广东省东莞市2012-2013学年度第一学期期末教学质量检查高三理科数学

东莞市 2012-2013 学年度第一学期期末教学质量检查 高三理科数学
考生注意:本卷共三大题,满分 150 分,时问 120 分钟.不准使用计算器 参考公式:若事件 A 与事件 B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B) . 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支 正确.请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑. ) 1.若 a 实数, 1 ? ai ? i(2 ? i) ,则 a 等于 A.2 B.-1 C.1 D.-2

2 2.若函数 f ( x) ? cos x ?

D.最小正周期为 ? 的偶函数 3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n 个同学进行调查,结果显示这些同学的支 出都在[10,50)(单位:元) ,其中支出在 ?30,50? (单位:元)的同学有 67 人,其频率分布直方 图如右图所示,则 n 的值为 A.100 B.120 C.130 4.等差数列 ?an ? 中, a1 ? ? 取得最小值时 n 的值是 A.4 B.5 D.390

? 的奇函数 2 C.最小正周期为 2? 的偶函数
A.最小正周期为

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是 2
B.最小正周期为 ? 的奇函数

9 5 , a3 ? ? ,则该数列前 n 项和 Sn 2 2
C.6 D.7

5.设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则 m ? a 的—个充分条件是 A.m//n, n // ? , ? ? ? C.m//n, n ? ? , B., n // ? , ? // ? m D. m ? n , n ? ? , ? ? ?

? // ?

6.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,采取 3 局 2 胜制(即 3 局内谁先赢 2 局就算胜出,比赛结束, 每局比赛没有平局,每局甲获胜的概率为 A.

18 125

B.

36 125

C.

9 25

3 ,则比赛打完 3 局且甲取胜的概率为 5 18 D. 25

7.2012 翼装飞行世界锦标赛在张家界举行,某翼人空中高速 飞行,右图反映了他从某时刻开始的 15 分钟内的速度 v( x) 与

·1 ·

时间 x 的关系, 若定义“速度差函数” u ( x) 为时间段 0, x 内的最大速度与最小速度的差, 则 u ( x) 的 图像是

?

?

8.设集合 S ? ? A0 , A1, A2? ,在 S 上定义运算 ? : Ai ? Aj ? Ak ,其中 k 为 i ? j 被 3 除的余数,

i, j ??1, 2,3? ,则使关系式 ( Ai ? Aj ) ? Ai ? A0 成立的有序数对 (i, j ) 总共有
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对

二、填空题(每小题 5 分,满分 30 分. ) 9.已知函数 f ( x) ?

1 的定义域为M, g ( x) ? ln x 的定义域为N,则 M 1? x

N=



?x ? 1 ? 10.已知变量 x,y 满足 ? y ? 2 则 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?
11.如右图所示的算法流程图中,第 3 个输出的数是 。



12.已知实数 a ? 0 , b ? 0 , A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上的 三点,若 AC ? BC ,则 ab 的最大值为 13.设 a ? 。

?

w

0

1 (sin x ? cos x)dx ,则二项式 ( ax ? ) 6 的展开式中 x

常数项是 。 (二)选做题(第 14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数议程是 ?

? x ? 3 ? cos ? ? ( ? 为参 ? ? y ? 1 ? sin ?


数) ,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,则圆心 C 的极坐标是 15. (几何证明选讲选做题)如图,四边形 ABCD 内接于 O ,
·2 ·

AB 为 O 的直径,直线 MN 切 O 于点 D, ?MDA ? 60 , 则 ?BCD = 。

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin x sin( (1)求 f ( x ) 的最大值; (2)若 f ( A) ? 1, A ? B ?

?
2

? x) ? cos 2 ,在△ABC 中,角 A、B、C的对边分别为 a,b,c

7? , b ? 6 ,求 A 和 a。 12

17. (本小题满分 12 分) 某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训,以促进教师的专业发展,每位教师 可以选择参一项培训、 参加两项培训或不参加培. 现知垒市教师中, 选择心理学培训的教师有 60%, 选择计算机培训的教师有 75%,每位教师对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间 没有影响. (1)任选 1 名教师,求该教师选择只参加一项培训的概率; (2)任选 3 名教师,记 ? 为 3 人中选择不参加培训的人数,求 ? 的分布列和期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 ,几何体 SABC 的底面是由以 AC 为直径的半圆 O 与△ABC 组成的平面图形, SO ? 平面 ABC, AB ? BC ,SA =SB=SC=A C=4,BC=2. (l)求直线 SB 与平面 SAC 所威角的正弦值; (2)求几何体 SABC 的正视图中 ?S1 A 1B 1 的面积; (3)试探究在圆弧 AC 上是否存在一点 P,使得 AP ? SB ,若存在,说明点 P 的位置并 证明;若不存在,说明理由.

·3 ·

19. (本小题满分 14 分) 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平等因素的限制,会产生一些次

品,

? x2 , (1 ? x ? 4), ? ?6 根据经验知道,次品数 P(万件)与日产量 x(万件)之间满足关系: P ? ? ? x ? 3 ? 25 , ( x ? 4) ? x 12 ?
已知每生产 l 万件合格的元件可以盈利 2 万元,但每生产 l 万件次品将亏损 1 万元. (利润=盈利 一亏损) (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润 T(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2)当工厂将这种仪器的元件的日产量 x 定为多少时获得的利润最大,最大利润为多少?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? kx, x ? R (e 是自然对数的底数,e=2.71828??) (1)若 k=e,求函数 f ( x ) 的极值; (2)若 k ? R ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若 k ? R ,讨论函数 f ( x ) 在 ? ??,4? 上的零点个数.

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? ?bn ? 的各项都是正数, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且对任意 n ? N 。都有
?

an 2 ? 2Sn ? an , b1 ? e , bn?1 ? bn 2 . cn ? an ? ln bn (e 是自然对数的底数,e=2.71828??)
(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)试探究是否存在整数 ? , 使得对于任意 n ? N , 不等式
?

4(Tn ? 1) 5(n ? 1) 恒成立? ?? ? 2Sn ? 1 (n ? 1)n(n ? 1)

若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。

·4 ·

广东省东莞市 2012-2013 学年度第—学期高三调研测试 理科数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 40 分.) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 C

二、填空题(每小题 5 分,满分 30 分. ) 9. {x | 0 ? x ? 1} 10.2 11.7 12.

49 2

13. ? 160

14. (2,

?
6

)

15. 150 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.) 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 f ( x) ? sin x sin(

?
2

? x) ? cos 2 x
……1 分

? sin x cos x ? cos2 x

1 = [sin 2 x ? 1 ? cos 2 x] 2

…………3 分

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? . 2 4 2

……4 分

所以,当 sin( 2 x ? 大值, 其最大值为

?
4

) ? 1 ,即 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? , x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x ) 取得最
…………5 分

2 ?1 . 2

…………6 分

(2)由 f ( A) ? 1 得,

2 ? 1 ? 2 . sin(2 A ? ) ? ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? 2 4 2 4 2

………7 分

在 ?ABC 中,因为 A ? (0, ? ) ,所以 2 A ? 又 sin(2 A ?

?

? 9? ? ( , ). 4 4 4
……9 分 …………10 分

?
4

)?

? ? 3? 2 ,A? . ? 0 , 所以 2 A ? ? 4 4 4 2

7? ? ,所以 B ? . 12 3 a b ? 在△ ABC 中,由 及 b ? 6 ,得 sin A sin B
又因为 A ? B ?
·5 ·

a?

b sin A ? sin B

6? 3 2

2 2 ? 2.

………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:任选 1 名教师,记“该教师选择心理学培训”为事件 A ,“该教师选择计算机培训”为事件 B , 由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (1)任选 1 名,该教师只选择参加一项培训的概率是 …………1 分

P 1 ? P( AB) ? P( AB) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45 .
(2)任选 1 名教师,该人选择不参加培训的概率是

…………4 分

P 0 ? P( AB)=P( A) P( B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 .
因为每个人的选择是相互独立的, 所以 3 人中选择不参加培训的人数 ? 服从二项分布 B(3, 0.1) ,
k 1, 2, 3, 且 P(? ? k ) ? C3 ? 0.1k ? 0.93?k , k ? 0,

………5 分

…………6 分 …………8 分

即 ? 的分布列是

?

0 0.729

1 0. 243

2 0.027

3 0.001 ………10 分

P

所以,? 的期望是 E? ? 1? 0.243 ? 2 ? 0.027 ? 3 ? 0.001 ? 0.3 . (或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.1 ? 0.3 . )

………12 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)过点 B 作 BH ? AC 于点 H ,连接 SH .

…………1 分

S

因为 SO ? 平面ABC , BH ? 平面ABC , 所以 BH ? SO . 又因为 BH ? AC , SO 所以 BH ? 平面SAC , 即 ?BSH 就是直线 SB 与平面 SAC 所成角.
·6 ·

…………2 分

AC ? O ,

A

O

H B

C

…………3 分

在 ?ABC 中,因为 AB ? BC , AC ? 4 , BC ? 2 , 所以 ?ACB ? 60? , BH ? 2sin 60? ? 3 . 在 Rt ?BSH 中,因为 SB ? 4 , 所以 sin ?BSH ? ………4 分

BH 3 , ? SB 4
3 . 4
…………5 分

即直线 SB 与平面 SAC 所成角的正弦值为

(2)由(1)知,几何体 SABC 的正视图中, ?S1 A1B1 的边 A1 B1 ? AH ? AC ? HC ,
o 而 HC ? 2 cos60 ? 1 ,所以 A1 B1 ? 3 .

…………6 分

又 ?S1 A1B1 的边 A1B1 上的高等于几何体 SABC 中 SO 的长,而 SA ? SC ? AC ? 4 , 所以 SO ? 2 3 , 所以 S ?S1 A1B1 ? (3)存在. ………7 分 …………8 分 …………9 分
A M O B P C S

1 ? 3? 2 3 ? 3 3 . 2

证明:如图,连接 BO 并延长交弧 AC 于点 M , 在底面内,过点 A 作 AP ? BM 交弧 AC 于点 P . ………10 分 所以 SO ? 平面ABC . 而 AP ? 平面ABC ,所以 AP ? SO . 又因为 AP ? BM , SO …………11 分

BM ? O ,
…………12 分

所以 AP ? 平面SOB ,从而 AP ? SB .

又因为 AO ? OC ? BC ? 2 ,所以有 ?AOM ? ?BOC ? ?ACB ? 60? , 所以 ?AOM ? ?POM ? 60? , ?AOP ? 120? , …………13 分 即点 P 位于弧 AC 的三等分的位置,且 ?AOP ? 120? . …………14 分 19. (本小题满分 14 分)

x2 解: (1)当 1 ? x ? 4 时,合格的元件数为 x ? , 6
利润 T ? 2( x ?

…………1 分

x2 x2 x2 ) ? ? 2x ? ; 6 6 2
·7 ·

…………3 分

当 x ? 4 时,合格的元件数为 x ? ( x ?

3 25 3 25 ? )?? ? , x 12 x 12 3 25 3 25 9 25 )? (x+ ? ) ? ?x? + 利润 T ? 2(? ? , x 12 x 12 x 4

…………4 分 ………6 分

? x2 2x ? , 1 ? x ? 4 ? ? 2 综上,该工厂每天生产这种元件所获得的利润 T ? ? ?? x ? 9 + 25 , x ? 4 ? x 4 ?
(2)当 1 ? x ? 4 时, T ? 2 x ?

………7 分

x2 ,对称轴 x ? 2 ,此时利润 T 的最大值 Tmax ? T (2) ? 2 . ………9 分 2
…………10 分 …………11 分 …………12 分 …………13 分 …………14 分

当 x ? 4 时, T ' ? ?1 ? 所以 T ? ? x ?

9 9 ? x 2 (3 ? x)(3 ? x) = 2 ? ? 0, x2 x x2

9 25 + 在 [4,??) 上是减函数, x 4

此时利润 T 的最大值 Tmax ? T (4) ? 0 , 综上所述,当 x ? 2 时, T 取最大值 2, 即当日产量定为 2(万件)时,工厂可获得最大利润 2 万元. 20. (本小题满分 14 分)
x x 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .

…………1 分

' x 令 f ( x) ? 0 ,得 e ? e ? 0 ,解得 x ? 1 .由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,

当 x 变化时, f ?( x ) 、 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

( ??, 1)

1 0 极小值

(1, ? ?)
+ 单调递增 …………2 分

?
单调递减

所以当 x =1 时, f ( x) 有极小值为 0,无极大值. (2)由 f ( x ) ? e ? kx,x ? R ,得 f ?( x) ? e ? k .
x x x ①当 k ? 0 时,则 f ?( x) ? e ? k ? 0 对 x ? R 恒成立,

…………3 分

·8 ·

此时 f ( x) 的单调递增,递增区间为(-?, ? ?) .

…………4 分

②当 k ? 0 时,由 f ?( x) ? e x ? k ? 0, 得到 x ? ln k ,由 f ?( x) ? e x ? k ? 0, 得到 x ? ln k , 所以, k ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (ln k , ? ?) ;递减区间是 (??, ln k ) . ……6 分 综上,当 k ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为(-?, ? ?) ; 当 k ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (ln k , ? ?) ;递减区间是 (??, ln k ) . ………7 分 (3)解法一:
x ①当 k ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 ,对 x ? R 恒成立,所以函数 f ( x ) 在 (??,4] 上无零点.…8 分 x ②当 k ? 0 时,由(2)知, f ?( x) ? e ? k ? 0 对 x ? R 恒成立,函数 f ( x ) 在 (??,4] 上单调递增,
1 1 又 f (0)=1 ? 0 , f ( ) ? e k ? 1 ? 0, k

…………9 分 …………10 分

所以函数 f ( x ) 在 (??,4] 上只有一个零点. (若说明取绝对值很大的负数时, f ( x ) 小于零给 1 分)

x ③当 k ? 0 时, 令 f ?( x) ? e ? k ? 0 , 得 x ? ln k , 且 f ( x) 在 (??, ln k ) 上单调递减, 在 (ln k , ? ?)

上单调递增, f ( x) 在 x ? ln k 时取得极小值,即 f ( x) 在 (??,4] 上最多存在两个零点.

?ln k ? 4 e4 ? (ⅰ)若函数 f ( x ) 在 (??,4] 上有 2 个零点,则 ? f (ln k ) ? k (1 ? ln k ) ? 0 ,解得 k ? (e, ] ; 4 ? f (4) ? 0 ?
(ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (??,4] 上有 1 个零点,则 f (4) ? 0 或 ?

?ln k ? 4 , ? f (ln k ) ? 0
…………12 分

解得 k ? (

e4 , ??) 或 k ? e ; 4

(ⅲ)若函数 f ( x ) 在 (??,4] 上没有零点,则 ? 解得 k ? (0,e) .

?ln k ? 4 或 f (ln k ) ? k (1 ? ln k ) ? 0 , ? f (4) ? 0
…………13 分

·9 ·

综上所述, 当 k ? (e,

e4 ] 时, f ( x) 在 (??,4] 上有 2 个零点; 4

当 k ?(

e4 , +?) (??, 0) 或 k ? e 时, f ( x) 在 (??,4] 上有 1 个零点; 4
…………14 分

当 k ? [0,e) 时, f ( x) 在 (??,4] 上无零点. 解法二:

f ( x) ? ex ? kx,x ? R .

x 当 k ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 对 x ? R 恒成立,所以函数 f ( x ) 在 (??,4] 上无零点.……8 分

x 当 k ? 0 时, f ( x) ? e ? kx 在 (??,4] 上的零点就

y y=kx

y=ex

是方程 e ? kx 在 (??,4] 上的解,即函数 y ? e
x

x

与 y ? kx 在 (??,4] 上的交点的横坐标.

…………9 分
0

x

x ( ? ?, 0) ①当 k ? 0 时,如图 1,函数 y ? e 与 y ? kx 只在 上

图1

有一个交点,即函数 f ( x ) 在 (??,4] 上有一个零点.

…………10 分
y

x x ②当 k ? 0 时,若 y ? e 与y ? kx 相切时,如图 2,设切点坐标为 ( x0 , e 0 ) ,

e

4

则 y ? e |x? x0 ? e , 即切线的斜率是 k ? e ,
/ x x0

x0

y=ex

所以 e

x0

? e x0 ? x0 ,解得 x0 ? 1 ? 4 ,

y=kx

x 即当 k ? e 时, y ? e 与y ? kx 只有一个交点,

0

4 x 图2

函数 f ( x ) 在 (??,4] 上只有一个零点 x ? 1 ;…………11 分 由此,还可以知道,当 0 ? k ? e 时,函数 f ( x ) 在 (??,4] 上无零点.

…………12 分
y

e4 当 y ? kx 过点 (4, e ) 时,如图 3, k ? , 4
4

e

4

y=ex

所以 e ? k ?

e4 x 时, y ? e 与y ? kx 在 (??,4] 上 4
0

y=kx

有两个交点,即函数 f ( x ) 在 (??,4] 上有两个零点;
·10·

4 x 图3

k?

e4 时, y ? e x与y ? kx 在 (??,4] 上只有一个交点, 4
…………13 分

即函数 f ( x ) 在 (??,4] 上只有一个零点.

e4 综上所述,当 k ? (e, ] 时,函数 f ( x ) 在 (??,4] 上有 2 个零点; 4
当 k ?(

e4 , +?) (??, 0) 或 k ? e 时,函数 f ( x ) 在 (??,4] 上有 1 个零点; 4
…………14 分

当 k ? [0,e) 时,函数 f ( x ) 在 (??,4] 上无零点.

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 an ? 0 , an ? 2Sn ? an ,①
2

当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ;
2 2 当 n ? 2 时,有 an ?1 ? 2Sn?1 ? an?1 ,②

…………1 分

由①-②得, an ? an?1 ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? (an ? an?1 ) ? an ? an?1 ( n ? 2 ).
2

2

而 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 1 ( n ? 2 ) ,即数列 {an } 是等差数列,且 an ? n . ………2 分
2 又因为 bn ?1 ? bn ,且 bn ? 0 ,取自然对数得 ln bn ?1 ? 2 ln bn ,

由 此 可 知 数 列 {ln bn } 是 以 ln b1 ? ln e ? 1 为 首 项 , 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 所 以

ln bn ? ln b1 ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,……4 分
所以 bn ? e2 . (2)由(1)知, cn ? an ln bn ? n ? 2n?1 ,
n?1

…………5 分 …………6 分

所以 Tn ? 1?1 ? 2 ? (2)1 ? 3 ? (2) 2 ? ? ? (n ? 1) ? (2) n?2 ? n ? (2) n?1 ,③

2 ? Tn ? 1? (2)1 ? 2 ? (2) 2 ? 3 ? (2) 3 ? ? ? (n ? 1) ? (2) n?1 ? n ? (2) n ,④
由③-④得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n ,
·11·

…………7 分

所以 Tn ? (n ? 1)2n ? 1 . (3)由 an ? n , an ? 2Sn ? an 得 S n ?
2

…………8 分

n2 ? n , 2



( 5 n ? 1) 2n? 2 4(Tn ? 1) ( 5 n ? 1) 可得 2 , ?? ? ??? 2S n ? 1 (n ? 1)n(n ? 1) n ? n ?1 n(n ? 1)
4(Tn ? 1) ( 5 n ? 1) 恒成立等价于使得对于 ??? 2S n ? 1 (n ? 1)n(n ? 1)
…………10 分

即使得对于任意 n ? N * 且 n ? 2 ,不等式

任意 n ? N * 且 n ? 2 ,不等式

( 5 n ? 1) 2n? 2 恒成立. ? ? ? n2 ? n ?1 n(n ? 1)

( 5 n ? 1) 5 5 ? ? ? 1, 当n ? 2时取最大值是1. 2 n ? n ? 1 n ? 2n ? 2 ? 1 n ? 2 ? 1 n ?1 n ?1 5( x ? 1) (或用导数求 f ( x) ? 2 在 [1,+?) 上的最大值.) x ? x ?1
? 2n ? 2 2n ?1 ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? g (n) ? g (n ? 1) ? 2n ? 2 令 g ( n) ? ,由 ? 可得 ? n ? 2 , n(n ? 1) 2n ?3 ? g (n) ? g (n ? 1) ? 2 ? ? ? n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)
1 ? 2 ? ? ?n ?1 n ?1 化简得: ? , 1 2 ? ? ? ?n n ? 2
解得 2 ? n ? 3 ,所以当 n ? 2或3 时, g ( n ) 取最小值,最小值为 g (2) ? g (3) ? 所以 ? ? 2 时,原不等式恒成立.

………11 分

8 ,……13 分 3
……14 分

·12·


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