2019届高三数学人教版一轮训练:第三篇第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含解析

第三篇 三角函数、解三角形(必修 4、必修 5) 第 1 节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

【选题明细表】

知识点、方法

题号

象限角、终边相同的角

1,6,12

弧度制、扇形弧长、面积公式

3,5,9,15

三角函数的定义

4,8,11,13

综合应用

2,7,10,14

基础巩固(时间:30 分钟)

1.下列命题中正确的是( D )

(A)终边在 x 轴负半轴上的角是零角

(B)第二象限角一定是钝角

(C)第四象限角一定是负角

(D)若β =α +k·360°(k∈Z),则α 与β 终边相同 2.若 cos θ <0,且 sin 2θ <0,则角θ 的终边所在的象限是( B )

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:由 sin 2θ =2sin θ cos θ <0,cos θ <0,得 sin θ >0, 所以角θ 的终边所在的象限为第二象限.

故选 B.

3.如果一扇形的弧长为π ,半径等于 2,则扇形所对圆心角为( C )

(A)π (B)2π (C) (D) 解析:因为一扇形的弧长为π ,半径等于 2,所以扇形所对圆心角为α ==. 故选 C. 4.(2017·南充三模)若角α 的终边经过点 P0(-3,-4),则 tan α 等于( A ) (A) (B) (C)- (D)解析:根据题意,角α 的终边经过点 P0(-3,-4), 则 tan α ==, 故选 A. 5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α ∈(0,π )的 弧度数为( C ) (A) (B) (C)(D)2 解析:设圆半径为 r,则其内接正三角形的边长为 r,由题 r=α ·r,所以α =.故选 C.

6.若α 是第三象限角,则 y= + (A)0 (B)2 (C)-2 (D)2 或-2 解析:因为α 是第三象限角, 所以 2kπ +π <α <2kπ +π (k∈Z),

的值为( A )

所以 kπ +<<kπ + (k∈Z), 所以是第二象限角或第四象限角.

当是第二象限角时,y= - =0,

当是第四象限角时,y=- + =0,故选 A. 7.(2017·潍坊一模)下列结论中错误的是( C ) (A)若 0<α <,则 sin α <tan α (B)若α 是第二象限角,则为第一象限角或第三象限角 (C)若角α 的终边过点 P(3k,4k)(k≠0),则 sin α = (D)若扇形的周长为 6,半径为 2,则其圆心角的大小为 1 弧度

解析:若 0<α <,则 sin α <tan α = ,故 A 正确; 若α 是第二象限角,即α ∈(2kπ +,2kπ +π ),k∈Z,则∈(kπ +,kπ +),为第一象 限角或第三象限角,故 B 正确;

若角α 的终边过点 P(3k,4k)(k≠0),则 sin α = 正确;

=,不一定等于,故 C 不

若扇形的周长为 6,半径为 2,则弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为=1 弧度,

故选 C.

8.函数 y=

的定义域为.

解析:作直线 y= 交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,因为 sin x≥ ,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终边的范围,故满足条件的角 x 的集合为

{x︱2kπ +≤x≤2kπ + ,k∈Z}.

答案:[2kπ +,2kπ + ],k∈Z 9.(2017·平罗县月考)已知扇形的周长为 20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角 的弧度数为. 解析:因为扇形的周长为 20,所以 l+2r=20,即 l=20-2r, 所以扇形的面积

S=lr= (20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25, 所以当半径 r=5 时,扇形的面积最大为 25,此时,α =2(rad). 答案:2

10.函数 y= +

的定义域是.

解析:要使函数有意义,需

解得

(k∈Z)

即 2kπ +≤x≤2kπ +π (k∈Z),

答案:[2kπ +,2kπ +π ],(k∈Z)

能力提升(时间:15 分钟)

11.(2017· 洛 阳 二 模 ) 已 知 角 α 的 始 边 与 x 轴 非 负 半 轴 重 合 , 终 边 在 射 线

4x-3y=0(x≤0)上,则 cos α -sin α =.

解析:角α 的始边与 x 轴非负半轴重合,终边在射线 4x-3y=0(x≤0)上,

不妨令 x=-3,则 y=-4,所以 r=5, 所以 cos α ==-,sin α ==-, 则 cos α -sin α =-+=. 答案:

12.(2017·长安区月考 )设角α 是第三象限角,且 角. 解析:角α 是第三象限角,则角是第二、四象限角,

=-sin, 则 角 是 第 象 限

因为 =-sin, 所以角是第四象限角. 答案:四 13.导学号 38486078 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位 置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到 圆心位于(2,1)时,的坐标为.

解析:如图,作 CQ∥x 轴,PQ⊥CQ, Q 为垂足.根据题意得劣弧=2,故∠DCP=2,则在 △PCQ 中,∠PCQ=2-,

|CQ|=cos(2-)=sin 2, |PQ|=sin(2-)=-cos 2,

所以 P 点的横坐标为 2-|CQ|=2-sin 2,P 点的纵坐标为 1+|PQ|=1-cos 2,所以 P 点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故=(2-sin 2,1-cos 2). 答案:(2-sin 2,1-cos 2) 14.导学号 18702174 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角α 的始边与 x 轴的非负 半轴重合且与单位圆相交于 A 点,它的终边与单位圆相交于 x 轴上方一点 B,始边 不动,终边在运动.
(1)若点 B 的横坐标为-,求 tan α 的值; (2)若△AOB 为等边三角形,写出与角α 终边相同的角β 的集合; (3)若α ∈(0,π ],请写出弓形 AB 的面积 S 与α 的函数关系式. 解:(1)由题意可得 B(-,), 根据三角函数的定义得 tan α ==-. (2)若△AOB 为等边三角形, 则∠AOB=, 故与角α 终边相同的角β 的集合为 {β ︱β =+2kπ ,k∈Z}. (3)若α ∈(0,π ), 则 S 扇形=α r2=α , 而 S△AOB=×1×1×sin α =sin α , 故弓形 AB 的面积 S=S 扇形-S△AOB=α -sin α ,α ∈(0,π ]. 15.(2017·阜新县一中月考)已知扇形的圆心角是α ,半径为 R,弧长为 l.

(1)若α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)若α =,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 解:(1)l=10×=(cm).
(2)设弓形面积为 S 弓,由题知 l= cm,
S 弓=S 扇-S△=× ×2-×22×sin=( -)(cm2).


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