上海市徐汇区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案

2016-2017 学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 20 分). 1.已知 A={x|x≤7},B={x|x>2},则 A∩B= 2.不等式 3.函数 f(x)= 的解集是 的定义域是 . . . . .

4.若 x>0,则函数 f(x)= +x 的最小值为 5.若函数 , .

,则 f(x)+g(x)=

6.不等式|2x﹣1|<3 的解集为

7.设 f(x)是 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2﹣x,则 f(1)= 8.已知函数 9.若函数 f(x)=x2+ 10.函数 y= ,则方程 f﹣1(x)=4 的解 x= 为偶函数,则实数 a= . . .



的值域是

11.已知函数 f(x)= 零点,则实数 a 的取值范围是 .

,且函数 F(x)=f(x)+x﹣a 有且仅有两个

12. 关于 x 的方程 4x﹣k?2x+k+3=0, 只有一个实数解, 则实数 k 的取值范围是



二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的. 13.“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也必要条件 )

14.下列各对函数中,相同的是( A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgx B.f(x)=lg

,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1)

-1-

C.f(u)=

,g(v)=

D.f(x)=x,g(x)= 15.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 B.ab2<a2bC. D. )

16.若 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论: ①y=|f(x)|是偶函数; ②对任意的 x∈R 都有 f(﹣x)+|f(x)|=0; ③y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增; ④y=f(x)f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增. 其中正确结论的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

三、解答题:本大题共 5 小题,共 44 分.解答写出文字说明、证明过程或演算过 程. 17.已知全集为 R,集合 A={x| 18.设函数 f(x)=a﹣ ≤0},集合 B={x||2x+1|>3}.求 A∩(?RB) .

(a∈R) .

(1)请你确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (2)用单调性定义证明,无论 a 为何值,f(x)为增函数. 19.关于 x 的不等式 >1+ (其中 k∈R,k≠0) .

(1)若 x=3 在上述不等式的解集中,试确定 k 的取值范围; (2)若 k>1 时,上述不等式的解集是 x∈(3,+∞) ,求 k 的值. 20.已知 f(x)=( )2(x>1)

(1)求 f(x)的反函数及其定义域; (2)若不等式(1﹣ 数 a 的取值范围. 21.设 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|+2x.
-2-

)f﹣1(x)>a(a﹣

)对区间 x∈[ , ]恒成立,求实

(1)若 a=3,求函数 f(x)在区间[0,4]上的最大值; (2)若存在 a∈(2,4],使得关于 x 的方程 f(x)=t?f(a)有三个不相等的实数 解,求实数 t 的取值范围.

2016-2017 学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解+析

一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 20 分). 1.已知 A={x|x≤7},B={x|x>2},则 A∩B= 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解答】解:∵A={x|x≤7},B={x|x>2}, ∴A∩B={x|2<x≤7}, 故答案为:{x|2<x≤7} {x|2<x≤7} .

2.不等式

的解集是

(﹣4,2)



【考点】其他不等式的解法. 【分析】由不等式 不等式的解集. 【解答】解:由不等式 <x<2, 故不等式的解集为(﹣4,2) , 故答案为 (﹣4,2) . 可得 <0,即 (x﹣2) (x+4)<0,解得﹣4 可得(x﹣2) (x+4)<0,解此一元二次不等式求得原

3.函数 f(x)=

的定义域是

{x|x≥﹣2 且 x≠1}



【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零,列出不等式组求解,最
-3-

后要用集合或区间的形式表示. 【解答】解:由题意,要使函数有意义,则 解得,x≠1 且 x≥﹣2; 故函数的定义域为:{x|x≥﹣2 且 x≠1}, 故答案为:{x|x≥﹣2 且 x≠1}. ,

4.若 x>0,则函数 f(x)= +x 的最小值为 【考点】基本不等式.

2



【分析】由 x>0,直接运用基本不等式,计算即可得到最小值. 【解答】解:x>0,则函数 f(x)= +x≥2 当且仅当 x= 故答案为:2 时,f(x)取得最小值 2 . . =2 ,

5.若函数 ≤1) .



,则 f(x)+g(x)=

1

( 0≤ x

【考点】函数解+析式的求解及常用方法. 【分析】容易求出 f(x) ,g(x)的定义域,求交集便可得出 f(x)+g(x)的定义 域,并可求得 f(x)+g(x)= 【解答】解: 解 ∴ 故答案为: 得,0≤x≤1; (0≤x≤1) . . . ;

6.不等式|2x﹣1|<3 的解集为

{x|﹣1<x<2}



【考点】不等式;绝对值不等式. 【分析】将 2x﹣1 看成整体,利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式, 最后利用不等式基本性质求解即可. 【解答】解:∵|2x﹣1|<3
-4-

?﹣3<2x﹣1<3 ?﹣1<x<2, ∴不等式|2x﹣1|<3 的解集为 {x|﹣1<x<2}. 故答案为:{x|﹣1<x<2}.

7.设 f(x)是 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2﹣x,则 f(1)= 【考点】函数的值. 【分析】根据函数奇偶性的性质求 f(﹣1)即可求出 f(1)的值. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) , ∵当 x≤0 时,f(x)=2x2﹣x, ∴f(﹣1)=2+1=3, ∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3. 故答案为:﹣3.

﹣3



8.已知函数

,则方程 f﹣1(x)=4 的解 x=

1 .

【考点】反函数;对数的运算性质. 【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知,欲求满足 f﹣1(x)=4 的 x 值, 即求 f(4)的值. 【解答】解:由题意得,即求 f(4)的值 ∵ , ,

∴f(4)=log3(1+2)=1, ∴f(4)=1. 即所求的解 x=1. 故答案为 1.

9.若函数 f(x)=x2+

为偶函数,则实数 a=

1



【考点】函数奇偶性的性质.

-5-

【分析】根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=x2+ ∴f(﹣x)=f(x) , 即 x2﹣ 则 =x2+ =0,则 a=1, , 为偶函数,

故答案为:1

10.函数 y=

的值域是

(﹣1, )



【考点】函数的值域. 【分析】分离常数后,根据指数函数的值域即可求函数 y 的范围. 【解答】解:函数 y= ∵2x+3>3, ∴0< ∴函数 y= . 的值域是(﹣1, ) = =﹣1 .

故答案为(﹣1, )

11.已知函数 f(x)= 零点,则实数 a 的取值范围是 a≤1

,且函数 F(x)=f(x)+x﹣a 有且仅有两个 .

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】根据函数与方程的关系,将函数问题转化为两个函数的交点问题,利用 数形结合进行求解即可. 【解答】解:由 F(x)=f(x)+x﹣a=0 得 f(x)=﹣x+a, 作出函数 f(x)和 y=﹣x+a 的图象如图: 当直线 y=﹣x+a 经过点 A(0,1)时,两个函数有两个交点,
-6-

此时 1=﹣0+a,即 a=1, 要使两个函数有两个交点,则 a≤1 即可, 故实数 a 的取值范围是 a≤1, 故答案为:a≤1

12. 关于 x 的方程 4x﹣k?2x+k+3=0, 只有一个实数解, 则实数 k 的取值范围是 (﹣ ∞,﹣3)∪{6} .

【考点】函数的零点. 【分析】首先换元,令 t=2x,则关于 t 方程 t2﹣kt+k+3=0 只有一个正根,根据根与 系数的关系写出一元二次方程要满足的条件,得到结果. 【解答】解:设 t=2x,t>0 x 的方程 4x﹣k?2x+k+3=0 转化为 t2﹣kt+k+3=0,设 f(t)=t2﹣kt+k+3, 原方程只有一个根,则换元以后的方程有一个正根, ∴f(0)<0,或△=0, ∴k<﹣3,或 k=6 故答案为(﹣∞,﹣3)∪{6}.

二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的. 13.“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也必要条件
-7-

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:当 x=0,y=3 时,满足 x+y=3,但 x=1 且 y=2 不成立,即充分性不成立, 若 x=1 且 y=2,则 x+y=3 成立,即必要性成立, 即“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的必要不充分条件, 故选:B

14.下列各对函数中,相同的是( A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgx B.f(x)=lg C.f(u)=



,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1) ,g(v)=

D.f(x)=x,g(x)= 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【分析】对于 A,通过定义域判断是不是相同的函数; 对于 B 求出函数的定义域,即可判断是不是相同的函数; 对于 C:判断是否满足相同函数的要求即可; 对于 D:通过对应关系以及值域即可判断是不是相同的函数. 【解答】解:对于 A:f(x)=lgx2,g(x)=2lgx 两个函数的定义域不同,不是相同 的函数; 对于 B:f(x)=lg 是相同的函数; 对于 C:f(u)= ,g(v)= ,满足相同函数的要求,是相同的函数; ,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1)函数底的定义域不同,不

对于 D:f(x)=x,g(x)= 相同的函数. 故选 C.

,定义域相同,都是对应关系以及值域不同,不是

15.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是(



-8-

A.a2<b2 B.ab2<a2bC.

D.

【考点】一元二次不等式的应用;不等关系与不等式. 【分析】由不等式的相关性质,对四个选项逐一判断,由于 a,b 为非零实数,故 可利用特例进行讨论得出正确选项 【解答】解:A 选项不正确,因为 a=﹣2,b=1 时,不等式就不成立; B 选项不正确,因为 a=1,b=2 时,不等式就不成立; C 选项正确,因为 ?a<b,故当 a<b 时一定有 ;

D 选项不正确,因为 a=1,b=2 时,不等式就不成立; 选项正确,因为 y=2x 是一个增函数,故当 a>b 时一定有 2a>2b, 故选 C.

16.若 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论: ①y=|f(x)|是偶函数; ②对任意的 x∈R 都有 f(﹣x)+|f(x)|=0; ③y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增; ④y=f(x)f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增. 其中正确结论的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】由 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递增,知:y=|f (x)|是偶函数;对任意的 x∈R,不一定有 f(﹣x)+|f(x)|=0;y=f(﹣x)在 (﹣∞,0]上单调递减;y=f(x)f(﹣x)=﹣[f(x)]2 在(﹣∞,0]上单调递减. 【解答】解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴y=|f(x)|是偶函数,故①正确; 对任意的 x∈R,不一定有 f(﹣x)+|f(x)|=0,故②不正确; y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递减,故③不正确; y=f(x)f(﹣x)=﹣[f(x)]2 在(﹣∞,0]上单调递增,故④正确. 故选 B.

-9-

三、解答题:本大题共 5 小题,共 44 分.解答写出文字说明、证明过程或演算过 程. 17.已知全集为 R,集合 A={x| ≤0},集合 B={x||2x+1|>3}.求 A∩(?RB) .

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】化简集合 A、B,根据补集与交集的定义写出 A∩(?RB)即可. 【解答】解:全集为 R,集合 A={x| ≤0}={x|﹣1<x≤3},

集合 B={x||2x+1|>3}={x|2x+1>3 或 2x+1<﹣3}={x|x>1 或 x<﹣2}, 所以?RB={x|﹣2≤x≤1}, A∩(?RB)={x|﹣1<x≤1}.

18.设函数 f(x)=a﹣

(a∈R) .

(1)请你确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; (2)用单调性定义证明,无论 a 为何值,f(x)为增函数. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】 (1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可. (2)根函数单调性的定义进行证明即可. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(0)=a﹣ ∴a=1; (2)证明:任取:x1<x2∈R, ∴f(x1)﹣f(x2)=a﹣ ∵x1<x2, ∴ 又 , >0, , ﹣a+ =2? =0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) ,

- 10 -

∴f(x)在 R 上的单调递增.

19.关于 x 的不等式

>1+

(其中 k∈R,k≠0) .

(1)若 x=3 在上述不等式的解集中,试确定 k 的取值范围; (2)若 k>1 时,上述不等式的解集是 x∈(3,+∞) ,求 k 的值. 【考点】其他不等式的解法. 【分析】 (1)若 x=3 在上述不等式的解集中,即 x=3,求解关于 k 的不等式 1+ 即可. >

(2)根据不等式与方程的思想求解,移项通分,化简,利用 x=3 求解 k 的值. 【解答】 解: (1 ) 由题意:x=3 时,不等式 可得(5﹣k)k>0, 解得:0<k<5. ∴当 x=3 在上述不等式的解集中,k 的取值范围是(0,5) (2)不等式 ∵k>1, 可得: ?kx+2k>k2+x﹣3 >1+ 化简可得 (其中 k∈R,k≠0) . >1+ 化简为 ,即 ,

不等式的解集是 x∈(3,+∞) ,∴x=3 是方程 kx+2k=k2+x﹣3 的解. 即 3k+2k=k2, ∵k≠0, ∴k=5. 故得若 k>1 时,不等式的解集是 x∈(3,+∞)时 k 的值为 5.

20.已知 f(x)=(

)2(x>1)

(1)求 f(x)的反函数及其定义域;
- 11 -

(2)若不等式(1﹣ 数 a 的取值范围.

)f﹣1(x)>a(a﹣

)对区间 x∈[ , ]恒成立,求实

【考点】函数恒成立问题;反函数.
1 f x) x) 【分析】 (1) 求出 ( 的值域, 即 f﹣( 的定义域, 令 y= ( 2 ) , 解得 x=



可得 f﹣1(x) . ( 2 )不等式( 1 ﹣ ) f ﹣ 1 ( x )> a ( a ﹣ )在区间 x ∈ [ , ] 恒成立 ? 对区间 x∈[ , ]

在区间 x∈[ , ]恒成立, 恒成立. 【解答】 解; (1) ∵x>1, ∴0<f (x) <1. 令 y= ( ∴f﹣1(x)= (2)∵f﹣1(x)= (0<x<1) ; (0<x<1) ,∴不等式(1﹣

2 ) (x>1) , 解得 x=



)f﹣1(x)>a(a﹣



在区间 x∈[ , ]恒成立?

在区间 x∈[ , ]恒成立,

对区间 x∈[ , ]恒成立. 当 a=﹣1 时,不成立, 当 a>﹣1 时,a< 当 a<﹣1 时,a> 在区间 x∈[ , ]恒成立,a<( 在区间 x∈[ , ]恒成立,a>( )min,﹣1<a< . )max,a 无解.

综上:实数 a 的取值范围:﹣1<a< .

21.设 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|+2x. (1)若 a=3,求函数 f(x)在区间[0,4]上的最大值; (2)若存在 a∈(2,4],使得关于 x 的方程 f(x)=t?f(a)有三个不相等的实数 解,求实数 t 的取值范围. 【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断. 【分析】 (1)求出 f(x)的分段函数式,运用二次函数的性质,可得单调区间,
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求得最大值; (2)将 x 分区间进行讨论,去绝对值写出解+析式,求出单调区间,将 a 分区间讨 论,求出单调区间解出即可. 【解答】解: (1)当 a=3,x∈[0,4]时,f(x)=x|x﹣3|+2x= 可知函数 f(x)在区间[0, ]递增,在( ,3]上是减函数,在[3,4]递增, 则 f( )= ,f(4)=12, ,

所以 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 f(4)=12. (2)f(x)= ①当 x≥a 时,因为 a>2,所以 , <a.

所以 f(x)在[a,+∞)上单调递增. ②当 x<a 时,因为 a>2,所以 所以 f(x)在(﹣∞, <a. ,a]上单调递减.

)上单调递增,在[

当 2<a≤4 时,知 f(x)在(﹣∞, 在[ ,a]上是减函数, 时,

]和[a,+∞)上分别是增函数,

当且仅当 2a<t?f(a)<

方程 f(x)=t?f(a)有三个不相等的实数解. 即 1<t< = (a+ +4) .

令 g(a)=a+ ,g(a)在 a∈(2,4]时是增函数, 故 g(a)max=5. ∴实数 t 的取值范围是(1, ) .

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2017 年 2 月 13 日

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