2014届高考数学一轮 1.1.3函数的定义域和值域 文

1.1.3 函数的定义域和值域 文
一、选择题 1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( ) A.(0,8] B.(2,8] C.(-2,8] D.[8,+∞) 解析: 由题意可知, 1-lg(x+2)≥0, 整理得: lg(x+2)≤lg10, ? ∴ 故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(-2,8],选 C. 答案:C f?2x? 2.若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
?0≤2x≤2, ? 解析:由? 得 0≤ x<1,选 B. ? ?x-1≠0, ?x+2≤10, ? ? ?x+2>0,

解得-2<x≤8,

)

答案:B 3.设 f(x)=lg 2+x x 2 ,则 f?2?+f?x ?的定义域为( ? ? ? ? 2-x )

A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 2+x 解析:由 >0,得 f(x)的定义域为-2<x<2. 2-x

?-2<2<2, 故? 2 ?-2<x<2.
x

解得 x∈(-4,-1)∪(1,4).

x 2 故 f?2?+f?x ?的定义域为(-4,-1 )∪(1,4).故应选 B. ? ? ? ? 答案:B 4.函数 y=log2x+logx(2x)的值域为( ) A.(-∞,-1] B.[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析:y=log2x+logx2+1.故 log2x+logx2≥2 或 log2x+logx2≤-2.所以 y≥3 或 y≤-1. 答案:D 1 1 5.(2013· 浙江联考)若函数 f(x)的值域是?2,3? ,则函数 F(x)=f(x)+f?x的值域是( ) ? ? ? 5 10 10 A.?2, 3 ? B.?0, 3 ? ? ? ? ? 10 5 C.?2, 3 ? D.?2,2? ? ? ? ?

1

1 解析:令 t=f(x),则 ≤t≤3. 2 1 1 易知函数 g(t)=t+ t 在区间?2,1?上是减函数,在[1,3]上是增函数. ? ? 1 5 10 又∵g?2?=2,g(1)=2,g(3)= 3 . ? ? 10 1 可知函数 F(x)=f(x)+f?x的值域为?2, 3 ?. ? ? ? 答案:C
?x2,|x|≥1, ? 6. f(x)=? 设 g(x)是二次函数, f[g(x)]的值域是[ 0, 若 +∞), g(x)的值域是( 则 ? ?x,|x|<1,

)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析: f(x)的图象如图所示: f(x)的值域为(-1, +∞)若 f[g(x)]的值域为[0, +∞), 只需 g(x)∈(- ∞,-1]∪ [0,+∞),而 g(x)为二次函数,所以 g(x)∈[0,+∞),故选 C 项. 答案:C 二、填空题 7. 已知函数 f(x)=ln(mx2-4mx+m+3)的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是__________. 解析:∵f(x)定义域为 R, ∴mx2-4mx+m+3>0 恒成立. ①m=0 时,3>0 恒成立. ②m≠0 时,要使 f(x)定义域为 R,只需? 综上所述:m 的取值范围是 0≤m<1. 答案:0≤m<1 4 8.已知函数 f(x)= x-1,则函数 y=f[f(x)]+f?x ?的定义域是__________. ? ? 解析:∵f(x)= x-1,则函数 f(x)的定义域是{x|x≥1},对于 f[f(x)],应有 x-1≥1,∴x≥2; 4 4 对于 f?x ?应有x≥1,∴0<x≤4,∴x 的取值范围是 2≤x≤4,即所给函数的定义域是[2,4]. ? ? 答案:[2,4]
?x,x<0, ? 1 9. 已知 f(x)= (x+|x|), g(x)=? 2 函数 f[g(x)]=__________, 值域为 __________. 2 ? ?x ,x≥0, ?m>0, ? ? ?Δ=?-4m? -4m?m+3?<0
2

?0<m<1.

1 1 解析:当 x≥0 时,g(x)=x2,故 f[g(x)]=f(x2)=2(x2+|x2|)=2(x2+x2)=x2;

2

当 x<0 时,g(x)=x, 1 1 故 f[g(x)]=f(x)=2(x+|x|)=2(x-x)=0.
? ?0,x<0, ∴f[g(x)]=? 2 ? ?x ,x≥0.

由于当 x≥0 时,x2≥0,故 f[g(x)]的值域为[0,+∞).
?0,x<0, ? 答案: ? 2 ? ?x ,x≥0

[0,+∞)

三、解答题 1 0.(2013· 潍坊期末)设函数 f( x)=ln(x2+ax+1)的定义域为 A. (1)若 1∈A,-3?A,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y= f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.
? ?1+a+1>0, 10 解析:(1)由题意,得? 所以 a≥ 3 . ? ?9-3a+1≤0,

10 故实数 a 的取值范围为? 3 ,+∞?. ? ? (2)由题意,得 x2+ax+1>0 在 R 上恒成立, 则 Δ=a2-4<0,解得-2<a<2. 故实数 a 的取值范围为(-2,2). 11.设 f(x)= ax2+bx,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b,使函数 f(x) 的定义域和值域相同. 解析:(1)若 a=0,则对于每个正数 b,f(x)= bx的定义域和值域都是[0,+∞),故 a=0 满足条件; b (2)若 a>0, 则对于正数 b, f(x)= ax2+bx的定义域为 D={x|ax2+bx≥0}=?-∞,-a?∪[0, ? ? +∞),但 f(x)的值域 A? [0,+∞),故 D≠A,即 a>0 不符合条件. b (3)若 a<0,则对正数 b,f(x)= ax2+bx的定义域 D=?0,-a?. ? ? b b ?0, b ? 由于此时 f(x)max=f?-2a?= ? ? 2 -a,故 f(x)的值域为? 2 -a?, ? ?

?a<0, b b 则-a= ?? ?a=-4, 2 -a ?2 -a=-a
综上所述:a 的值为 0 或-4. 12.已知函数 f(x)=x2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 f(a) =2-a|a+3|的值域. 解析:(1)∵函数的值域为[0,+∞), 3 ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0? 2a2-a-3=0? a=-1 或 a=2. ( 2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负,

3

3 ∴Δ=8(2a2-a-3)≤0? -1≤a≤ , 2 ∴a+3>0, ∴f(a)=2-a|a+3| =-a2-3a+2, 3 3 17 =-?a+2?2+ 4 ?a∈?-1,2??. ? ? ? ? ?? 3 ∵二次函数 f(a)在?-1,2?上单调递减, ? ? 3 19 ∴f?2?≤f(a)≤f(-1),即- 4 ≤f(a)≤4, ? ? 19 ∴f(a)的值域为?- 4 ,4?. ? ?

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