福建省泉州一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

泉州第一中学 2013-2014 学年高二下学期期末考试 数学(理)试题
时间 120 分钟
参考公式:

满分 150 分

? ?a ? ? bx ? ,其中 b ? (1)回归直线: y

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y = ? nx
2

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )
i

?x
i ?1

2

i

? (x
i ?1

? ? ? y ? bx ,a

? x)

2

(2)卡方统计量: K ?
2

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(3)独立性检验临界值表

P (K 2 ? k)
k

0.25 1.323

一、选择题(本题共有 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本题每小题 5 分,满 分 50 分.请将答案填写在Ⅱ卷上 ) ..........
2 1.若 C 2 n A 2 ? 42 ,则 Cn 的值为(

3

C

) (C)35
) D. a ? b ? a ? b

(A)6
A. a ? b ? a ? b

(B)7
B. a ? b ? a ? b

(D)20

2.设实 a, b 满足 ab ? 0 ,则下列不等式成立的是( B

C. a ? b ? | a | ? | b |

3.已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下,且 E(ξ )=6.3,则 a 的值为( A )。 A、4 B、5 C、6 D、7 ξ

a b

7
0.1

9 0.4 )

P

4. 测得四组 ( x, y ) 的值 (1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 5) 则 y 与 x 之间的回归直线方程为( A

(A) y ? x ? 1
5. ? ?

(B) y ? x ? 2
)

(C) y ? 2 x ? 1

(D) y ? x ? 1

?1 3? ? ? 1 1? ? ? ?? ? ? 结果是( ? 2 4? ? 0 4?

? 1 13 ? A. ? ? ? ? 2 18 ? ? ? ?

13 2 ? B. ? ? ?18 ? 2 ? ? ? ?

? 2 18 ? C. ? ? ? 2 13 ? ? ? ?

18 ? 2 ? D. ? ? ?13 2 ? ? ? ?

6.设随机变量 ? ~ N (0,1) ,记 ? ( x) ? P (? ? x) ,则 P (?1 ? ? ? 1) 等于 A.

( C



? (1) ? ? (?1) 2

B. 2? (?1) ? 1

C. 2? (1) ? 1

D. ? (1) ? ? (?1)

7.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是 0.8 .现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次至少 击中 3 次的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4, 5,6,7,8,9 表示击中目标;因为射击 4 次,故以每 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果.经随机 模拟产生了 20 组随机数: 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281
1

据此估计,该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( D A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.75



8. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a ,得 2 分的概率为 b ,不得分的概率为 c ( a 、 b 、

,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) ,则 ab 的最大值为( D c ? (0 ,1) ) A.



1 48

B.

1 24

C.

1 12

D.

1 6

9.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级:“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成 绩都不低于乙,且至少有一门成绩高于乙,则称“甲比乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一 位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同,数学成绩也相同的两位学生.那么这组学生最多有( B ) A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人

10. 以下四个命题,正确的是(

B



①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测 ,这样的 抽样是分层抽样。 ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1

? 平均增加 0.2 单位 ? ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y ③在回归直线方程 y
④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小, “X 与 Y 有关系”的把握程度越大 A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
2

二、填空题(本题共有 5 小题.请把结果直接填写在Ⅱ卷上 ,每题填对得 4 分,否则一律是零分.本题满 ............ 分 20 分.) 11.二项式 (1 ?

1 10 1 ) 的展开式中含 5 的项的系数是 2x x

?

63 8

12.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为___________。 【答案】 A ? {x ?

3 3 ?x? } 2 2

13 .把一枚硬币任意抛掷三次,事件 A= “至少一次出现反面” ,事件 B= “恰有一次出现正面” ,求 P(B|A)=

3 7

14.行列式

3 ?4

6? x x?5

的最大值是

5

15.甲、乙两队各有 n 个队员,已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 (同队的队员之 2 间不握手),从这 n 次的握手中任意取两次.记事件 A:两次握手中恰有 3 个队员参与.若事件 A 发生的 1 概率 P< ,则 n 的最小值是__________20___. 10 三、解答题(本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,并请将答案写在 ....... Ⅱ卷上 ) ... 16、 (本小题满分 13 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调 查了 500 位老人,结果如下:

2

是否需要志愿者 需要 不需要

男 50 200

女 25 225

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 1% 的 前 提 下 认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老 年人的比例?说明理由。 解: (1)调查的 500 位老年人中有 75 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的 比例的估计值为

75 ? 15% . ???????????????????????????????4 分 500

500 ? (50 ? 225 ? 25 ? 200) 2 500 (2) K ? ? ? 6.635 ?????????????????9 分 250 ? 250 ? 75 ? 425 51
2

所以在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 1% 的 前 提 下 认 为 该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.???11 分 (3)由于(2)的结论知,该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区 男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 ,因此在调查时,先确定该地区老年人中男 ,女的比 例,再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. ???????13 分

17、 (本小题满分 13 分)我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级 PM2.5 日均值 (微克/立方米) 2 3 4 6 7 8 8 4 3 7 2 2 1 5 8

m ? 35
35 ? m ? 75

一级 二级 超标

m ? 75

某市环保局从 180 天的市区 PM2. 5 监测数据中, 随机抽取 l0 天的数据作为样本, 监测值如茎叶图所示(十 位为茎,个位为叶). (I)求这 10 天数据的中位数. (II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,记? 为这 180 天空气质量达到一级的 天数,求? 的均值.
3

解:(I)10 天的中位数为(38+44)/2=41(微克/立方米)???????????????????2 分 (II)由 N ? 10, M ? 4, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3 利用 P (? ? k ) ?
k 3? k C4 ? C6 (k ? 0 , 1 , 2 , 3) 即得分布列: 3 C10

?
P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30
?????????????????10 分

(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为

2 2 2? ? ,由? ~ B ? 180, ? , 得到 E? ? 180 ? ? 72 (天) , 5 5 5? ?

一年中空气质量达到一级的天数为 72 天. ????????????????????????13 分

18、 (本小题满分 13 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?
?1 2 ? ?. ? ?1 4 ?

(Ⅰ ) 求 A 的逆矩阵 A?1 ; 解:(Ⅰ )

(Ⅱ )求矩阵 A 的特征值 ?1 、 ?2 和对应的特征向量 ?1 、 ? 2 .

det A ?

1

2

?1 4
1? ? ? 3 ?. 1 ? 6 ? ?

?6? 0,

???????????2 分

?2 ?3 ?1 ∴A ?? ?1 ? ?6

???????????5 分

(Ⅱ ) 矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ? 令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,

? ?1
1

?2

? ?4

? ? 2 ? 5? ? 6 ,

??????8 分

???????????????????????10 分

?2? 当 ?1 ? 2 时,得 ?1 ? ? ? , ?1 ? ?1? 当 ?2 ? 3 时,得 ? 2 ? ? ? . ?1?

???????????????????????????13 分

19. (本小题满分 13 分)某电视台举办猜歌曲的娱乐节目:随机播放歌曲片段,选手猜出歌曲名称可以赢 取奖金. 曲库中歌曲足够多,不重复抽取. 比赛共分 7 关:前 4 关播放常见歌曲;第 5,6 关播放常见或罕 见歌曲,曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为 1:4;第 7 关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表 所示.选手在通过每一关(最后一关除外)之后可以自主决定退出比赛或继续闯关;若退出比赛,则可获 得已经通过关卡对应奖金之和;若继续闯关但闯关失败,则不获得任何奖金.

关卡
4

关卡奖金/元

累计奖金/元

(Ⅰ)选手甲准备参赛,在家进行自我测试:50 首常见歌曲,甲 能猜对 40 首;40 首罕见歌曲,甲只能猜对 2 首,以他猜对常见歌 曲与罕见歌曲的频率为概率. ①若比赛中, 甲已顺利通过前 5 关, 求他闯过第 6 关的概率是多少? ②在比赛前,甲计划若能通过第 1,2,3 关的任意一关,则继续; 若能通过第 4 关,则退出,求这种情况下甲获得奖金的数学期望; (Ⅱ)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p,且他已经顺利通过前 6 关,当 p 满足什么条件时,他选择继续闯第 7 关更有利?

1 2 3 4 5 6 7

1000 2000 3000 4000 8000 12000 20000

1000 3000 6000 10000 18000 30000 50000

解: (1)①他能闯过第 6 关的概率是 ?

1 40 4 2 1 ? ? ? 5 50 5 40 5
10000

???????????4 分

②设甲获得的奖金为 X 元,其分布列为

X
P

0

?4? 1? ? ? ?5?

4

?4? ? ? ?5?

4

4 ? ? 4 ?4 ? ?4? ? EX ? 0 ? ?1 ? ? ? ? ? 10000 ? ? ? ? 4096 ?5? ? ? ?5? ? ?

???????????9 分

(Ⅱ)若他通过前 6 关退出比赛可获奖金 30000 元 设他继续闯第 7 关,可获奖金 Y 元,则 Y 的分布列为 0 50000 Y P

1? p

p
???????????11 分

? EY ? 50000 p
令? EY ? 50000 p ? 30000 ,解得 p ? 即p?

3 5
???????????13 分

3 时,他选择继续闯第 7 关更有利 5

20、 (本小题满分 14 分)选修 4-5:不等式选讲 (1) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 , 若不等式 2m ? 3 ? m ? 3 ? m ? f ( x) 对任意 m ? R 且 m ? 0 恒成

立,求 x 的取值范围. (2)对于 x∈R,不等式|x-1|+|x-2|≥ a 2+ b 2+ c 2 恒成立,试求 a +2 b +3 c 的最大值。
解 :( 1 ) 不 等 式 2m ? 3 ? m ? 3 ? m ? g ( x) 对 任 意 m ? R 且 m ? 0 恒 成 立 转 化 为

5

g ( x) ?

| 2m ? 3 | ? | m ? 3 | 对任意 m ? R 且 m ? 0 恒成立。 |m| | 2m ? 3 | ? | m ? 3 | ? 3 所以 g ( x) ? 3 |m|

????????? 2 分

因为 | 2m ? 3 | ? | m ? 3 |?| 3m | ?

????????? 4 分

所以解不等式: | x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? 3

1 ? ? 1 ?x ? 2 ?x ? ? ?? ? x ? 2 ,或 ? 2 ,或 ? 2 ? ? x ? 2 ? (2 x ? 1) ? 3 ? ? ?2 ? x ? (2 x ? 1) ? 3 ?2 ? x ? (2 x ? 1) ? 3
得 x ? ??

????????? 6 分

? 2 ? ,0 ? 3 ? ?

????????? 7 分 ??????????? 9 分 ??????????? 10 分

(2)| x -1|+| x -2|=| x -1|+|2- x |≥| x -1+2- x |=1 , 当且仅当( x -1) (2-x)≥0 取等号,故 a 2+ b 2+ c 2≤1. 由柯西不等式 ( a +2 b +3 c )2 ≤(12+22+32)( a 2+ b 2+ c 2) ≤14.

????????????12 分



?a b c ? ? ? ?1 2 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ?

?

?b ? 2a, c ? 3a ? , ? 2 1 a ? ? ? 14

即取 a ?

14 14 3 14 ,b ? ,c ? 时等号成立.故( a +2 b +3)max= 14 . ????????? 14 分 14 7 14

21.(本小题满分 14 分)

2 已知函数 f ( x) ? ln x ? 1 ? ax ;

(Ⅰ)若 a ?

2 ,且函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1, ?? ? ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; 3

(Ⅱ)若 a ? 0 ,求证: f ( x) ? x ? 1 ? 1 ;

6

(Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 的图像在原点 O 处的切线为 l ,试探究:是否存在实数 a ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上存在点在直线 l 的上方?若存在,试求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

7

令 f '( x) ? 0 , 因为 x ? ?1 ,所以 (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 所以函数 f ( x) 的递增区间为 (?1, ) .????4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? 1 , 不等式 f ( x) ? x ? 1 ? 1 即 ln x ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 , ????5 分 令 t ? x ? 1 ,则 t ? 0 , 此时不等式 ln x ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 等价于不等式 ln t ? t ? 1 ? 0(t ? 0) . 令 ? (t ) ? ln t ? t ? 1 ,则 ? '(t ) ? ? 1 ? 令 ? '(t ) ? 0 ,得 t ? 1 .

1 , 2

1 2

1 t

1? t . ????7 分 t

? (t ), ? '(t ) 随 t 的变化情况如下表
t
(0,1)

1
0 极大值 0

(1, ??)

? '(t )

?
递增

?
递减

? (t )

由表可知,当 t ? 0 时, ? (t ) ? ? (1) ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 . 所以 f ( x) ? x ? 1 ? 1 成立. ????9 分 (Ⅲ)当 x ? ?1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax , f '( x) ?
2

1 ? 2ax , x ?1

所以直线 l 的斜率 k ? f '(0) ? 1 , 又 f (0) ? 0 ,所以直线 l 的方程为 y ? x . 令 g ( x) ? ln x ? 1 ? ax ? x ,则命题“函数 y ? f ( x) 的图象上存在点在直线 l 的上
2

方”可等价转化为命题“存在 x ? (??, ?1)

(?1, ??) ,使得 g ( x) ? 0 .”??10 分

8

1 ? 2ax ? 1 , x ?1 1 ? 2ax ? 1 , 当 x ? ?1 时, g ( x) ? ln(? x ?1) ? ax2 ? x , g '( x) ? x ?1
当 x ? ?1 时, g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? x , g '( x) ? 所以,对 x ? (??, ?1)

(?1, ??) ,都有

x
g '( x )

1 ?2ax( x ? 1 ? ) ?2ax2 ? (2a ? 1) x 2a . ??11 分 g '( x) ? ? x ?1 x ?1 2a ? 1 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? ? . 2a 2a ? 1 ? ?1 , g ( x), g '( x) 随 x 的变化情况如下表: ①当 a ? 0 时, ? 2a 1 1 1 (?1, 0) (??, ?1 ? ) ?1 ? (?1 ? , ?1) 0 2a 2a 2a
+ 递增 又因为 g (?1 ? 0 极大值 - 递减 + 递增 0 极大值

(0, ??)
- 递减

g ( x)

1 1 1 ) ? ln ? ? a, g (0) ? 0 , 2a 2a 4a

所以, 为使命题 “存在 x ? (??, ?1) 使 得

(?1, ??) ,

g ( x) ? 0 . ” 成 立 , 只 需

1 1 1 ) ? ln ? ?a ?0. 2a 2a 4a 1 1 1 1 ) ? ln t ? t ? , 令t ? ,则 g (?1 ? 2a 2a 2 2t 1 1 令 h(t ) ? ln t ? ? t (t ? 0) , 2t 2 1 1 1 因为 h '(t ) ? ? 2 ? ? 0 ,所以 h(t ) 在 (0, ??) 上为增函数, t 2t 2 g (?1 ?
又注意到 h(1) ? 0 , 所以当且仅当 t ?

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, h(t ) ? 0 , 2a 2 1 1 ? 1? ? ? a ? 0 的解集为 ?a 0 ? a ? ? ;????13 分 2a 4a 2? ?

故关于 a 的不等式 ln

②当 a ? 0 时,因为存在 x ? ?e ? 1 使得 g (?e ?1) ? e ? 2 ? a(e ? 1)2 ? 0 恒成立,

9

10


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