高中数学人教A版选修4-1课件:第一讲 本讲高考热点解读与高频考点例析_图文

本讲高考热点解读与高频考点例析 近两年高考中,由于各地的要求不同,所以试题的呈现形 式也不同,但都主要考查相似三角形的判定与性质、射影定 理、平行线分线段成比例定理.一般试题难度不大,解题中要 注意观察图形特点,巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效 果.在使用平行线分线段成比例定理及其推论时,一定要搞清 有关线段或边的对应关系,切忌搞错比例关系. 1.(陕西高考)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且 AB=6,AC=4,AD=12,则BE=________. 解析:由∠B=∠D,∠AEB=∠ACD, 得△ACD∽△AEB, AB AE 所以AD=AC,解得AE=2, 故BE= AB2-AE2=4 2. 答案:4 2 2.(广东高考)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4, CD=2,E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥ AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________. 解析:由CD=2,AB=4,EF=3, 1 得EF=2(CD+AB), ∴EF是梯形ABCD的中位线, 则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高,设为h, 1 1 于是两梯形的面积比为2(3+4)h∶2(2+3)h=7∶5. 答案:7∶5 平行线分线段的规律性质 平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理,其实质 是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规 律,主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长 度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法,其 中,平行线等分线段定理是线段的比为1的特例. [例1] 如图,在△ABC中,M是AC边中点,E 1 是AB边上一点,且AE= 4 AB,连接EM并延长交 BC的延长线于点D.求证:BC=2CD. [证明] 过点C作CF∥AB交ED于点F. CF CM ∴AE=MA. ∵AM=CM, 1 ∴CF=AE=4AB. 1 ∴CF=3BE. ∵CF∥AB, CD CF 1 ∴BD=BE=3. ∴BD=3CD, 即BC+CD=3CD. ∴BC=2CD. [例2] 如图,在△ABC中,DE∥BC,DH∥GC. 求证:EG∥BH. [证明] ∵DE∥BC, AE AD ∴AC=AB. ∵DH∥GC, AH AD ∴ AC =AG. ∴AE· AB=AC· AD=AH· AG. AE AG ∴AH=AB. ∴EG∥BH. 相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质揭示了形状相同,大小不一定 相等的两个三角形之间的边、角关系.其应用非常广泛,涉 及多种题型,可用来计算线段、角的大小,也可用来证明线 段、角之间的关系,还可以证明直线之间的位置关系.其 中,三角形全等是三角形相似的特殊情况. [例3] 如图所示,AD,CF是△ABC的两条高线,在 AB上取一点P,使AP=AD,再从P点引BC的平行线与AC交 于点Q. 求证:PQ=CF. [证明] ∵AD,CF是△ABC的两条高线, ∴∠ADB=∠BFC=90°. 又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBF. AD AB ∴ CF=CB. 又∵PQ∥BC, ∴△APQ∽△ABC. PQ AP AP AB ∴BC=AB,∴PQ=BC, AD AP ∴ CF=PQ. 又∵AP=AD,∴CF=PQ. [例4] 如图,在△ABC中,D为BC边的中点,E为AD上的 AE 1 AF 一点,延长BE交AC于点F.若AD=4,求AC的值. [解] 如图,过点A作AG∥BC,交BF的延长线于点G. AE 1 AE 1 ∵AD=4,∴ED=3. ∵△AGE∽△DBE, AG AE 1 ∴BD=ED=3. AG 1 ∵D为BC的中点,∴BC=2BD,∴ BC=6. ∵△AGF∽△CBF, AF AG 1 AF 1 ∴FC= BC=6,∴AC=7. 射影定理 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射 影、斜边及两直角边之间的比例关系,此定理常作为计算与 证明的依据,在运用射影定理时,要特别注意弄清射影与直 角边的对应关系,分清比例中项,否则在做题中极易出错. [例5] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D,DE⊥AC于点E,EF⊥AB于点F. 求证:CE2=BD· DF. [证明] ∵∠ACB=90°,DE⊥AC, BD AB ∴DE∥BC.∴ CE=AC. CE AC 同理,CD∥EF,∴DF=AD. ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴AC2=AD· AB. AC AB CE BD ∴AD=AC.∴DF= CE. ∴CE2=BD· DF. 阶段质量检测(一)见阶段质量检测(A) 阶段质量检测(一)见阶段质量检测(B)

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