2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2同步课件第二章 2.2 2.2.1 2.2.2 直线与平面平行的判定_图文

2.2.3&2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平 面平行的性质 预习课本P58~61,思考并完成以下问题 1.线面平行的性质定理是什么? 2.面面平行的性质定理是什么? 3.面面平行还有哪些性质? [新知初探] 1.直线与平面平行的性质 (1)文字语言: 过这条直线的任一平面与此 一条直线与一个平面平行,则_________________________ 平面的交线 __________与该直线平行. (2)图形语言: (3)符号语言: a∥ α ? ? a?β ??a∥b. ____ α∩β=b ? ________ ? [点睛] 定理中有三个条件:①直线a和平面α平行,即a ∥α;②直线a在平面β内,即a?β;③平面α,β相交,即α∩β =b.三个条件缺一不可. 2.平面与平面平行的性质 (1)文字语言: 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交 ,那么它们的交 线平行. (2)图形语言: (3)符号语言: α∥β ? ? α∩γ=a ??a∥b. _______ β∩γ=b ? ________ ? [点睛] (1)已知两个平面平行,虽然一个平面内的任何直线 都平行于另一个平面,但是这两个平面内的所有直线并不一定 相互平行,它们可能是平行直线,也可能是异面直线,但不可 能是相交直线. (2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法,应用时要紧 扣与两个平行平面都相交的第三个平面. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α ( × ) (2)若直线a∥平面α,则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点 ( √ ) (3)若α∥β,则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β ( √ ) 2.梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直 线CD与平面α内的直线的位置关系只能是 A.平行 C.平行或相交 B.平行或异面 D.异面或相交 ( ) 解析:选B 由题意,CD∥α,则平面α内的直线与CD可能 平行,也可能异面. 3.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A1,C1,B的平面与底面 ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是____. 解析:由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1B1C1D1∩平面 A1C1B=A1C1,平面ABCD∩平面A1C1B=l,所以l∥A1C1. 答案:平行 线面平行性质的应用 [典例] 如图,P是平行四边形ABCD所在平面 外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点 G和AP作平面,交平面BDM于GH.求证:AP∥GH. [证明] 如图,连接AC,交BD于点O,连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴点O是AC的中点. 又∵点M是PC的中点,∴AP∥OM. 又∵AP?平面BDM,OM?平面BDM, ∴AP∥平面BDM. ∵平面PAHG∩平面BDM=GH,AP?平面PAHG,∴AP∥GH. 线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平 行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.利用线面平行 的性质定理解题的具体步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平行于 一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交 的平面;(3)确定交线;(4)由性质定理得出线线平行的结论. [活学活用] 如图所示,已知两条异面直线 AB 与 CD,平面 MNPQ 与 AB,CD 都平行,且点 M,N,P,Q 依 次在线段 AC,BC,BD,AD 上,求证:四边形 MNPQ 是平行四边形. 证明:∵AB∥平面 MNPQ,且过 AB 的平面 ABC 交平面 MNPQ 于 MN,∴AB∥MN. 又过 AB 的平面 ABD 交平面 MNPQ 于 PQ, ∴AB∥PQ, ∴MN∥PQ. 同理可证 NP∥MQ. ∴四边形 MNPQ 为平行四边形. 面面平行性质的应用 [典例] 如图所示,已知三棱柱ABCA′B′C′中,D 是BC的中点,D′是B′C′的中点,设平面 A′D′B∩平面ABC=a,平面ADC′∩平面 A′B′C′=b,判断直线a,b的位置关系,并证明. [解] 直线a,b的位置关系是平行. ∵平面ABC∥平面A′B′C′, 平面A′D′B∩平面ABC=a, 平面A′D′B∩平面A′B′C′=A′D′, ∴A′D′∥a,同理可得AD∥b. 又D是BC的中点,D′是B′C′的中点, ∴DD′ 綊 BB′,而BB′ 綊 AA′,∴DD′ 綊 AA′, ∴四边形AA′D′D为平行四边形, ∴A′D′∥AD,因此a∥b. 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条; (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出); (3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上; (4)由定理得出结论. [活学活用] 如图,平面α∥平面β,AB,CD是两异面直线, 且A,C∈β,B,C∈α,M,N分别在线段AB, AM CN CD上,且MB=ND. 求证:MN∥α. 证明:如图,过点A作AE∥CD,AE∩α=E,连接BE,在平面 ABE内作MP∥BE,MP交AE于P, AM AP 连接NP,DE,则MB=PE. AM CN AP CN ∵MB=ND,∴PE=ND. ∵平面α∥平面β,平面ACDE∩α=ED, 平面ACDE∩β=AC, ∴AC∥ED,∴PN∥ED. ∵PN?α,ED?α,∴PN∥α. 綊 ∵PM∥BE,PM?α,BE?α,∴PM∥α. 又PM∩PN=P, ∴平面PMN∥平面α. ∵MN?平面PMN,∴MN∥α. 平行关系的综合应用 [典例] 在正方体ABCDA1B1C1D1中,如图. (1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD; (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面 C1BD的交点E,F,并证

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