物理奥赛辅导:第6讲_万有引力和天体运动

第六讲
一、知识点击 1.开普勒定律

万有引力和天体运动

第一定律(轨道定律) :所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在 这些椭圆的一个焦点上。 第二定律(面积定律) :对每个行星来说,太阳和行星的连线(叫矢径)在相等的时间内 扫过相等的面积。 “面积速度” :

?S 1 ? r? sin ? (θ 为矢径 r 与速度 ? 的夹角) ?t 2

第三定律(周期定律) :所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值 相等。即:

T2 ? 常量 . a3

2.万有引力定律 ?万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的.任何两个质点之间引力的大 小跟这两个质点的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比.

F ?G

Mm , r2

G ? 6.67 ?10?11 N ? m2 / kg 2 ,称为引力常量.

?重力加速度的基本计算方法 设 M 为地球的质量,g 为地球表面的重力加速度. 在地球表面附近( h ?? R )处: G 在地球上空距地心 r=R+h 处: g r ? G

Mm GM ? mg , g ? 2 =9.8m/s2 2 R R M , r2

gr R2 R 2 ? 2 ?( ) g r R?h

4 3 ?r ? 4 r g r Mr 在地球内部跟离地心 r 处: g r ? G 2 ? G 3 2 , gr ? g ? G?? r , r ? R g R r r 3
3.行星运动的能量 ?行星的动能 当一颗质量为 m 的行星以速度 ? 绕着质量为 M 的恒星做平径为 r 的圆周运动:

EK ?

1 Mm GM m? 2 ? G ,式中 ? ? 。 2 2r r

?行星的势能 对质量分别为 M 和 m 的两孤立星系,取无穷远处为万有引力势能零点,当 m 与 M 相距 r 时,其体系的引力势能: EP ? ?G

Mm r 1 Mm Mm 2 ? ?G ?行星的机械能: E ? EK ? EP ? m? ? G 2 r 2r

4.宇宙速度和引力场 ?宇宙速度(相对地球) 第一宇宙速度:环绕地球运动的速度(环绕速度) . 第二宇宙速度:人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度(脱离速度) . 第三宇宙速度:使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度(逃逸速度) . ?引力场、引力半径与宇宙半径. 对于任何一个质量为 M,半径为 r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征 速度.如果第二宇宙速度超过光速,即 c ?

2GM 2GM ,则有关系. r ? c2 r

在这种物体上,即使发射光也不能克服引力作用,最终一定要落回此物体上来,这就是 牛顿理论的结论,近代理论有类似的结论,这种根本发不了光的物体,被称为黑洞,这个临 界的 r 值被称为引力半径,记为 rg ?

2GM c2

用地球质量代入,得到 rg≈0.9 cm,设想地球全部质量缩小到 1 cm 以下的小球内,那么 外界就得不到这个地球的任何光信息. 如果物质均匀分布于一个半径为 r 的球体内,密度为ρ ,则总质量为 M ?

4 3 ?r ? 3

4 2G ? ? rg3 ? 3c 2 1 3 又假设半径 r 正好是引力半径,那么 rg ? ,得 rg ? ( )2 8? G ? c2
此式表示所设环境中光不可能发射到超出 rg 的范围,联想起宇宙环境的质量密度平均值 为 10-29g/cm3, 这等于说, 我们不可能把光发射到 1028cm 以外的空洞, 这个尺度称为宇宙半径. 二、方法演练 类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题,解这类问题时一定要注意运动的轨道、 面积、周期,但三者之间也是有关联的,正因为如此,解题时要特别注意“面积速度” 。 例 1.要发射一艘探测太阳的宇宙飞船,使其具有与地球相等的绕日运动周期,以便发射一年 后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时,应使其具有多大的绕日

速度? 分析与解:如示 6—1 所示,圆为地球绕日轨道,椭圆为所发射飞船的绕日轨道,S 点(太阳) 为此椭圆的一个焦点,因飞船与地球具有相等的绕日周期,由开普勒周期定律:

T 2 4? 2 T 2 ? ? a3 GM S R3
可知椭圆的半长轴 a=R,两轨道的交点必为半轴顶点, 发射飞船时,绕日速度 ? 应沿轨道切线方向,即与椭圆 长轴平行的方向. 则飞船的“面积速度”为: ?S椭 ? 地球的“面积速度”为: ?S圆 ? 故: ?0 ? ? 当绕日速度的方向不同时,其轨道的短轴 b 不同,但长半轴 R 相同,太阳为椭圆轨道的 一个焦点,且发射的绕日速度大小相同. 例 2. 一物体 A 由离地面很远处向地球下落, 落至地面上时, 其速度恰好等于第一宇宙速度. 已 知地球半径 R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力,求此物体在空中运动的时间。 分析和解:物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值,即: ? ? 上式中 R 为地球半径,g 为地球表面处的重力加速度。 设 A 最初离地心的距离为 r, 则由其下落过程中机械能守恒, 应有: m? ? G
2

1 ? Rb 2? R ?b ? ,? ? 2 T T

2? R 1 ? R2 ?0 R ? , ?0 ? T 2 T

Rg

1 2

Mm Mm ? ?G R r

且 GM=gR2 联立上三式可解得:r=2R 物体在中心天体引力作用下做直线运动时,其速度、加速度是变化的,可以将它看绕中 心天体的椭圆轨道运动,将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的“轨道极限化” 。 物体 A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行,其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端,如图 6—2 所示,则由开普勒第一定律, 得知地心为椭圆的一个焦点.则椭圆长半轴为 a=R

又由开普勒第三定律,物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心(轨道不计为 R)的圆轨 道运行的周期相等.其周期为:

T?

2? R

?

? 2?

R g
S t ? S0 T

再由开普勒第二定律得:

1 1 S ? ? ab ? ab , S0 ? ? ab 4 2

1 1 ? ab ? ab S 2 ? 2? R ? ( ? ? 1) R t? T? 4 S0 ? ab g 2 g

?(

3.14 6400 ?103 ? 1) ? 2.06 ?103 s 2 9.8

类型二、天体质量(密度)的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计 算的基本方程,解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立,同时还要注意忽略微小 量(次要因数)的问题,这是解决这类问题的两个非常重要的因数。 例 3.新发现一行星,其星球半径为 6400 km,且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面, 海洋的深度为 10 km,学者们对该行星进行探查时发现,当把试验样品浸入行星海洋的不同深 度时,各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变.试求此行星表面处的自由落体加 速度.已知万有引力常量 G=6. 67×10-11N m2/ kg2。 分析和解:解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星,才能运用基本方程式求行 星表面处的自由落体加速度,若把水视为运动卫星群,则关键是如何求中心天体的质量。 以 R 表示此星球的半径,M 表示其质量,h 表示其表面层海洋的深度,R0 表示除海洋外星 球内层的半径,r 表示海洋内任一点到星球中心的距离.则:

R ? r ? R0 ,且 R ? R0 ? h ,以 ρ 水 表示水的密度.则此星球表面海洋水的总质量为
4 4 4 3 m ? ? R 3 ?水 ? ? R0 ?水 ? ??水 (3R02 h ? 3R0 h 2 ? h3) 3 3 3
因 R>>h,略去 h 高次项,得 m ? 4??水 R h
2

由G

Mm GM (M ? m)m G (M ? m) ? mg 表 , g 表 ? 2 , G ? mg0 , g 0 ? 2 2 R R R0 R02

依题意: g表 ? g0 ,即:

M (M ? m)(M ? m) R 2m , ? ? M ? 2 2 R2 R0 (R ? h) 2 Rh ? h2

G ? 4??水 R3h 则 g表 ? ? 2? G?水 R R2 ? 2h
将 G=6. 67×10-11N m2/kg2,ρ 水=1.0×103kg/m3,R=6.4 ×106 m 代入得:g 表=2. 7 m/s2。 类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能,然后利用机械能的改变 及功能原理来解题,这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理,又要符合能量原理。 例 4.质量为 m 的人造地球卫星,在圆形轨道上运行.运行中受到大小恒为 f 的微弱阻力作 用,以 r 表示卫星轨道的平均半径,M 表示地球质量,求卫星在旋转一周的过程中: (1)轨道半径的改变量Δ r=? (2)卫星动能的改变量Δ Ek=? 分析和解:因卫星沿圆形轨道运动,则 G 则卫星的机械能为 E ?

1 GMm Mm ?2 2 ? m ,则 EK ? m? ? , 2 2 2r r r

GMm GMm GMm ? ?? 2r r 2r

(1) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为

GMm GMm GMm 1 1 1 1 ?r ?r ? ? ( ? ) = ? 2 , ? ( 2 r ? ?r) 2r 2 r r ? ?r r r ? ?r r(r ? ?r) r GMm ?E ? ?r 2r 2 ?E ? ?
GMm 4? r 3 f ?r , ?r ? ? 根据功能原理:W=Δ E,即 ?2? rf ? ,负号表示轨道半径减小。 2r 2 GMm
(2)卫星动能的改变量为:

?EK ?

GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4? r 3 f ? ? ( ? ) ? ? r ? ? ? ( ? ) ? 2? rf ( 2 r ? ?r) 2r 2 r ? ?r r 2r2 2r2 GMm

类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所需要的能量的 问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞。 例 5.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星的质量 小很多,飞行器的速率为 ?0 ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍。有人企图借 助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系,于是他便设计了如下方案:Ⅰ.当飞行 器在其圆周轨道的适当位置时,突然点燃飞行器上的喷气发动机,经过极短时间后立即

关闭发动机,以使飞行器获得所需的速度,沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道;Ⅱ.飞 行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的方向和小行星在该处速度的方 向相同,正好可被小行星碰撞;Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。不计燃烧的燃 料质量. (1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系. (2)设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1.如果不采取上述方案而令飞行 器在圆轨道上突然点燃喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,以使飞行器获得足够 的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系.采用这种办法时飞行器从发动机 取得的能量的最小值用 E2 表示.问

E1 为多少? E2

分析和解:(1)设太阳的质量为 M0,飞行器的质量为 m,飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径 为 R。根据所设计的方案,可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发,沿着半个椭圆轨道到 达小行星轨道上的.该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切,又与小行星的圆轨道相切.要使 飞行器沿此椭圆轨道运动,应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内,由 ?0 变为某一值 u0.设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为 u,因为大小为 u0 和 u 的这两个速度的方 向都与椭圆的长轴垂直,由开普勒第二定律可得 u0 R= 6 Ur 由能量关系,有 (1) (2)

M m 1 M m 1 2 mu0 ? G 0 ? mu 2 ? G 0 2 R 2 6R

由万有引力定律,有 G

M 0m ?02 GM 0 ? m ,或 ?0 ? 2 R R R

(3)

解(1) (2) (3)三式得 u0 ?

12 ?0 7

(4) ,u ?

1 ?0 21

(5)

设小行星绕太阳运动的速度为 V,小行星的质量为 M, 由万有引力定律 G 可以看出 V>u

M 0M GM 0 V2 1 ? M ,得 V ? ? ?0 2 (6 R) 6R 6R 6
(7)

(6)

由此可见,只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道,使得它到达小行星轨 道处时,小行星的前缘也正好运动到该处,则飞行器就能被小行星撞击。可以把小行星看作 是相对静止的,飞行器以相对速度 V ? u 射向小行星,由于小行星的的质量比飞行器的质量 大得多,碰撞后,飞行器以同样的速度 V ? u 弹回,即碰撞后,飞行器对小行星的速度的大小

为 V ?u , 方 向 与 小 行 星 的 速 度 的 方 向 相 同 , 故 飞 行 器 相 对 太 阳 的 速 度 为

u1 ? V ? V ? u ? 2V ? u
或将(5) (6)式代入得 u1 ? (

2 1 ? )?0 3 21

(8)

如 果 飞 行 器 能 从 小 行 星 的 轨 道 上 直 接 飞 出 太 阳 系 , 它 应 具 有 的 最 小 速 度 为 u2 , 则 有

M m 1 2 mu2 ?G 0 ? 0 2 6R
得 u2 ?

GM 0 1 ? ?0 3R 3

(9)

可以看出 u1 ?

1 1 1 ( 2? )?0 ? ?0 ? u2 3 7 3

(10)

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系. (2) 为使飞行器能进人椭圆轨道,发动机应使飞行器的速度由 ?0 增加到 u0,飞行器从发动 机取得的能量 (3)

E1 ?

1 1 1 12 2 1 5 2 2 2 2 mu0 ? m?0 ? m ?0 ? m?0 ? m?0 2 2 2 7 2 14

(11)

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系,飞行器应具有最小速度为 u3 ,则有

M m 1 2 mu3 ?G 0 ? 0 2 R
由此得 u3 ?

2G

M0 ? 2?0 R

(12)

飞行器的速度由 ?0 增加到 u3,应从发动机获取的能量为

1 1 1 2 2 2 mu3 ? m?0 ? m?0 2 2 2 5 m? 2 E1 14 0 所以 ? ? 0.71 1 2 E2 m?0 2 E2 ?

(13)

(14)

类型五、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所需要的能 量的问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞。 例 7.经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研 究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识,双星系统由两个 星体构成,其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离,一般双星系统距离其他星

体很远,可以当作孤立系统处理,现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该星系 统中每个星体的质量 M,两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算; (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,,且 T 观测∶T 计算=1∶ N (N>l) ,为了解释 T 观


与 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测

不到的暗 物质,作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体 内均这种暗物质, 而不考虑其他暗物质的影响, 试根据这一模型和上述观测结果确 定该星系间这种暗物质的密度. 解.(1)双星均绕它们的连线的中点作圆周运动,设运动速度为 ? ,向心加速度满淀下面的方 程M

?2
L/2

?

GM 2 L2




??

GM 2L 2? (L / 2) ??L 2L GM

周期 T计算 ?

?



(2)根据观测结果,星体的运动周期

T观测 ?

1 T计算 ? T计算 N



这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力,故它一定还受到其他指向中心的作用 力,按题意,这一作用来源于均匀分布的暗物质,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的 作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M'、位于中点处的质点相同,考虑暗物质作用后双星 的速度即为观察到的速度 ?观 ,现有 M
2 ?观

L/2

?

GM 2 MM ? ?G 2 L ( L / 2) 2



?观 ?

G(M ? 4M ?) 2L



因为在轨道一定时,周期和速度成反比,由④式得

1

?观

?

1 1 N?




把②⑥式代入⑦式得 M ? ?

N ?1 M 4

设所求暗物质的密度为ρ ,则有 ? ( ) ? ?
3

故? ?

3( N ? 1) M 2? L3

4 3

L 2

N ?1 M 4



三、小试身手 1.质量为 m 的人造地球卫星,绕半径为 r0 的圆轨道飞行,地球质量为 M,试求 (1)卫星的总机械能. (2)若卫星受微弱摩擦阻力 f (常量),则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球,因 f 很小, 轨道半例径变化非常缓慢,每周旋转可近似按半径为 r 的圆轨道处理,但 r 将逐周 缩短,在 r 轨道上旋转一周 r 的改变量Δ r 是多少. (3)在 r 轨道上旋转一周卫星动能的改变量是多少.

2.一个飞行器被发射到一个围饶太阳的椭圆轨道上,以地球轨道为近日点,而以火星轨道为 远日点,如图 6—3 所示,已知地球至太阳的距离为 R1,火星至太阳的距离为 R2. (1)求 轨道方程的参数λ 和ε 值; (2)利用开普勒第三定律计算沿此轨道到达火星轨道所需时 间.

3.地球 m 绕太阳 M(固定)作椭圆运动,已知轨道半长轴为 A,半短轴为 B,如图 6 一 4 所 示,试求地球在椭圆各顶点 1、2、3 的运 动速度的大小及其曲率半径.

4.要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动,为此先 将卫星发射到半径为 r1 的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动。如图 6—5 所示,在 A 点,实际使卫星速度增加,从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上,当卫星到达转移轨 道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入预定 轨道运行,试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间,设 万有引力恒量为 G,地球质量为 M.

5.宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为 R,今设飞船在极短时间内 向外侧点喷气,使飞船获得一径向速度,其大小为原速度的 ? 倍,因 ? 量很小,所以飞 船新轨道不会与火星表面交会.如图 6 一 6,飞船喷气质量可忽略不计. (1)试求飞船新轨道的近火星点的高度 h近 和远火星点高度 h远 , (2)设飞船原来的运动速度 ?0 ,试计算新轨道的运行周期 T.

6.质量为 m 的登月器连接在质量为 M(=2m)的航天飞机上一起绕月球作圆周运动,其轨道 半径是月球半径 Rm 的 3 倍,某一时刻,将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后,登 月器仍沿原方向运动,并沿图 6 一 7 所示的椭圆轨道登上月球表面,在月球表面逗留一 段时间后,经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接,试求登月器在月 球表面可逗留多长时间?已知月球表面的重力加速度为 gm=1.62m/s2 ,月球的半径

Rm ? 1.74 ?106 m 。

7.从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量最少.假定 地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体, R=6400km.已知质量为 m 的物体在地球引力作 用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E??

GMm 式中 M 为地球质量,G 为引力常量. 2a

(1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示).

(2)若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? (3)试导出 E ? ?

GMm . 2a

参考解答

1.解: (1)因人造地球卫星沿圆形轨道运动,则 G

1 2 GMm Mm ?2 ,则 EK ? m? ? , ? m 2 2 2r0 r0 r0

则卫星的机械能为 E ?

GMm GMm GMm ? ?? 2r0 r0 2r0

(2) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为

GMm GMm GMm 1 1 1 1 ?r ?r ? ? ( ? ) = ? 2 , ? ( 2 r ? ?r) 2r 2 r r ? ?r r r ? ?r r(r ? ?r) r GMm ?E ? ?r 2r 2 GMm ?r , 根据功能原理:W=Δ E,即 ?2? rf ? 2r 2 ?E ? ?

?r ? ?

4? r 3 f ,负号表示轨道半径减小。 GMm

(3)卫星动能的改变量为:

?EK ?

GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4? r 3 f ? ? ( ? ) ? ? r ? ? ? ( ? ) ? 2? rf ( 2 r ? ?r) 2r 2 r ? ?r r 2r2 2r2 GMm

2.解: (1)在近日点处,椭圆轨道方程中的θ =0,即 R1 ? 在远日点处 ? ? ? 即 R2 ?

? (1 ? ? ) 1? ?
R1 ? R2 R1 ? R2

? (1 ? ? ) ?? 1? ?





均①②式解得: ? ? R 1 , ? ?

T2 (2)根据开普勒第三定律, 3 ? C (常数)地球绕太阳的运行周期 T1(=1 年) ,设飞 a
T2 行器运行的周期为 T,则 2 ? T1
即T ? (

(

R1 ? R2 3 ) 2 R13

R1 ? R2 3 2 ) T 2 R1

因此该飞行器沿此轨道运行到火星轨道所需时间为

t?

T 1 R1 ? R2 3 2 ? ( ) 年。 2 2 2 R1

3.解:对顶点 1、2,由机械能守恒定律有

1 Mm 1 Mm 2 m?12 ? G ? m?2 ?G 2 A?C 2 A?C




根据开普勒第二定律有 V ( ) ?V ( ) 1 A?C 2 A?C ②式中 C ?

A2 ? B2
A ? C GM A ? A2 ? B 2 = B A B A ? C GM A ? A2 ? B 2 = B A B m?12 Mm ?G 2 ?1 (A ? C)
2 m?2

由①②式解得 V1 =

GM A GM A


V2 =

由万有引力提供向心力得

?2

Mm ?G 2 (A ? C)



B2 解得 ?1 ? ? 2 ? A
对顶点 3,由机械能守恒得 将 ?1 代入⑤得 ?3 ?

1 Mm 1 Mm m?32 ? G ? m?12 ? G ⑤ 2 B 2 A?C

GM A

同样可得 ?3 ?

A2 B

4.解:以 V 表示卫星的速度,当卫星在暂行轨道上经过近地点 A 和远地点 B 时.V 与 r 垂直, 根据并普勒第二定律,有 VB ?

r1 VA r2

卫星在暂行轨道上总机械能守恒 EA ? EB

EA ?

1 1 1 1 Mm 1 Mm 1 2 2 2 mVA2 ? G ( ? ) , EB ? mVB ? G , mVA ? mVB ? GMm 2 2 r1 r2 2 r1 2 r2
2

解得 VA ?

2GMr2 2GMr1 2 , VB ? ( r1 r1 ? r2) r ( 2 r 1 ? r2)
1 rV 1 A 2

卫星的面积速度为 S ? S A ? S B ?

椭圆的面积为 ? ab ,其中 a ? 因此周期为 T ?

r1 ? r2 , b ? r1r2 2

? ab
S

??

3 (r1 ? r2) 2GM

从 A 到 B 点所需时间 t 为 t ?

(r1 ? r2) r1 ? r2 T ? ? 2 2 2GM

5.解:设火星和飞船的质量分别为 M 和 m,飞船沿椭圆轨道运行时,飞船在最近点 或最远点与火星中心的距离为 r,飞船速度为 ? . 因飞船喷气前绕圆轨道的面积速度为 度

1 r0?0 。 等于喷气后飞船绕椭圆轨道在 P 点的面积速 2

1 r0? P sin ? (P 点为圆和椭圆的交点) ,由开普勒第二定律,后者又应等于飞船在近、 2 1 1 1 1 远火星点的面积速度 r? ,故 r0?0 ? r0? P sin ? ? r? ,即 r0?0 ? r? 2 2 2 2
由机械能守恒定律有

1 2 Mm 1 Mm 2 2 m? ? G ? m(?0 ? ? 2?0 )?G 2 r 2 r0

飞船沿原圆轨道运动时,有 G 式中 r0 ? R ? H ,r=R+h

?02 Mm ? m r02 r0

上述三个方程消去 G、M、 ?0 后可解得关于 r 的方程为 (1 ? ? 2 )r 2 ? 2r0r ? r02 ? 0 上式有两个解,大者为 r远 ,小者为 r近 .

r近 ?

r0 r R?H R?H ? , r远 ? 0 ? 1? ? 1? ? 1?? 1??
H ?? R H ??R , h近 ? r近 ? R ? 1? ? 1?? r0 1?? 2

故近、远火星点距火星表面的高度为

h远 ? r远 ? R ?

(2)设椭圆轨道的半长轴为 a ,即 a ? r近 ? r 远 ?2 a

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为 T0 ?

2? r0

?0

,设飞船喷气后,绕椭圆轨道运行的周期为

T,由开普勒第三定律有

T a 3 ? ( )2 T0 r0

故T ? T ( )2 ? 0

a r0

3

3 2? r0 1 32 2? (R ? H) 1 ( ) ,即 T ? ( )2 。 2 2 ?0 1 ? ? ?0 1??

6.解:设脱离前登月器与航天飞机一起绕月球运动的速度为 V0,有

GM m GM m( ? M ? m)(M ? m)V02 ,得 V0 ? ? 2 3 Rm (3Rm) 3Rm
其运动周期 T0 ?

2? (3Rm) 3Rm ? 6? Rm V0 GM m
GM m , 2 Rm

①式中 Mm 为月球的质量,而月

球表面的重力加速度 g m ?



GM m ? gm Rm ? 1.62 ?1.74 ?106 ? 2.82 ?106 m2 / s 2 Rm

因而①式中 T0 ? 33812s ? 9.4h 设登月器与航天飞机脱离后两者的的速度分别为 V1 和 V2,由动量守恒可得

(M ? m )V0 ? m V V 1 ? M2



此后两者沿不同的椭圆轨道运动,设登月器运动到月球表面时的速度为 V1? ,则由机械能 守恒得

GM m m 1 2 GM m m 1 mV12 ? ? V1? ? 2 3Rm 2 Rm




由开普勒第二定律 3RmV1 ? RmV1? 由③④可得, V1 ?

GM m 1 ? V0 6 Rm 2
3 2 1 2 2 )V0




将⑤代入②得, V2 ? ( ?

设航天飞机运动到离月球最远处与月球的距离为 KRm ,速度为 V2? ,同样可得类似于③④ 式的方程

GM m m 1 GM m m 1 mV22 ? ? mV2?2 ? 2 3Rm 2 Rm




3RmV2 ? KRmV2?

由⑦⑧式可解得 K ?

19 ? 6 2 ? 5.75 V0 2 2 2 ? 1 2( ) ? 1 V2 3 ?
1 ( K ? 3) Rm 2


故航天飞机运动轨道的半长轴为 d m ?

由题意知,登月器为能沿原轨道返回脱离点与航天飞机实现对接,则它在月球上 可逗留的时间应是 ?t ? (n ? 1)TM ? Tm (n ? 0,1, 2 ???) ⑩

式中 TM 与 Tm 分别为航天飞机与登月器运动周期,由开普勒第三定律,得

d 3 TM K ? 3 32 ?( m ) 2 ?( ) ? 1.76 T0 3Rm 6 Tm 2R 3 2 3 ? ( m ) 2 ? ( ) 2 ? 0.54 T0 3Rm 3

TM ? 1.76T0 , Tm ? 0.54T0
将两式代入⑩式,得

?t ??( n ? 1 ) ?1 . 7 6 ? 0 ? .T 05 4 ?

( n1 .? 76

(n)? 9 0. ,4 1 ,? 2 ?? ) 1 ?. h 22

上式即为登月器在月球表面可逗留的时间,最短时间为 11.5 h. 7.解: (1)这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球 引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到 N 点, 则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的 发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内, 因此导弹的发射速度(初速度 v)必须也在此平面内, 地心 O 是椭圆的一个焦点.根据对称性,注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等, 故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的直线,即图上的直线 AB,椭圆的另一焦点必在 AB 上.已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球

构成的系统的能量 E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为 E ? ? (1)

GMm 2a

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短.根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两 焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值,等于地球的 半径 R,只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小,该椭圆的半长轴就最小.显然,当 另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点的距离必最小.由几何关系可知

2a ? R ?

2 2

R

(2)

设发射时导弹的速度为 v,则有

E?

1 G M m m? 2 ? 2 R

(3)

解(1)、(2)、(3)式得 ? ?

2GM ( 2 ?) R

(4)

因G

Mm ? mg R2

(5)

比较(4)、(5)两式得 ? ?

2 Rg ( 2 ?)
(7)

(6)

代入有关数据得 ? ? 7.2km / s

速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识,过椭圆上一点的切线的垂直线, 平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角

? ? 900 ? ? 450 ? 67.50

1 2

(8)

(2)由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为 ?C ?

2? R (9) T

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600s=86400s,故

?C ? 0 . 4 k6 m (10) s/
C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直 的速度 ?C ,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7)、(8)两式的要求,导弹相 对于地面(C 点)的发射速度应有一大小等于 ?C 、方向与 ?C 相反的分速度,以使导弹在此 方向相对于地心的速度为零,导弹的速度的大小为

2 ? ? ? ? 2 ? ?C (11)

代入有关数据得 ? ? ? 7.4km / s

(12)

它在赤道面内的分速度与 ?C 相反,它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式.

(3)质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对 于近地点和远地点有下列关系式

1 2 GMm 1 2 GMm m?1 ? ? m?2 ? 2 r1 2 r2
1 1 r1? 1? r ? 2 2 2

(13)

2

(14)

式中 ?1 、 ?2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距 离.将(14)式中的 ?1 代入(13)式,经整理得

1 2 r22 G Mm m?2 ( 2 ? 1 ) ? r2( ? r1 ) (15) 2 r1 r1 r2
注意到 r1+r2=2a (16)



1 2 GMm r1 m?2 ? 2 2a r2

(17)



E?

1 GMm 2 m?2 ? 2 r2

(18)

由(16)、(17)、(18)式得 E ? ?

GMm 2a

(19)


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