2014届高中数学学业水平考试模拟卷(8)

高中数学学业水平模拟考试训练试卷(八)2014.3
一、填空: (每小题 3 分,共 42 分)

2n 2 ? 3n ? 1 1.计算: lim = ; n ?? n2 ? 2 x 2 x ?3 2.若 C 9 ? C 9 ,则正整数 x ? ; 3 3.已知 sin(? ? ? ) ? ,且 ? 第四象限的角,则 cos( ; ? ? 2? ) 的值是 5 4.直线 l1 : y ? mx ? 1 ,直线 l 2 的方向向量为 a ? (1,2) ,且 l1 ? l 2 ,则 m ?
5.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的: 3 5 8 x 9 15



lg x

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c
=
2

4a ? 2b


3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为: lg

6.已知过点 P(?2, 0) 的双曲线 C 与椭圆 方程是 ;
2

x y ? ? 1 有相同的焦点,则双曲线 C 的渐近线 25 9

2

7 .已知命题“存在 x ? R ,使得 x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围 是 ; 8.设函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ( x) ,若函数 y ? f ( x) 的图像过点 (1,0) ,则函数 ; y ? f (3x ? 1) 的图像必过点 9.张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见, 首尾一定要排两位爸爸, 同时两位小孩一定要排在一起, 则这 6 人的入园顺序共有 种 不同的排法; 10.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60° ,则该 截面的面积是 ; 11 . 设 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( 2? x ) ? f ( 2 ? x, ) 又 f ( x) 在 [2, ??) 是 减 函 数 , 且 ; f (a) ? f (0) ,则实数 a 的取值范围是
?1 ?1

1 4
12.将正整数按右表排列:

2 3 8

5 6 7

10 17 ? 11 18 ? 12 19 ? 20 ? 21 ?
; ,位于对角线位置的正整数 1,3,

9

16 15 14 13 25 24 23 22

? ? ? ? ? ? 7,13,21,??,构成数列 {a n } ,则通项 a n ?

13.给出如下四个命题:①有三个角是直角的四边形一定是矩形;②不共面的四点可以确定 四个平面; ③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线; ④若点 A、 B、 C ? 平面 M , 且点 A、B、C ? 平面 N ,则平面 M 和平面 N 重合.其中真命题的序号是 (请 将所有真命题的序号都填上) . 14 .对任意 x ? R ,若关于 x 的不等式 ax ? x ? 2a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围
2

是 . 二、选择: (第小题 3 分,共 18 分)

15.若集合 M ? y y ? x ? 1 , N ? ( x, y ) x ? y ? 1 ,则 M ? N 中元素的个数是(
2 2

?

?

?

?



1

A.0

B.1

C.2

16. 若 A、 B、 C 为△ABC 的三个内角, 且 A ? B ? C (C ?

则下列结论正确的是 ( ) ), 2 A. sin A ? sin C B. cot A ? cot C C. tan A ? tan C D. cos A ? cosC 17 . 已知命题 P : “关于实数 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m 有解” ,命题 Q : “函数 x f ( x) ? (7 ? 3m) 为减函数” ,则 P 是 Q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 18.如图所示,一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底 角为 45? ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面 积为( )
y'

?

D.多个

2 A. 1 ? 2 D. 2 ? 2

1? 2 B. 2

O'

x'

C. 1 ? 2

(18 题图)

19.已知函数 f ? x ? ? cos x sin x ? x ? R ? ,给出下列四个命题: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ;

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② f ? x ? 的最小正周期是 2? ;

③ f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上是增函数; ④ f ? x ? 的图像关于直线 x ? 对称. 4 ? 4 4? 其中真命题的序号是( ) A.①②④ B.①③ C.②③ D.③④
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? ? ??

3?

20. 已知 a 是平面内的单位向量, 若向量 b 满足 b ? ( a ? b ) ? 0 , 则 b 的取值范围是 (



A. [0,1] B. [?1,1] C. [0,2] D. (0,1) 三、解答: (共 60 分) 21. (本题满分 10 分)已知 ?ABC 的三条边长为 AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 ,分别以三边所 在的直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积. 22. (本题满分 12 分)已知 a ? 0 , z ? 的差为

a ?i ,复数 u ? z ( z ? i) 的虚部减去它的实部所得 1? i

3 ,求复数 u 的模. 2
n

23. (本题满分 12 分,第(1)小 6 分,第(2)小题 6 分)

? 1 ? 已知 ? ?x? 3 ? ? 二项展开式的各项系数和为 256. x? ?
(1)求该展开式中的常数项; (2)若该展开式中 x 的系数与 ( x cos? ? 2) 展开式中 x 的系数相等,求 cos? 的值. 24. (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)
4

7

2

3 1 ? a ? a ? bn ?1 ? 1 n n ? 1 ? ? 4 4 已知数列 {a n } 、 {bn } 满足 a1 ? 2, b1 ? 1 ,且 ? ( n ? N , n ? 2) 1 3 ?b ? a ? b ? 1 n n ?1 n ?1 ? ? 4 4 (1)令 c n ? a n ? bn ,求数列 {c n } 的通项公式;
(2)求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和公式 S n . 25. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 对 于 两 个 定 义 域 相 同 的 函 数 f ( x) 、 g ( x) , 如 果 存 在 实 数 m 、 n 使 得
2

h( x) ? m ? f ( x) ? n ? g ( x) ,则称函数 h( x) 是由“基函数 f ( x) 、 g ( x) ”生成的. 2 (1)若 f ( x) ? x ? x 和 g ( x) ? x ? 1 生成一个偶函数 h( x ) ,求 h(?1) 的值; (2)给定实系数基函数 f ( x) ? k1 x ? b1 , g ( x) ? k 2 x ? b2 (k1k 2 ? 0) ,问任意一个一次函数 h( x) 是否都可以由它们生成?请给出你的结论,并说明理由.
参考解答:

3 1 ? 2 n n ? 2?0?0 ? 2. 1.2 ;原式 lim n ?? 2 1? 0 1? 2 n 2.3 或 4 ;由 x ? 2 x ? 3 或 x ? (2 x ? 3) ? 9 ,得 x ? 3 或 4. 4 3 4 4 3. ;由已知, sin ? ? ? ,且 ? 第四象限的角,得 cos? ? ,原式 ? cos? ? . 5 5 5 5 1 1 4.? ;由 l1 ? l 2 ,知 a ? (1,2) 与 l1 的法向量平行,即 (m,?1) ? ? (1,2) ? m ? ? ? ? . 2 2 5. lg 15 ? 3a ? b ? c ;经验证,知 lg 9 ? 2 lg 3 ? 4a ? 2b, lg 8 ? 3 lg 2 ? 3(1 ? lg 5) 成立, 但 lg 15 ? lg 3 ? lg 5 不成立,改正为: lg 15 ? 3a ? b ? c . 2?
x2 y2 4 0 ? ? 1 ,由 2 ? ? 1 ? a 2 ? 4 ,则双 2 2 a 16 ? a a 16 ? a 2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,由 ? ? 0 ? 3x ? y ? 0 为所求渐近线方程. 曲线 C 的方程为 C : 4 12 4 12 2 2 7.(??,?1) ? (3,??) ; 不等式 x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 在 R 上的解, 知 ? ? (1 ? a) ? 4 ? 0 , 解得 a 的取值范围为 (??,?1) ? (3,??) . 1 1 ?1 8. ( ,1) ;由 f (1) ? 0 ? f (0) ? 1 ,且 3x ? 1 ? 0 ? x ? ,得 y ? f (3x ? 1) 的图像 3 3 1 必过点 ( ,1) . 3
6. 3x ? y ? 0 ;设双曲线 C : 9.24 ;先排两位爸爸,再将两位小孩捆梆在一起(自排序) ,当作一个人,与两位妈妈全 排列,可得排法总数为 P2 ? P2 ? P3 ? 24 .
2 2 3

10. ?

截面所成的角,即 ?OAO1 ? 60? ,则半径 r ? 2 ? cos 60? ? 1 ,得截面的面积为 ? .

;设截面圆的半径为 r ,圆心 O1 为直径 AB 的中点,由已知, ?OAO1 为 OA 与该

11. 0 ? a ? 4 ;由已知,函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称,得 f (0) ? f (4) ,又

y ? f ( x) 在 [2, ??) 是减函数,且 f (a) ? f (0) ,结合图像可知, 0 ? a ? 4 .
2 12. n ? n ? 1 ;由 1 ? 1 ? 0 ? 1,3 ? 1 ? 1? 2,7 ? 1 ? 2 ? 3,? ,归纳得 a n ? 1 ? n(n ? 1) .

13.② ;正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中的四边形 ABC1 D1 有三个角为直角,但为空间四边 形,①假;不共面的四点中任意三点都不共线,均可确定一个平面,②真;矩形 ABCD 中, 任意三点都不共线,但四点共面,③假;当点 A、B、C 位于平面 M 和 N 的交线时,④假. 14.?

x x ? 2 ? ;原不等式化为 a ? 2 恒成立,令 f ( x) ? 2 ,则 a ? f ( x) m ,?? ? a x .① ? x ?2 x ?2 ? 4 ?
1 x? 2 x ? 2 ,当且仅当 x ? 2 时取等 4

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ;②当 x ? 0 时, f ( x ) ?

3

号,则 f ( x) max ?

2 2 ,∴ a ? . 4 4

15.A ;集合 M 为数集,而集合 N 为点集,则 M ? N 中元素的个数是 0 个.

sin C c ? >1 ∴sinC>sinA. sin A a 17.B ;由 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 ? 1 ? 1 (当且仅当 1 ? x ? 2 时取等号) ,知命题 P 为真,
16.A ;∵A<C ∴a<c ∴

7 则 m ? A ? (1,??) ;由命题 Q 为真,则 m ? B ? (2, ) ,又 B ? ? A ,知 P 是 Q 成立的必要 3
不充分条件. 18.D ;原图形为直角梯形,其中上底为 1,下底为 1 ? 2 ,高为 2,则面积为

(1 ? 1 ? 2 ) ? 2 ? 2? 2 . 2 1 2? ? ? ? ? 19. D ;f ( x) ? sin 2 x 最小正周期 T ? ②错; 在 2 x ? [? , ] ? x ? [? , ] ?? , 2 2 2 2 4 4 上为增函数, ③正确; ; 为奇函数, 由 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ? f (? x2 ) ? x1 ? ? x2 ? k? (k ? Z ) , 3? 3? 1 3? 1 ①错;又 f ( ) ? sin 对称,④正确. ? ? ,知 f ? x ? 的图像关于直线 x ? 4 4 2 2 2 S?
20. A ; 由已知, 得 a ? b ? b ? a b cos? ? b ? b ? 0 或 b ? cos? ? [0,1] , 综上得 b 的范围是[0,1]; 21.以 AC 为轴,所得旋转体的表面积为 S AC ? ? ? 4 ? 5 ? ? ? 4 ? 36?
2

2

2

-------3 分 -------6 分

以 BC 为轴,所得旋转体的表面积为 S BC ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? 3 ? 24?
2

12 84 -------10 分 ? (3 ? 4) ? ? 5 5 a ? i ? a ? i ? a ? i a ? 1 (a 2 ? a) ? (a ? 1)i a ? 1 a 2 ? a ? i? ? ? ? ? ? i ----6 分 22. u ? ? 1? i ? 1? i ? 2i 2 2 ? 1? i 1? i a2 ? a a ?1 3 ? ? ,得 a 2 ? 4 . 由已知, -----------------------8 分 2 2 2 3 又 a ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 u ? ? 3 ? i . ---------------------10 分 2 3 2 3 2 5. 则 u ? ( ) ?3 ? ---------------------12 分 2 2 n 23. (1)由已知,得 2 ? 256 ? n ? 8 , -------------2 分 4 8 ? r 1 r r 8? r ) ? C8r x 3 , 于是展开式的通项为 Tr ?1 ? C8 x ( 3 x 4 由 8 ? r ? 0(0 ? r ? 8) ,得 r ? 6 --------------4 分 3 6 则展开式中的常数项为 T7 ? C8 ? 28 --------------6 分 4 3 4 (2)由(1)得 8 ? r ? 4(0 ? r ? 8) ? r ? 3 ,知 x 的系数为 C8 ? 56 ------8 分 3 5 2 5 2 7 又 ( x cos? ? 2) 展开式中 x 的系数为 C 7 cos ? ? 2 -------------10 分
以 AB 为轴,所得旋转体的表面积为 S AB ? ? ?

4

1 3 -------------12 分 ? cos? ? ? 12 6 24. (1)由已知得 a n ? bn ? (a n ?1 ? bn ?1 ) ? 2(n ? 2) ,即 c n ? c n ?1 ? 2(n ? 2) ---2分
则 C 7 cos ? ? 2 ? 56 ? cos ? ?
5 2 5 2

知数列 {c n } 是首项为 c1 ? a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列 则通项公式为 c n ? 2n ? 1 . (2)由已知得 a n ? bn ?

-----------4分 -----------5分

1 -----------6分 (a n?1 ? bn?1 )( n ? 2) 2 1 令 d n ? a n ? bn ,则 d n ? d n ?1 (n ? 2) . 2 1 1 知 {d n } 是首项为 d1 ? a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数列,则 d n ? n ?1 -------8分 2 2 ? an ? bn ? 2n ? 1, 1 1 ? 由? 解得 a n ? n ? n ? ---------10分 1 2 2 an ? bn ? n ?1 ? ? 2
1 n2 ? ? n ?1 . 2n 2 2 25. (1)令 h( x) ? m ? f ( x) ? n ? g ( x) ? mx ? (m ? n) x ? n 由 h( x ) 为偶函数,得 m ? n ? 0 ? m ? ?n
可得 Sn ? ? 则 h( x) ? ?nx ? n ? h(?1) ? ?n ? n ? 0
2

---------12分 --------2 分 --------4 分 --------6 分

(2)假设一次函数 h( x) ? kx ? b 可以由 f ( x) 、 g ( x) 生成, 则 kx ? b ? m(k1 x ? b1 ) ? n(k 2 x ? b2 ) ,即 ? 令D ?

? k1 m ? k 2 n ? k (*)对实数 m 、 n 有解---- 9 分 ? b1 m ? b2 n ? b k b
--------- 11 分

k1 b1

k2 b2

, Dx ?

k

k2

b b2

, Dy ?

k1 b1

当 D ? 0 时,方程组(*)有唯一解,此时 h( x ) 可以由 f ( x) 、 g ( x) 生成 当 D ? 0 时,即 k1b2 ? k 2 b1 ? 0 ,

若 Dx ? D y ? 0 ,则(*)有无穷解,此时 h( x ) 可以由 f ( x) 、 g ( x) 生成; 若 D x ? 0 或 D y ? 0 ,则(*)无解,此时 h( x ) 不能由 f ( x) 、 g ( x) 生成.-------- 13 分 综上,存在某个一次函数 h( x ) 不能由 f ( x) 、 g ( x) 生成. --------- 14 分

5


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