高一数学必修五不等式知识点总结,真题,精选题

教学部专用

知胜教育个性化教学专用教案

学生姓名: 备课时间: 年 月 日 授课时间: 年 月 日 至

科目:数学 讲次:第 讲 上课后,学生签字:

高一年级
授课教师:周老师 年月日

教学类型: ■强化基础型 □效率提升型
□专题总结型

□引导思路型 □单元测评型
□其它:

教学目标:不等式专题。

■错题讲析型 □综合测评型

□督导训练型 □应试指导型

一、不等关系及性质

?a ? b ? a ? b ? 0 比差法: ??a ? b ? a ? b ? 0
??a ? b ? a ? b ? 0

(通常是配方或因式分解等判定差的符号)

?

?对称性 : a ? b ? b ? a,

??基本性质:??传递性 : a ? b,b ? c ? a ? c

? ?

??移项法则:a ? b ? c ? a ? c ? b

不等式的性质: ??????????????运算性质:?????????????加乘乘倒法法方数、法????????aaaaa开则?????方:bbbbc,,,??a:ccca0????,a?b00dc?b?????c?d0?aaa0??cc,b?n??0?c1a??bbc??ccZb且ab1c?n?d?bd0 ? an ? bn

二、解不等式

1、一元一次不等式与线性规划

(1) ①若 ? ? 0, ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ?? x0, y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方.

②若 ? ? 0, ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ?? x0, y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方.
?线性约束条件 ? 可行域 (2)线性规划: ??线性目标函数(截距、斜率、距离)
??可行解 ? 最优解



2、一元二次不等式( a ? 0 ) 判别式 ? ? b2 ? 4ac

??0

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??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0

x ? ?b ? ? 2a

b x1 ? x2 ? ? 2a

没有实数根

? ? 一元二次 ax2 ? bx ? c ? 0
不等式的

x x ? x1或x ? x2

??x ?

x

?

?

b 2a

? ? ?

R

? ? 解集 ax2 ? bx ? c ? 0

x x1 ? x ? x2

?

?

含参问题,要会分类讨论。(二次项系数分类讨论、判别式分类讨论、比根)

3、均值不等式

?

?a、b ? R, a2 ? b2 ? 2ab

(1) ???a、b ? R? , a ? b ? 2 ab

,(当且仅当 a ? b 时成立等号),

? ???a、b ?

R? , ab

?

(a

? 2

b)2

?

a2

? 2

b2

?和定,积最大;积定,和最小。 ??一正二定三相等。(特别留意等号成立的条件)

扩展: 2ab ? ab ? a ? b ? a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时成立等号).

a?b

2

2

(2)对勾函数 y ? x ? k , (k ? 0) x

定义域 (??, 0) (0, ??) ,值域(-?,-2 k ] [2 k , ??) 奇函数 渐近线:直线 y ? x 和直线 x ? 0

拐点:(- k , -2 k ) ,( k , 2 k )

x

?

1 x



a b

?

b a



Ax2

? Bx Dx

?

C



Ax2

Dx ? Bx

?

C



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三、常见、常用结论:

1、(1)

?k ??k

? ?

f f

(x)恒成立 ? (x)恒成立 ?

k k

? ?

f f

( x)max ( x)min

(2)

?存在x使k ??存在x使k

? ?

f f

(x)成立 ? (x)成立 ?

k k

? ?

f f

( x) min ( x) max

2、(1) a、b 同号 ? ab ? 0 或 a ? 0 ;(2) a、b 异号 ? ab ? 0 或 a ? 0 ;

b

b

3、绝对值不等式

?| a b |?| a | | b |;

(1)????|

a b

|?

| |

a b

| |

,

(b

?

0)

(2)| a |? 0,| a |? a

(3)???||

a a

|? |?

a, a ? 0; ?a, a ? 0

(4)???||

a a

|? |?

b, b b, b

? ?

0 0

? ?

?b ? a ? b a ? ?b或a

?

b

(5)| a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b |

4、(1)

?x ? 0

x

?

a

?

??a

? ?

x

? ?

0 a2



?x ??a

? ?

0 0

(2)

?x ? 0

x

?

a

?

??a ?? x

? ?

0 a2



?x ??a

? ?

0 0



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基本不等式 1.基本不等式
(1) a2 ? b2 ? 2ab(a,b ? R) .

(2) ab ? a ? b (a ? 0,b ? 0) ,其中 a ? b 和 ab 分别叫做正数 a,b 的

2

2

数和 平均数.

平均

变式:(3) ab ? a2 ? b2 (a,b ? R) (4) ab ? (a ? b)2 (a,b ? R)

2

2

以上各不等式当且仅当 时取等号.

2.最值问题

设 x, y 都为正数,则有(1)若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 xy 取得最大



;(2)若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值

.

利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积 xy 最大值时,应

看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 最小值时,看积 xy 是否为定值;③等号是否能够

成立.

以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一.定.要.检. 验.等.号.是.否.能.取.到.,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他 方法.

常用到的一个不等式:若 a ? 0,b ? 0 ,则有

2ab ? ab ? a ? b ? a2 ? b2 .(当且仅当“a=b”取等号)

a?b

2

2

三、感受高考 1、(山东省乐陵一中 2009 届高三考前练习)下列结论正确的是___

A .当 x ? 0 且 x ?1时, lg x ? 1 ? 2 lg x

B.当x ? 0 时, x ? 1 ? 2 x

C.当 x ? 2 时, x ? 1 的最小值为 2 x

D. 0 ? x ? 2时, x ? 1 无最大值 x



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2.(2008 江苏卷 11).已知 x, y, z ? R? ,x ? 2y ? 3z ? 0 ,则 y2 的最小值



xz

3.(山东理科 16)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在

直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则 1 ? 2 的最小值为

.

mn

?3x ? y ? 6 ? 0 4.(2009 山东卷理)设 x,y 满足约束条件 ??x ? y ? 2 ? 0 ,
??x ? 0, y ? 0 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,
则 2 ? 3 的最小值为 ab

5.(2006 上海春)已知直线 l 过点 P( 2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于

A、B 两点, O 为坐标原点,则三角形 OAB面积的最小值为

.

6.(2006 陕西)已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实 数 a 的最小值为_________
7.(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)当 x>1 时,不等式 x+ 1 ≥a 恒成 x ?1
立,则实数 a 的取值范围是____________



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一、选择题:

不等式易错题及错解分析

1.设 f (x) ? lg x , 若 0<a<b<c,且 f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是(



A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1

2.设 x, y ? R,则使 x ? y ?1成立的充分不必要条件是( )

A

x? y ?1 B x ? 1或 y ? 1

2

2

C x ?1 D x<-1

3.不等式 (x ?1) x ? 2 ? 0 的解集是( ) A {x | x ? 1} B {x | x ? 1} C {x | x ? ?2且x ? 1} D {x | x ? ?2或x ? 1}

4.某工厂第一年的产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平均增

长率为 x,则( )

A x? a?b B x? a?b

2

2

C x? a?b D x? a?b

2

2

5.已知 ?1? a ? b ? 3且2 ? a ? b ? 4,则 2a+3b 的取值范围是( )

A (? 13 ,17) B (? 7 ,11) C (? 7 ,13) D (? 9 ,13)

22

22

22

22

6.若不等式 ax 2 +x+a<0 的解集为 Φ ,则实数 a 的取值范围(

A a≤- 1 或 a≥ 1

2

2

B a< 1 2

C - 1 ≤a≤ 1

2

2

) D a≥ 1 2

7.已知函数 y=㏒ 1 (3x 2 ?ax ? 5) 在[-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围( )
2
A a≤-6 B - 60 <a<-6 C -8<a≤-6 D -8≤a≤-6

8.已知实数 x、y、z 满足 x+y+z=0,xyz>0 记 T= 1 + 1 + 1 ,则( ) xyz

A T>0 B T=0 C T<0

D 以上都非

9 . f(x)= ︱ 2 x — 1 | , 当 a < b < c 时 有 f(a) > f(c) > f(b) 则 (



A a<0,b<0,c<0

B a<0,b>0,c>0

C 2 ?a <2 c D 2 a ?2 c <2



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10.已知实数 x、y 满足 x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)(

)

A.有最小值 1 ,也有最大值 1 C.有最小值 23 ,但无最大值
4

B.有最小值 3 ,也有最大值 1 4
D.有最大值 1,但无最小值

11.若 a>b>0,且 a ? m > a ,则 m 的取值范围是( ) b?m b
A. m?R B. m>0 C. m<0 D. –b<m<0

12.如果 log 1
2

x?? 3

?

log

1 2

? 2

那么

sin

x

的取值范围是(

A、

????

1 2

,

1 2

? ??

B、

????

1 2

,1???

C、

????

1 2

,

1 2

?? ?

?

?? ?

1 2

,1???



D、

? ?? ?

1 2

,

3 2

????

?

????

3 2

? ,1?
?

13.设 a ? 0,b ? 0, 则以下不等式中不.恒.成.立.的是





A. (a ? b)(1 ? 1) ? 4 ab

B. a3 ? b3 ? 2ab2

C. a2 ? b2 ? 2 ? 2a ? 2b

D. | a ? b | ? a ? b 新疆 王新敞 奎屯

14.如果不等式 x ? a ? x(a>0)的解集为{x|m≤x≤n},且|m-n|=2a,则 a 的值等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

15.数列{an}的通项式 an

?

n2

n ?

90

,则数列{an}中的最大项是(



A、第 9 项

B、第 8 项和第 9 项

C、第 10 项

D、第 9 项和第 10 项

16.若不等式 x ?1 ? x ? 2 > a 在 x ? R 上有解,则 a 的取值范围是

()

A. ?? 3,3?

B. ?? 3,3?

C. ?? ?,3?

D. ?? ?,?3?

17.已知 x1, x2 是方程 x2 ? (k ? 2)x ? (k 2 ? 3k ? 5) ? 0(k ? R) 的两个实根,则 x12 ? x2 2 的最大

值为( )

A、18

B、19

C、 5 5 9

D、不存在



二填空题: 1.设 a ? 0,b ? 0, b2 ? a2 ? 1,则 a 1? b2 的最大值为
2 2.若 x, y ? R?,且 x ? y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是

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3.已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z= (x ? 1)( y ? 1 ) 的最小值为



xy

4.若对于任意 x∈R,都有(m-2)x2-2(m-2)x-4<0 恒成立,则实数 m 的取值范围





5.不等式 ax 2 + bx + c>0 ,解集区间(- 1 ,2),对于系数 a、b、c,则有如下结论: 2
① a >0 ②b>0 ③ c>0 ④a + b + c>0 ⑤a – b + c>0,其中正确的结论的序号
是________________________________.

6.不等式(x-2) x2-2x-3 ≥0 的解集是



7 . 不 等 式 x 2 ? a 2 ? x ? 1 的 解 集 为 ( - ∞ , 0 ), 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _____________________。
8.若α ,β ,γ 为奇函数 f(x)的自变量,又 f(x)是在(-∞,0)上的减函数,且有α + β >0,α +γ >0,β +γ >0,则 f(α )+f(β )与 f(-γ )的大小关系是:f(α )+f(β ) ______________f(-γ )。
9.不等式|x+1|(2x-1)≥0 的解集为____________
10.设 x>1,则 y=x+ 2 的最小值为___________ x ?1
11.设实数 a,b,x,y 满足 a2+b2=1,x2+y2=3, 则 ax+by 的取值范围为_______________.
12.-4<k<o 是函数 y=kx2-kx-1 恒为负值的___________条件
13.函数 y= x2 ? 5 的最小值为_______________ x2 ? 4



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14.已知 a,b? R ,且满足 a+3b=1,则 ab 的最大值为___________________.

15.设函数 y ? k 2 ? 6x ? k ? 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是



A、 k ? 1或k ? ?9

B、 k ? 1

C、 ? 9 ? k ? 1

D、 0 ? k ? 1

16.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) ? 0 的解集为



17.已知实数 x,y 满足 x ? x ? y ,则 x 的取值范围是



y

18.若 x, y ? R ? ,且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是

19.已知实数 x, y满足 x ? x ? y,则x的取值范围是



y

20.已知两个正变量 x, y满足x ? y ? 4,则使不等式 1 ? 4 ? m 恒成立的实数 m 的取值范围 xy





21 . 已 知 函 数 ①

y ? x ? 4 ?x ? 0? ②
x

y

?

c os x

?

4 c os x

?0

?

x

?

? 2

?



y ? x ?13 x2 ?9



y

?

1 2

?1 ?

cot

x??1 ?

4

tan

x??0

?

x

?

? 2

? ,其中以

4

为最小值的函数个数是



22.已知 f ?x? 是定义在 ?0,??? 的等调递增函数, f ?xy? ? f ?x? ? f ?y?, 且 f ?2? ? 1 ,则不等式

f ?x? ? f ?x ? 3? ? 2 的解集为



23.(案中)已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为



一、选择题

数学必修 5 不等式 [提高训练组]

1.若 logx y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是( )

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A. 33 2 2

B. 23 3 3

C. 3 3 2

D. 2 2 3

2. a,b, c ? R? ,设 S ? a ? b ? c ? d , a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b
则下列判断中正确的是( )

A. 0 ? S ?1 B.1? S ? 2

C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4

3.若

x

? 1 ,则函数

y

?

x

?

1 x

?

16x x2 ?1

的最小值为(



A.16 B. 8

C. 4 D.非上述情况

4.设 b ? a ? 0 ,且 P ?

2 ,Q ? 2 , M ?

1 a2

?

1 b2

1?1 ab

ab , N ? a ? b , R ? 2

a2 ? b2 , 2

则它们的大小关系是(



A. P ? Q ? M ? N ? R

B. Q ? P ? M ? N ? R

C. P ? M ? N ? Q ? R

D. P ? Q ? M ? R ? N

二、填空题

1.函数 y ? 3x (x ? 0) 的值域是

.

x2 ? x ?1

2.若 a,b, c ? R? ,且 a ? b ? c ?1,则 a ? b ? c 的最大值是

3.已知 ?1 ? a,b, c ? 1,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1的大小关系为

.

4.若 a ? 0 ,则 a ? 1 ? a

a2

?

1 a2

的最大值为

.

5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz(x ? y ? z) ? 1,则 (x ? y)( y ? z)的最小值为______。

10

三、解答题

2

2

2

1. 设 a,b, c ? R? ,且 a ? b ? c ,求证: a3 ? b3 ? c3

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2.已知 a ? b ? c ? d ,求证: 1 ? 1 ? 1 ? 9 a?b b?c c?a a?d

3.已知 a,b, c ? R? ,比较 a3 ? b3 ? c3 与 a2b ? b2c ? c2a 的大小。

4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x2 ? y2 ? z2 ? 24

求证: 4 ? x ? 3, 4 ? y ? 3, 4 ? z ? 3

3

3

3

11

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一、选择题

1.若 ? 2x2 ? 5x ? 2 ? 0,则 4x2 ? 4x ?1 ? 2 x ? 2 等于( )

A. 4x ? 5

B. ? 3

C.3

2.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 (

D. 5 ? 4x )

A. 1 ? 1

B. 1 ? 1

ab

ab

3.a > b > 0, 下列不等式一定成立的是

C.a>b2 ()

D.a2>2b

A.a+ 1 ? b ? 1 B. c ? c

C. 2a ? b ? a

a

b

ab

a ? 2b b

4.如果实数 x,y 满足 x2+y2=1,则 xy 有 ( )

D. a ? b ? 2

A.最大值 1 和最小值 ? 1

2

2

B.最大值 1 和最小值-1 2

C.最大值 1 没有最小值

D.以上都不对

2

5.如果实数 x,y 满足 x2+y2=1,则(1-xy) (1+xy)有 ( )

A.最小值 1 和最大值 1 2

B.最大值 1 和最小值 3 4

C.最小值 3 而无最大值

D.最大值 1 而无最小值

4

6.如果 x2+y2=1,则 3x-4y 的最大值是 ( )

A.3

B. 1 5

C.4

D.5

ab ? 2ab a?b

7.函数

y

?

log

1 2

(x

?

1) x

,(x

>

0)的最大值是





A.-1

B.-2

C.-3

D.0

8.函数 y=log 1

(x+ 1 +1) x ?1

(x

>-1)的最大值是





2

A.-2

B.2

C.-3

9.不等式 lgx2<lg2x 的解集是 ( )

D.3

A.( 1 ,1) B.(100,+∞) C. ( 1 ,1)∪(100,+∞) D.(0,1)∪(100,+∞)

100

100

10.若不等式 x2-logax<0 在(0, 1 )内恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) 2

A. 1 ≤a<1 16

B. 1 <a<1 C.0<a≤ 1

16

16

D.0<a< 1 16

二、填空题

11.不等式组

?x ??x

? ?

?2 ?3

的负整数解是

.

12

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12.若方程 x2 ? (m ? 2)x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是 13.若不等式 0≤x2-ax+a≤1 有唯一解,则 a 的取值为

14.函数

y

?

1 x2

?

x2 的值域是

15.不等式 (x ? 3)(10 ? x) ? 0 的解集是 x 2 (x ? 1)

. .

三、求下列不等式的解集: 16、 x2 ? 2x ?1 ? 0

17、 ? 2x2 ? x ? 5 ? 0

. .

18、12x2 ?17x ? 20

19、 x2 ? x ? 2 ? 0

20、 (x ? 2)(x ?1)(x ?1) ? 0
三、解答题 21.求证: a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca . 22.求函数 y ? x2 ? 5 的最小值.
x2 ? 4
13

23.已知 a ? 2 ,求证: log ?a?1? a ? log a ?a ? 1?

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24.已知: a 、 b 都是正数,且 a ? b ?1,? ? a ? 1 , ? ? b ? 1 ,求? ? ? 的最小值

a

b

25.设 a ? b ? 0, n 为偶数,证明

bn?1 an

?

a n ?1 bn

?

1 a

?1 b

26.求证: a2 ?16 ? (a ? 4)2 ? 36 ? 2 29

一、选择题.

1. 若 a∈R,则下列不等式恒成立的是( )

A. a2 + 1>a

B. 1 <1
a2 ?1

C. a2 + 9>6a

D. lg(a2 + 1)>lg|2a|

2. 下列函数中,最小值为 2 是( )

A. y = x ? 5 ,x∈R,且 x≠0
5x

B. y = lgx + 1 ,1<x<10
lg x

C. y = 3x + 3-x,x∈R

D. y = sin x + 1 , 0<x<π

sin x

2

14

3. 不等式组

x≤3,
x + y≥0, 表示的平面区域的面积等于(
x - y + 2≥0

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)

A. 28

B. 16

C. 39
4

D. 121

4. 不等式 lgx2<lg2x 的解集是(

)

A. ?? 1 ,1??
?100 ?

B. (100,+∞)

C. ?? 1 ,1?? ∪(100,+∞)
?100 ?

D. (0,1)∪(100,+∞)

5. 不等式(x4 - 4)-(x2 - 2)≥0 的解集是(

)

A. x≥ 2 ,或 x≤- 2

B. - 2 ≤x≤ 2

C. x<- 3 ,或 x> 3

D. - 2 <x< 2

6. 若 x,y∈R,且 x + y = 5,则 3x + 3y 的最小值是(

)

A. 10

B. 6 3

C. 4 6

D. 18 3

7. 若 x>0,y>0,且 2 ? 8 ?1,则 xy 有(

)

xy

A. 最大值 64

B. 最小值 1
64

C. 最小值 1 2

D. 最小值 64

x≤2,

8. 若

y≤2, 则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是(

)

x + y≥1,

A. [0,6]

B. [2,4]

C. [3,6]

D. [0,5]

9. 若不等式 ax2 + bx + c>0 的解是 0<α <x<β ,则不等式 cx2 - bx + a>0 的解为

(

)

A. 1 <x< 1

α

β

B. - 1 <x<- 1

β

α

C. - 1 <x<- 1

α

β

D. 1 <x< 1

β

α

10.



a>0,b>0

,且

a

?b

?1,则 ??
?

1 a2

? 1???? ??

1 b2

?1?? 的最小值是(
?

)

15

教学部专用

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

二、填空题. 1. 若 x,y 满足

x + 2y - 5≤0, 则 y 的最大值为____________________,最小值

x≥1,

x

y≥0,

x + 2y - 3≥0,

为_________________.

2. 函数 y ? x 1 ? x2 的最大值为

.

3. 若直角三角形斜边长是 1,则其内切圆半径的最大值是

.

4. 若集合 A = {(x,y)| |x| + |y|≤1},B = {(x,y)|(y - x)(y + x)≤0},M = A ∩B,则 M 的面积为___________.

5. 若不等式 2x - 1>m(x2 - 1)对满足 -2≤m≤2 的所有 m 都成立,则 x 的取值范围



.

三、解答题.

1. 若奇函数 f(x)在其定义域(-2,2)上是减函数,且 f (1? a) ? f (1? a2 ) <? 00,求实数 a

的取值范围.

2. 已知 a>b>0,求 a2 ? 16 的最小值.
b(a ? b)

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