新高中数学第三章不等式3-2均值不等式名师讲义新人教B版必修5

新高中数学第三章不等式 3-2 均值不等式名师讲义新人教 B 版必修 5 均值不等式

预习课本 P69~71,思考并完成以下问题 (1)均值不等式的形式是什么?需具备哪些条件?

(2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面?

(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?

[新知初探] 1.均值定理 如果 a,b∈R ,那么 不等式. 对任意两个正实数 a,b,数


a+b
2

≥ ab.当且仅当 a=b 时,等号成立,以上结论通常称为均值

a+b
2

称为 a,b 的算术平均值(平均数),数 ab称为 a,b 的

几何平均值(平均数).均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平 均值. [点睛] (1)“a=b”是

a+b
2

≥ ab的等号成立的条件. 若 a≠b, 则

a+b
2

≠ ab, 即

a+b
2



ab.
(2)均值不等式

a+b
2

≥ ab与 a +b ≥2ab 成立的条件不同,前者 a>0,b>0,后者 a∈R,

2

2

b∈R.
2.利用均值不等式求最值 (1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; (2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.

- 1 - / 12

[小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意 a,b∈R,a +b ≥2ab,a+b≥2 ab均成立( 4 (2)若 a≠0,则 a+ ≥2
2 2

)

a

a· =4( a

4

) )

(3)若 a>0,b>0,则 ab≤?

?a+b?2( ? ? 2 ?
2 2

解析: (1)错误. 任意 a, b∈R, 有 a +b ≥2ab 成立, 当 a, b 都为正数时, 不等式 a+b≥2 ab 成立. 4 (2)错误.只有当 a>0 时,根据均值不等式,才有不等式 a+ ≥2

a

a· =4 成立. a

4

(3)正确.因为 ab≤

a+b
2

,所以 ab≤?

?a+b?2. ? ? 2 ?

答案:(1)× (2)× (3)√ 1 2.已知 f(x)=x+ -2(x>0),则 f(x)有(

x

) B.最小值为 0 D.最小值为 2

A.最大值为 0 C.最小值为-2 答案:B

3.对于任意实数 a,b,下列不等式一定成立的是( A.a+b≥2 ab C.a +b ≥2ab 答案:C
2 2

) ≥ ab

B.

a+b
2

D. + ≥2

b a a b

4.已知 0<x<1,则函数 y=x(1-x)的最大值是________. 1 答案: 4

利用均值不等式比较大小

[典例] (1)已知 m=a+ A.m>n C.m=n

1 2 (a>2),n=22-b (b≠0),则 m,n 之间的大小关系是( a-2 B.m<n D.不确定

)

- 2 - / 12

1 a+b (2)若 a>b>1,P= lg a·lg b,Q= (lg a+lg b),R=lg ,则 P,Q,R 的大小关 2 2 系是________. [ 解析 ] (1) 因为 a>2 ,所以 a - 2>0 ,又因为 m = a + 1

a-2

= (a - 2) +

1

a-2

+ 2 ,所以

m≥2 m>n.

a-

1 2 2 2 +2=4,由 b≠0,得 b ≠0,所以 2-b <2,n=22-b <4,综上可知 a-2

(2)因为 a>b>1,所以 lg a>lg b>0, 1 所以 Q= (lg a+lg b)> lg a·lg b=P; 2

Q= (lg a+lg b)=lg
所以 P<Q<R. [答案] (1)A (2)P<Q<R

1 2

a+lg

b=lg

ab<lg

a+b
2

=R.

利用均值不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的 性质(单调性). (2)利用均值不等式时,一定要注意条件是否满足 a>0,b>0.

[活学活用] 已知 a,b,c 都是非负实数,试比较 a +b + b +c + c +a 与 2(a+b+c)的大小. 解:因为 a +b ≥2ab,所以 2(a +b )≥(a+b) , 所以 同理
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2+b2≥ b2+c2≥

2 (a+b), 2 2 (b+c), 2

c2+a2≥

2 (c+a), 2

所以
2

a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥
2 2 2 2 2

2 [(a+b)+(b+c)+(c+a)], 2

即 a +b + b +c + c +a ≥ 2(a+b+c),当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 利用均值不等式证明不等式

[典例] 设 a,b,c 都是正数,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc. [证明] 因为 a,b,c 都是正数,所以 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a b+ab +b c
2 2 2

- 3 - / 12

+ bc + c a + ca = (a b + bc ) + (b c + ca ) + (c a + ab )≥2 a b c + 2 a b c + 2 a b c = 6abc,所以原不等式成立,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐 步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型再使用.

[活学活用]

?1 ??1 ??1 ? 已知 a,b,c 为正实数, 且 a+b+c=1,求证:? -1?? -1?? -1?≥8. ?a ??b ?? c ?
证明:因为 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1, 1 1-a b+c 2 bc 所以 -1= = ≥ .

a

a

a

a

1 2 ac 1 2 ab 同理, -1≥ , -1≥ .

b

b

c

c

上述三个不等式两边均为正,

?1 ??1 ??1 ? 2 bc·2 ac·2 ab=8,当且仅当 a=b=c=1时,取等号. 相乘得? -1?? -1?? -1?≥ a b c 3 ? a ??b ??c ?
利用均值不等式求最值 [典例] (1)已知 lg a+lg b=2,求 a+b 的最小值. (2)已知 x>0,y>0,且 2x+3y=6,求 xy 的最大值. 1 9 (3)已知 x>0,y>0, + =1,求 x+y 的最小值.

x y

[解] (1)由 lg a+lg b=2 可得 lg ab=2, 即 ab=100,且 a>0,b>0, 因此由均值不等式可得 a+b≥2 ab=2 100 =20, 当且仅当 a=b=10 时,a+b 取到最小值 20. (2)∵x>0,y>0,2x+3y=6, 1 1 ?2x+3y?2 ∴xy= (2x·3y)≤ ·? ? 6 6 ? 2 ?

- 4 - / 12

1 ?6?2 3 = ·? ? = , 6 ?2? 2 当且仅当 2x=3y, 3 3 即 x= ,y=1 时,xy 取到最大值 . 2 2 1 9 (3)∵ + =1,

x y

?1 9? ∴x+y=(x+y)·? + ? ?x y?
y
9x y y 9x =1+ + +9= + +10,

y

x

x

又∵x>0,y>0,

y 9x ∴ + +10≥2 x y

y 9x · +10=16, x y

y 9x 当且仅当 = ,即 y=3x 时,等号成立. x y y=3x, ? ? 由?1 9 + =1, ? ?x y
?x=4, ? ? ?y=12,

得?

即当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16.

(1)应用均值不等式需注意三个条件:即一正、二定、三相等.在具体的题目中, “正数” 条件往往易从题设中获得解决, “相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件却常常被 设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此, “定值”条件决定着基本不等式应 用的可行性,这是解题成败的关键. (2)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式. (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.

[活学活用] 2 1 1 1.已知 a>0,b>0, + = ,若不等式 2a+b≥9m 恒成立,则 m 的最大值为( a b 6 A.8 C.6 解析:选 C B.7 D.5 )

?2 1? ?2 1? ? 2a 2b? 由已知,可得 6? + ?= 1,∴ 2a+ b=6? + ? ·(2a+ b)= 6?5+ + ? ?a b? ?a b? ?
b a?

- 5 - / 12

≥6×(5+4)=54,当且仅当

2a 2b = 时等号成立,∴9m≤54,即 m≤6,故选 C.

b

a

2.若 x>0,y>0,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为________. 解析:1=x+4y≥2 4xy=4 xy, 1 1 ∴xy≤ ,当且仅当 x=4y= 时等号成立. 16 2 答案: 1 16 利用均值不等式解应用题

[典例] 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙 不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造 价 20 元,求: (1)仓库面积 S 的最大允许值是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? [解] (1)设铁栅长为 x 米,一堵砖墙长为 y 米,而顶部面积为 S=xy,依题意得,40x +2×45y+20xy=3 200, 由均值不等式得 3 200≥2 40x×90y+20xy =120 xy+20xy, =120 S+20S. 所以 S+6 S-160≤0,即( S-10)( S+16)≤0, 故 S≤10,从而 S≤100, 所以 S 的最大允许值是 100 平方米, (2)取得最大值的条件是 40x=90y 且 xy=100, 求得 x=15,即铁栅的长是 15 米.

求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式. (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑均值不等式,当均值不等式求 最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性. (4)正确写出答案. [活学活用] - 6 - / 12

某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x-25(x∈N+),求当每台机器运 转多少年时,年平均利润最大,最大值是多少.
2

y y ? 25? 解:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-?x+ ?,而 x>0,故 ≤18-2 25=8, x

?

x?

x

当且仅当 x=5 时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为 8 万元. 故当每台机器运转 5 年时,年平均利润最大,最大值为 8 万元.

层级一 学业水平达标 1.下列结论正确的是( ) 1 ≥2 lg x

A.当 x>0 且 x≠1 时,lg x+ B.当 x>0 时, x+ 1 ≥2

x

1 C.当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2

x

1 D.当 0<x≤2 时,x- 无最大值

x

1 解析:选 B A 中,当 0<x<1 时,lg x<0,lg x+ ≥2 不成立;由均值不等式知 B 正 lg x 1 5 1 确;C 中,由对勾函数的单调性,知 x+ 的最小值为 ;D 中,由函数 f(x)=x- 在区间(0,2] x 2 x 1 3 上单调递增,知 x- 的最大值为 ,故选 B. x 2 2.下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( A.lg(x +1)≥lg(2x) C. 1
2 2

)

B.x +1>2x 1 D.x+ ≥2

x2+1

≤1

x

解析:选 C 对于 A,当 x≤0 时,无意义,故 A 不恒成立;对于 B,当 x=1 时,x +1= 2x,故 B 不成立;对于 D,当 x<0 时,不成立.对于 C,x +1≥1,∴ 3.设 a,b 为正数,且 a+b≤4,则下列各式中正确的一个是( 1 1 A. + <1
2

2

1 )

x2+1

≤1 成立.故选 C.

a b a b

1 1 B. + ≥1

a b a b

1 1 C. + <2

1 1 D. + ≥2

- 7 - / 12

解析:选 B 因为 ab≤?

?a+b?2≤?4?2=4,所以1+1≥2 ? ? ? a b ? 2 ? ?2?
) < bc

1

ab

≥2

1 =1. 4

4.四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则( A. C.

a+d
2 2

> bc = bc

B. D.

a+d
2 2

a+d

a+d

≤ bc

解析:选 A 因为 a,b,c,d 成等差数列,则 a+d=b+c,又因为 a,b,c,d 均大于 0 且不相等,所以 b+c>2 bc,故

a+d
2

> bc. ) 1 B.最小值 64 D.最小值 64

2 8 5.若 x>0,y>0,且 + =1,则 xy 有(

x y

A.最大值 64 1 C.最小值 2

?2 8? 解析:选 D 由题意 xy=? + ?xy=2y+8x≥2 2y·8x=8 xy,∴ xy≥8,即 xy 有最 ?x y?
小值 64,等号成立的条件是 x=4,y=16. 1 1 3 3 6.若 a>0,b>0,且 + = ab,则 a +b 的最小值为________.

a b

1 1 解析:∵a>0,b>0,∴ ab= + ≥2

1

a b

ab

,即 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时取等号,
3 3

∴a +b ≥2 答案:4 2

3

3

ab

3

≥2 2 =4 2, 当且仅当 a=b= 2时取等号, 则 a +b 的最小值为 4 2.

3

7.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为________. 1 1 ?3x+3-3x?2 3 1 解析:由 x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ ×? = ,当且仅当 3x=3-3x,即 x= ? 2 3 3 ? 2 ? 4 时等号成立. 1 答案: 2 8.若对任意 x>0,

x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x2+3x+1 x

1 解析:因为 x>0,所以 x+ ≥2.当且仅当 x=1 时取等号, 所以有

x 1 1 1 = ≤ = , x +3x+1 1 2+3 5 x+ +3 x
2

- 8 - / 12



x 1 1 的最大值为 ,故 a≥ . x +3x+1 5 5
2

?1 ? 答案:? ,+∞? ?5 ?
9.(1)已知 x<3,求 f(x)= 4

x-3

+x 的最大值;

1 3 (2)已知 x,y 是正实数,且 x+y=4,求 + 的最小值.

x y

解:(1)∵x<3, ∴x-3<0, ∴f(x)= =-? 4 4 +x= +(x-3)+3 x-3 x-3 -x ? ?+3≤-2

? 4 + ?3-x

?

4 3-x

-x +3=-1,

4 当且仅当 =3-x, 3-x 即 x=1 时取等号, ∴f(x)的最大值为-1. (2)∵x,y 是正实数,

?1 3? ?y 3x? ∴(x+y)? + ?=4+? + ?≥4+2 3. ?x y?
x y

?x

y?

y 3x 当且仅当 = ,
即 x=2( 3-1),y=2(3- 3)时取“=”号. 又 x+y=4, 1 3 3 ∴ + ≥1+ , x y 2 1 3 3 故 + 的最小值为 1+ . x y 2 10.设 a,b,c 都是正数,试证明不等式: 证明:因为 a>0,b>0,c>0, 所以 + ≥2, + ≥2, + ≥2,

b+c c+a a+b + + ≥6. a b c

b a a b

c a a c

b c c b

?b a? ?c a? ?b c? 所以? + ?+? + ?+? + ?≥6, ?a b? ?a c? ?c b?
b a c a c b a b a c b c
当且仅当 = , = , = ,

- 9 - / 12

即 a=b=c 时,等号成立. 所以

b+c c+a a+b + + ≥6. a b c
层级二 应试能力达标

1.a,b∈R,则 a +b 与 2|ab|的大小关系是( A.a +b ≥2|ab| C.a +b ≤2|ab|
2 2 2 2 2 2 2

2

2

)
2 2

B.a +b =2|ab| D.a +b >2|ab|
2 2 2 2

解析:选 A ∵a +b -2|ab|=(|a|-|b|) ≥0,∴a +b ≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时, 等号成立). 1 1 1 2.已知实数 a,b,c 满足条件 a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,则 + + 的值(

a b c

)

A.一定是正数 C.可能是 0

B.一定是负数 D.正负不确定

解析:选 B 因为 a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,所以 a>0,b<0,c<0,且 a=-(b+c), 1 1 1 1 1 1 所以 + + =- + + , a b c b+c b c 因为 b<0,c<0,所以 b+c≤-2 bc, 所以- 1 1 1 1 ≤ ,又 + ≤-2 b+c 2 bc b c 1 1 1 1 + + ≤ -2 b+c b c 2 bc 1 1

bc



所以-

3 =- <0,故选 B. bc 2 bc

3.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 小值为( A.0 C.2 解析:选 D 由题意,知 ?
?a+b=x+y, ? ? ?cd=xy,

a+b cd

2

的最

) B.1 D.4 所以

a+b cd

2



x+y xy

2



x2+y2+2xy = xy

x2+y2 +2≥2+2=4,当且仅当 x=y 时,等号成立. xy
4.设 a,b 是实数,且 a+b=3,则 2 +2 的最小值是( A.6 C.2 6
a b a b

)

B.4 2 D.8

解析:选 B ∵a,b 是实数,∴2 >0,2 >0,

- 10 - / 12

于是 2 +2 ≥2

a

b

2 ·2 =2 1

a

b

2

a+b

3 3 =2 2 =4 2,当且仅当 a=b= 时取得最小值 4 2. 2

5.当 x>1 时,不等式 x+ 解析:x+ 1

x-1

≥a 恒成立,则实数 a 的最大值为________.
min x-1? ?

x-1

≥a 恒成立??x+

? ?

1 ?

≥a,

∵x>1,即 x-1>0, ∴x+ 1 1 =x-1+ +1≥2 x-1 x-1 1

x-

1 +1=3, x-1

当且仅当 x-1=

x-1

,即 x=2 时,等号成立.

∴a≤3,即 a 的最大值为 3. 答案:3 6.若正数 a,b 满足 a+b=1,则 解析:由 a+b=1,知 1 1 + 的最小值为________. 3a+2 3b+2 3b+2+3a+2 a+ b+ = 7 ?a+b?2 ,又 ab≤? ? 9ab+10 ? 2 ?

1 1 + = 3a+2 3b+2

1 1 49 7 4 = (当且仅当 a=b= 时等号成立),∴9ab+10≤ ,∴ ≥ . 4 2 4 9ab+10 7 4 答案: 7 7.某厂家拟在 2016 年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的 年产量)x(单位:万件)与年促销费用 m(m≥0)(单位:万元)满足 x=3-

k

m+1

(k 为常数),如果

不举行促销活动, 该产品的年销售量是 1 万件. 已知 2016 年生产该产品的固定投入为 8 万元, 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成 本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将 2016 年该产品的利润 y(单位:万元)表示为年促销费用 m 的函数; (2)该厂家 2016 年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大? 解:(1)由题意,可知当 m=0 时,x=1,∴1=3-k,解得 k=2,∴x=3- 8+16x 又每件产品的销售价格为 1.5× 元, 2 , m+1

x

8+16x? ? ∴y=x?1.5× ?-(8+16x+m)=4+8x-m

? ? ?

x

?

=4+8?3-

m+1? ?

2 ?

-m

- 11 - / 12

=-?

? 16 + m+ ?m+1
16

?+29(m≥0). ? ?
16

(2)∵m≥0,

m+1

+(m+1)≥2 16=8,当且仅当

m+1

=m+1,即 m=3 时等号成立,

∴y≤-8+29=21,∴ymax=21. 故该厂家 2016 年的促销费用为 3 万元时,厂家的利润最大,最大利润为 21 万元.

1? 1 ? 8.已知 k> ,若对任意正数 x,y,不等式?3k- ?x+ky≥ 2xy 恒成立,求实数 k 的最 2? 6 ? 小值. 解:∵x>0,y>0, 1? 1? ? ? ∴不等式?3k- ?x+ky≥ 2xy恒成立等价于?3k- ? 2? 2? ? ? 1? ? ∴?3k- ? 2? ? ∴2

x +k y

y 1 ≥ 2恒成立.又 k> , x 6

x +k y
1?

y ≥2 x

k?3k- ?, 2

? ?

1?

?

k?3k- ?≥ 2,解得 k≤- (舍去)或 k≥ , 2

? ?

?

1 3

1 2

1 ∴kmin= . 2

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