湖北省八校2014届高三第二次联考 数学(理)试题 Word版含答案


命题学校:孝感高中

命题人:彭西骏 韩松桥

审题人:徐新斌 黄 鹏

考试时间:2014 年 3 月 20 日下午 15:00—17:00 本试卷共4页,共22题,其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域 内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。考生 应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内,答 在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? 2i (其中 i 是虚数单位) ,则 z 对应的点位于复平面的 A.第一象限
2

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.设集合 A ? {x x ? (a ? 3) x ? 3a ? 0} , B ? {x x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,集合 A ? B 中所有元 素之和为 8,则实数 a 的取值集合为 A. {0} B. {0, 3}

3,4} C. {1,
3.下列说法正确的是

1, 3,4} D. {0,

2 2 A. “ a ? b ”是“ a ? b ”的必要条件

B.自然数的平方大于 0 C. “若 a, b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题为真 D.存在一个钝角三角形,它的三边长均为整数

1

4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体 积是 A.48cm3 B.98cm3 C.88cm3 D.78cm3 5.把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有的点向左平移

? 个单位长 6

度,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不 变) ,得到图象的函数表达式为 A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x ? R 3?

B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x ? R 3?

C. y ? sin ?

?? ?1 x ? ?, x ? R 6? ?2

D. y ? sin ?

?? ?1 x ? ?, x ? R 6? ?2

6. 已知双曲线

x2 y 2 (x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 相交于 M , N 两点, ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线与圆 a2 4

且 MN ? 4 ,则此双曲线的离心率为 C. 5 3 D.5 3 7.把一个带+q 电量的点电荷放在 r 轴上原点处,形成一个电场,距离原点为 r 处的单位电 A. 5 B. 3 5
5

q (其中 k 为常数)确定,在该电场中,一个单位正电荷 r2 在电场力的作用下,沿着 r 轴的方向从 r ? a 处移动到 r ? 2a 处,与从 r ? 2a 处移动到 r ? 3a 处,电场力对它所做的功之比为 2 1 3 A. B. C. D. 3 3 3 2 ??? ? ???? 8.如图,在半径为 R 的圆 C 中,已知弦 AB 的长为 5,则 AB ?AC ?
荷受到的电场力由公式 F=k A.

5 2

B.

25 2

C.

5 R 2

D.

25 R 2

9. 将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这三次抛 掷向上的点数之和为 12 的概率为 A.

5 18

B.

1 9

C.

3 18

D.

1 72

10. 函数 f ( x ) ? ?

? ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? , 直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图像相交于四个不同的点, 2 ? ln x , x ? 0 ? ?

从小到大,交点横坐标依次记为 a, b, c, d ,下列说法错误的是

2

A. m ? ? 3, 4 ?
4 B. abcd ? ? ?0, e

?
? ?
5

C. a ? b ? c ? d ? ? e ?

1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ?

D.若关于 x 的方程 f ? x ? ? x =m 恰有三个不同实根,则 m 取值唯一 二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案 填在答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一) 必考题(11—14 题) 11.记集合 A ? ( x, y) | x2 ? y 2 ? 4 和集合 B ? ?( x, y ) | x ? y ? 2 ? 0, x ? 0, y ? 0? 表示的 平面区域分别为 ?1 和 ? 2 ,若在区域 ?1 内任取一点 M ( x, y ) ,则点 M 落在区域 ? 2 的 概率为 .

?

?

12. 已知正数 x, y, z 满足 x+2y+3z=1, 则 为 .

1 4 9 ? ? 的最小值 x ? 2 y 2 y ? 3z 3z ? x

13.定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图所示. 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (3 ? x) .则 f (3) ? ______;

f ? x ? 在区间 ?? 3,3? 上的最小值为______.
14.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗,如: “云边月影沙边雁,水外天 光山外树” ,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云” ,其意境和韵味读来 是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534 等都是回文数,无论从 左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数” ,读起来还真有 趣! 二位的回文数有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的回文数有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的回文数有 1001,1111,1221,…,9669,9779, 9889,9999,共 90 个; 由此推测:11 位的回文数总共有 个. (二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的 题目序号所在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD//AC. 过点 A 作圆的切线与 DB

3

的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F.若 AB = AC,AE = 3 5 , BD = 4,则线段 CF 的长为______.

16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相

3 ? x ? 2? t ? ? 5 2 同的单位长度. 已知曲线 C1 : ? ( t 为参数) 和曲线 C2 : ? sin ? ? 2 cos? 相 4 ?y ? t ? 5 ?
交于 A、B 两点,设线段 AB 的中点为 M ,则点 M 的直角坐标为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(2cos2 x, 3 , n=( ,函数 f ( x ) ? m ? n . ) 1,sin 2x) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B , C 的对边,且 f (C ) ? 3, c ? 1 , ab ? 2 3 , 且 a ? b ,求 a , b 的值.

??

?

?? ?

18. (本小题满分 12 分)
? 已知数列 ?a n ?的前 n 项和是 S n ,且 S n ? an ? 1 ( n ? N ) .

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式;
? (Ⅱ)设 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ( n ? N ) , Tn ?

1 3

1007 1 1 1 ? ? ?? ? ,求使 Tn ? 成立的 2016 b1b2 b2b3 bnbn?1

最小的正整数 n 的值.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 C ? PAB 中, AB ? BC , PB ? BC , PA ? PB ? 5, AB ? 6,BC ? 4, 点 M 是 PC 的中点,点 N 在线段 AB 上,且 MN ? AB . (Ⅰ)求 AN 的长;
4

(Ⅱ)求二面角 M ? NC ? A 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 甲乙两个地区高三年级分别有 33000 人,30000 人,为了了解两个地区全体高三年级学 生在该地区二模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105 名学生的数学成绩,并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在[120,150]内为 优秀.

(Ⅰ)计算 x,y 的值; (Ⅱ) 根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率;若将此优秀率作为概率,现从 乙地区所有学生中随机抽取 3 人,求抽取出的优秀学生人数 的数学期望; (Ⅲ) 根据抽样结果,从样本中优秀的学生中随机抽取 3 人, 求抽取出的甲地区学生人 数 η 的分布列及数学期望.

21. (本小题满分 13 分) 如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F (1,0) ,C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标 原点,过点 M(4,0)的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A、B 两点. (Ⅰ)写出抛物线 C2 的标准方程;
5

(Ⅱ)求证:以 AB 为直径的圆过原点; (Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线C2上,直线 l 与椭圆 C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

k 2 x , (k ? 0, 且k ? 1) . 2

(Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调减区间;
* ( Ⅲ ) 当 k ? 0 时 , 设 f ( x ) 在 区 间 [0, n]( n ? N ) 上 的 最 小 值 为 bn , 令

an ? l n1 (? n) ? bn ,
求证:

a a ? ? ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ? ??? ? 1 3 ? 2an ? 1 ? 1, (n ? N * ) . a2 a 2 a4 a2 a4 ? ? ? a2 n

6

湖北八校 2014 届高三第二次联考参考答案 数学(理工类)
一、选择题

二、填空题:

三、解答题:

18.



1


1



n ?1





a1 ? s1





1 3 S1 ? a ? 1 ? a ? , 1 3 4

????????1 分

1 ? S n ? an ? 1 1 ? 1 3 当 n ? 2 时, ? ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? an ?1 ? 4 3 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?
∴ ?an ? 是以 列.

3 1 为首项, 为公比的等比数 4 4
????????4 分

3 1 n ?1 1 n 故 an ? ( ) ? 3( ) 4 4 4
7

(n ? N ? )
(2)由(1)知 1 ? Sn ?1 ?

???????6 分

1 1 an ?1 ? ( ) n ?1 , 3 4
?????

1 bn ? log 4 (1 ? Sn?1 ) ? log 4 ( ) n?1 ? ?(n ? 1) 4
?8 分

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 Tn ? b1b2 b2b3

1 1 1007 ? ? ? n ? 2014 , 2 n ? 2 2016 1007 故 使 Tn ? 成 立 的 最 小 2016 ??????12 分 n ? 2014 .









n





(2)? MN ? (?2,0,-2), NC ? (0. ? ,4),

???? ?

????

3 2

8

?? ???? ? ??2 x0 ? 2 z0 ? 0 ?? ? ?m ? MN ? 0 ? ?? 3 设平面 MNC 的一个法向量为 n1 ? ? x0 , y0 , z0 ? , 则 ? ?? ???? ? y0 ? 4 z0 ? 0 m ? NC ? 0 ? ? ? ? 2


z0 ? 3





x0 ? ?3, y0 ? 8





?? n1 ? ? ?3

?

,

8

,

3 ?????? 9 分

平面 ANC 的一个法向量为 n2 ? ? 0, 0,1? ,

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 82 则 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? 82 n1 n2
故 二 面 角

M ? NC ? A











3 82

.

8

2

??????12 分

21.解: (1) 设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0),
2

由 F (1,0) 得 p ? 2 ,

? C2 : y 2 ? 4 x ;
9

??????

?3 分 (2) 可设 AB : x ? 4 ? ny ,联立 y ? 4 x 得 y ? 4ny ? 16 ? 0 ,
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则y1 y 2 ? ?16, x1 x 2 ?

2 y12 y 2 ? 16 16

? ? ?? ? ? ?? ? O A ? O B? 1 x2 x ? 1 y 2 y 0 ? ,
点;
2





AB















??????8 分 (3)设 P ( 4t ,4t ) ,则 OP的中点(2t ,2t )在直线l上,
?2t 2 ? 4 ? 2nt ? ? ? 4t 得 n ? ?1 ? 2 ? ?n ? 4t
2

?t ? 0

? n ? 1, 直线l:x ? y ? 4


??????10

x2 y2 ? 1 ,与直线 l : x ? y ? 4 联立可得: 设椭圆 C1 : 2 ? 2 a a ?1

? 2a

2

? 1? y 2 ? 8 ? a 2 ? 1? y ? a 4 ? 17a 2 ? 16 ? 0

? ? 0,a ?
34

34 2

















??????13 分
2

22.(1)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x

f ?( x) ?

1 ?1? 2x 1? x
??????2

3 ? f ?(1) ? , f (1) ? ln 2 2


? 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? ln 2 ?


3 ( x ? 1) 2
??????3 分

3x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 3 ? 0

10

11


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