高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习 新人教A版必修5

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第 1 课时 等比数列的概念及通项公式
课后篇巩固探究
A组

1.若 a,b,c 成等差数列,则
A.是等差数列 B.是等比数列 C.既是等差数列也是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

一定( )

解析因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c,于是

,所以

一定是等比数列.

答案 B

2.在等比数列{an}中,a2 017=-8a2 014,则公比 q 等于( )

A.2

B.-2

C.±2

D.

解析由 a2 017=-8a2 014,得 a1q2 016=-8a1q2 013,所以 q3=-8,故 q=-2.

答案 B

3.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( )

A.16

B.27

C.36

D.81

解析由 a2=1-a1,a4=9-a3,得 a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为 q,则 q2=

于是 a4+a5=(a1+a2)q3=27.

答案 B

4.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=(

A.-4

B.-6

C.-8

D.-10

解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4 成等比数列,

=9.因为 an>0,所以 q=3, )

∴ =a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),
解得 a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选 B. 答案 B 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( )

A.2n-1
唐玲

B.

C.

D.

解析由 Sn=2an+1,得 Sn=2(Sn+1-Sn),即 2Sn+1=3Sn,

.又 S1=a1=1,所以 Sn=

答案 B

6.已知等比数列{an},a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=

.

,故选 B.

解析设公比为 q.∵ =q7= =27,∴q=2.

∴an=a3qn-3=3·2n-3. 答案 3·2n-3

7.在数列{an}中,已知 a1=3,且对任意正整数 n 都有 2an+1-an=0,则 an=

.

解析由 2an+1-an=0,得

,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为 a1=3,所以

an=3·

.

答案 3·

8.在等比数列{an}中,若 a1=,q=2,则 a4 与 a8 的等比中项是

.

解析依题意,得 a6=a1q5=×25=4,而 a4 与 a8 的等比中项是±a6,故 a4 与 a8 的等比中项是±4.

答案±4

9.

导学号 04994040 已知数列{an}是等差数列,且 a2=3,a4+3a5=56.若 log2

bn=an.

(1)求证:数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明由 log2 bn=an,得 bn= . 因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为 d,



=2d,2d 是与 n 无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.

(2)解由已知,得

解得 于是 b1=2-1=,公比 q=2d=24=16, 所以数列{bn}的通项公式 bn=·16n-1.
10.已知数列{an}满足 a1= ,且 an+1=an+ (n∈N*).
唐玲

(1)求证:

是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明∵an+1=an+,∴an+1-

an+

.∴

.



是首项为 ,公比为的等比数列.

(2)解∵an-

,

∴an=

.

B组

1.若 a,b,c 成等差数列,而 a+1,b,c 和 a,b,c+2 都分别成等比数列,则 b 的值为( )

A.16

B.15

C.14

D.12

解析依题意,得

解得

答案 D

2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( )

A.9

B.10

C.11

D.12

解析∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,

∴m=11.

答案 C

3.已知等比数列{an},各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则

=( )

A.3+2

B.1-

C.1+

D.3-2

解析由 a1, a3,2a2 成等差数列,得 a3=a1+2a2.在等比数列{an}中,有 a1q2=a1+2a1q,即 q2=1+2q,

得 q=1+ 或 1- (舍去),所以

=q2=(1+ )2=3+2 .

答案 A 4.已知-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则

=

.

唐玲

解析由题意,得 a2-a1= =2, =(-4)×(-1)=4.又 b2 是等比数列中的第 3 项,所以 b2 与第 1

项同号,即 b2=-2,所以

=-1.

答案-1

5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公

比 q=

.

解析依题意,得 an=an+1+an+2,所以 an=anq+anq2.因为 an>0,所以 q2+q-1=0,解得 q= 去).

(q= 舍

答案

6.若数列 a1, ,…, ,…是首项为 1,公比为- 的等比数列,则 a5=

.

解析由题意,得 =(- )n-1(n≥2),所以 =-

=(- )2, =(- )3, =(- )4,将上面的

四个式子两边分别相乘,得 =(- )1+2+3+4=32.又 a1=1,所以 a5=32.
答案 32 7.已知数列{an}满足 Sn=4an-1(n∈N*),求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式. 解依题意,得当 n≥2 时,Sn-1=4an-1-1,所以 an=Sn-Sn-1=(4an-1)-(4an-1-1),

即 3an=4an-1,所以

,故数列{an}是公比为的等比数列.

因为 S1=4a1-1,即 a1=4a1-1,所以 a1=,故数列{an}的通项公式是 an=

.

8.

导学号 04994041 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,

(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;

(2)设 bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.

证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,

∴an+1=2an.

由已知及上式可知 an≠0.

∴由 =2 知{an}是等比数列. 由 a1=S1=2a1+1,得 a1=-1,∴an=-2n-1.

唐玲

(2)由(1)知,an=-2n-1, ∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1. ∴数列{bn}是等比数列.
唐玲


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