?1? , ? k ?
? ? ??? ? ??? 2 ? RP ? RQ = ? x1 ? , y1 ? 1? k ? ?
= ? x1 ?

2 ? ?? ? x2 ? , y2 ? 1? ? k ?

? ?

2 ?? 2? ?? x2 ? ? ? ? kx1 ? 2 ?? kx2 ? 2 ? k ?? k?

4 ?2 ? ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? ? ? 2k ? ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 4 k ?k ? 1 ? ?2 ? 4 ? ? ?4 ?1 ? k 2 ? ? 4k ? ? 2k ? ? 2 ? 4 ? 4 ? k 2 ? 2 ? ? 8 k ? ?k ? k ?
2 ?? ?k ?

?

1 ? ? 2 ,当且仅当 k 2 ? 1 时取到等号。 2 ? k ?

? ? ??? ? ??? ??? ? ??? RP ? RQ ? 4 ? 2 ? 8 ? 16 ,即 RP ? RQ 的最小值为16


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