(2)1-3-1导数试题


基础巩固强化 一、选择题 1.函数 y=x4-2x2+5 的单调减区间为( A.(-∞,-1]和[0,1] B.[-1,0]和[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]和[1,+∞) [答案] A [解析] y′=4x3-4x 令 y′<0,即 4x3-4x<0 解得 x<-1 或 0<x<1,所以函数的单调减区间为(-∞,-1)和 (0,1),故应选 A. 2.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2 [答案] A [解析] f ′(x)=3ax2-1≤0 恒成立,∴a≤0. 3.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f ′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f ′(x)>0,g′(x)>0 C.f ′(x)<0,g′(x)>0 [答案] B [解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对 ) B.f ′(x)>0,g′(x)<0 D.f ′(x)<0,g′(x)<0 B.a<1 1 D.a≤3 ) )

称的两个区间上单调性相同(反),∴x<0 时,f ′(x)>0,g′(x)<0. 4.(2013· 武汉市实验中学高二期末)设 p:x3+2x2+mx+1 在(- 4 ∞,+∞)内单调递增,q:m>3,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [ 解析 ] f ′(x) = 3x2 + 4x + m ,∵ f(x) 在 R 上单调递增,∴ )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

f ′(x)≥0 在 R 上恒成立,∴Δ=16-12m≤0, 4 ∴m≥3,故 p 是 q 的必要不充分条件. 5.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能的是( )

[答案] C [分析] 由导函数 f ′(x)的图象位于 x 轴上方(下方),确定 f(x)的 单调性,对比 f(x)的图象,用排除法求解.

[解析] 由 f ′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0,f(x)为 增函数, x∈(0,2)时, f ′(x)<0, f(x)为减函数, x∈(2, +∞)时, f ′(x)>0, f(x)为增函数. 只有 C 符合题意,故选 C. 6.函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( π? ? π? ? A.?-π,-2?和?0,2?
? ? ? ?

)

π? ? π ? ? B.?-2,0?和?0,2?
? ? ? ? ? ?

π? ?π ? ? C.?-π,-2?和?2,π?
? ? ? π ? ?π ? D.?-2,0?和?2,π? ? ? ? ?

[答案] A π [解析] y′=xcosx,当-π<x<-2时, cosx<0,∴y′=xcosx>0, π 当-2<x<0 时,cosx>0,∴y′=xcosx<0. π 当 0<x<2时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. π 当2<x<π 时,cosx<0,∴y′=xcosx<0,故选 A. 二、填空题 1 7.已知 y=3x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的取值范围为________. [答案] b<-1 或 b>2 [解析] 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+

2)≤0,∴-1≤b≤2, 由题意 b<-1 或 b>2. 8.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为 (2,+∞)∪(-∞,-1), 1 令 f(x)=x2-x-2,f ′(x)=2x-1<0,得 x<2, ∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1). 9.函数 y=x3-x2-x 的单调递增区间为________. 1 [答案] (-∞,-3),(1,+∞) [解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 1 ∴由 y′>0 得,x>1 或 x<-3. 三、解答题 10.已知曲线 y=x3+3x2+6x-10,点 P(x,y)在该曲线上移动, 在 P 点处的切线设为 l. (1)求证:此函数在 R 上单调递增; (2)求 l 的斜率的取值范围. [解析] (1)证明:y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2

+3>0 恒成立,∴此函数在 R 上递增. (2)解:由(1)知 f ′(x)=3(x+1)2+3≥3, ∴l 的斜率的取值范围是 k≥3. 能力拓展提升 一、选择题 11.(2012· 天津理,4)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点

个数是( A.0

) B.1 C.2 D.3

[答案] B [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考 查分析问题、解决问题的能力. ∵f(x)=2x+x3-2,0<x<1,∴f ′(x)=2xln2+3x2>0 在(0,1)上恒成 立,∴f(x)在(0,1)上单调递增. 又 f(0)=20+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至少有一个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有 一个零点. [ 点评 ] 共点个数. 12.函数 y=x3+ax+b 在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为 增函数,则( ) B.a=1,b∈R D.a=-3,b∈R 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公

A.a=1,b=1 C.a=-3,b=3 [答案] D

[解析] f ′(x)=3x2+a,由条件 f ′(1)=0, ∴a=-3,b∈R. [点评] 如果 f(x)在(a,b)上单调增(减),在(b,c)上单调减(增), 且 f(b)有定义,则必有 f ′(b)=0. 13.若函数 y=f(x)的导函数 在区间[a,b]上是增函数,则函数 y ... =f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )

[答案] A [解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义. ∵导函数 f ′(x)是增函数, ∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大, 故选 A. [点评] B 图中切线斜率逐渐减小,C 图中 f ′(x)为常数,D 图 中切线斜率先增大后减小. 14.已知函数 y=xf ′(x)的图象如图(1)所示(其中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )

[答案] C [解析] 当 0<x<1 时 xf ′(x)<0, ∴f ′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数. 当 x>1 时 xf ′(x)>0,∴f ′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增 函数,因此否定 A、B、D 故选 C. 二、填空题 15.已知函数 f(x)=x3-ax2+4,若函数 y=f(x)在(0,2)内单调递 减, 则实数 a 的取值集合是____________; 若函数 y=f(x)的单调递减 区间是(0,2),则实数 a 的取值集合是________. [答案] {a|a>3} {3} [解析] y′=3x2-2ax, (1)由题意知 3x2-2ax≤0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a≥2x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2a (2)由题意不等式 3x2-2ax<0 的解集是(0,2),∴ 3 =2,∴a=3.

[点评] 要注意区分 f(x)在区间 A 内单调递减和 f(x)的单调递减区 间为 A. 三、解答题 16.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相 切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f ′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f ′(1)=-12,
? ?1-3a+3b=-11 即? , ? ?3-6a+3b=-12

解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f ′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令 f ′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f ′(x)<0,解得-1<x<3. 所以当 x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 17.设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a=2时,f(x)=x(ex-1)-2x2,

f ′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f ′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f ′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调 递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0) =0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0) =0,从而当 x∈(0,lna)时 g(x)<0,即 f(x)<0,不合题意. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].

1.已知函数 f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1. (1)若 f(x)的单调减区间为(-1,1),则 a 的取值集合为________. (2)若 f(x)在区间(-1,1)内单调递减, 则 a 的取值集合为________. [答案] (1){0} (2){a|a<0}

[解析] f ′(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调减区间为(-1,1), ∴-1 和 1 是方程 f ′(x)=0 的两根, ∴ 3-2a 3 =1,∴a=0,∴a 的取值集合为{0}.

(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f ′(x)<0 在(-1,1)内恒成 3-2a 立,又二次函数 y=f ′(x)开口向上,一根为-1,∴必有 3 >1,

∴a<0, ∴a 的取值集合为{a|a<0}. [点评] f(x)的单调减区间为(m,n),则必有 f ′(m)=0,f ′(n) =0 或 x=m,x=n 是函数 f(x)的不连续点,f(x)在区间(m,n)上单调 递减,则(m,n)是 f(x)的单调减区间的子集,f ′(x)≤0 在(m,n)上恒 成立. 2. 已知函数 f(x)=ax-lnx, 若 f(x)>1 在区间(1, +∞)内恒成立, 实数 a 的取值范围为________. [答案] a≥1 [解析] 由已知 a> 1+lnx x 在区间(1,+∞)内恒成立. (x>1),

1+lnx lnx 设 g(x)= x ,则 g′(x)=- x2 <0

1+lnx ∴g(x)= x 在区间(1,+∞)内单调递减, ∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴ 1+lnx x <1 在区间(1,+∞)内恒成立,

∴a≥1. 1 3.求证:方程 x-2sinx=0 只有一个根 x=0. 1 [证明] 设 f(x)=x-2sinx,x∈(-∞,+∞), 1 则 f ′(x)=1-2cosx>0, ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当 x=0 时,f(x)=0,

1 ∴方程 x-2sinx=0 有唯一的根 x=0.


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