2016-2017 智高点学校模拟考试立体几何体积表面积

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学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________
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A.
25 π 9 11 π 3

A. 得

评卷人

绝密★启用前

1. [2016· 原创信息卷]如图是某几何体的三视图,则这个几何体外接球的体积为 ( )

2016-2017 智高点学校模拟考试立体几何体积表面积

B.
得分 题号

B. 分

32 2 π 3

44 11 π 3

学校:

一、选择题

考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx

C. C.
50 π 9 11 π 3

一 姓名:

试卷副标题

D. D.
8 2 π 3 121 π 3

二 班级: 三 考号: 总分

3. [2016· 江西临川一中高二期中]某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面 积为 ( )

2. [2016· 原创信息卷]已知正四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 的表面上,若 AB=1,PA= 5,则球 O 的 表面积为( )

第 1 页 共 28 页…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….第 2 页 共 28 页

密 封 线 内 不 要 答 题

第 3 页 共 28 页............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................................................................................................... 第 4 页 共 28 页

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学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________
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A.
2 2

B.
6 2

C.
5 2

D. 3

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4. [2016· 辽宁东北育才高一第一次阶段测试]若直线上的所有点到两条直线, 的距离都相等,则 称直线为“, ”的等距线.在正方体 ? 1 1 1 1 中, , , , 分别是所在棱中点,, 分别 为, 中点,则在直线, , ,1 中,是"1 1 , "的等距线的条数为( )

密 封 线 内 不 要 答 题

第 7 页 共 28 页............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................................................................................................... 第 8 页 共 28 页

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A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5. [2016· 辽宁东北育才高一第一次阶段测试]若一个三棱锥中,有一条棱长为,其余棱长均为 1,则其 体积 ()取得最大值时的值为( ) A. 1 B.
3 2

C.

5 2

D.

6 2

6. [2016· 辽宁东北育才高一第一次阶段测试]一个直角三角形绕斜边旋转 360° 形成的空间几何体 为( ) A. 一个圆锥 C. 两个圆锥 B. 一个圆锥和一个圆柱 D. 一个圆锥和一个圆台

学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

7. [2016· 原创信息卷]如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则下 列说法错误 的是 ( ) ..

A. 该四棱锥中所有棱长的最大值为 41 C. 该四棱锥的体积为 16

B. 该四棱锥的表面积为 48 D. 该四棱锥的外接球半径为 41

8. [2015· 北京西城高三二模(文),8]在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1,点 P 为对角线
AC1 上的动点,点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P,Q 可以重合),则 B1P+PQ 的最小值为 ( )
3

A. 2

B. 3

C. 2

D. 2

9. [2015· 北京朝阳高三一模(文),8]已知边长为 3 的正方形 ABCD 与正方形 CDEF 所在的平面互相 垂直,M 为线段 CD 上的动点(不含端点),过 M 作 MH∥DE 交 CE 于 H,作 MG∥AD 交 BD 于 G,连接 GH.设 CM=x(0<x<3),则下面四个图象中,大致描绘了三棱锥 C-GHM 的体积 y 与变量 x 变化关系的 是 ( )

第 9 页 共 28 页…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….第 10 页 共 28 页

A.



B. 封 10. [2015· 辽宁省丹东五校协作体高三期末(文),12]已知四面体 P-ABC
中,PA=4,AC=2 7,PB=BC=2 3,PA⊥平面 PBC,则四面体 P-ABC 的内切球半径与外接球半径的比 ( )

线 内

A.

3 2 16

B.

3 2 8

C.

2 16

D.

2 8



11. [2015· 石家庄质量检测(二)(文),12]在三棱锥 S-ABC 中,AB=AC=SB=SC=4,SA=BC=a,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (0,2 6)
12 13 5 13



B. (0,4 2)

C. (0,2 6+2 2)

D. (4 2,2 6+3 2)



12. [2015· 辽宁协作校高三二模,10]如图,已知圆柱 OO'的底面半径为 12,与底面成 β 角(其中 题 C.
cos β= ,sin β= )的截面 α 截圆柱所得的平面图形为椭圆.已知球 C1,C2 分别与圆柱的侧面、底面 相切,与截面 α 相切于点 M,N,则圆柱 OO'的体积为 ( )

A. 7500π 评卷人 D. 得

B. 7200π 分

C. 7800π

D. 8100π

二、填空题

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13. [2016· 原创信息卷]正三棱锥 A-BCD 的顶点都在球 O 上,底面 BCD 是边长为 2 的正三角形,三棱 锥 A-BCD 体积的最大值是 1,此时球 O 的半径是 . 14. [2016· 原创信息卷]已知正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 的侧面积为 72,体积为 36 3,则正六棱
柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 外接球的表面积为 .

别是棱 AD,PD 的中点,点 F 在 AB 上,且 AF=2FB.

15. [2015· 北京西城高三期末,14]设 P,Q 为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 θ(0<θ<2π)角后能与自身重合,那么符合条件的直线 PQ 有 条. 16. [2015· 辽宁重点中学协作体高三模拟,16]如图,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为矩形,平面
PAD⊥平面 ABCD.若∠BPC=90° ,PB= 2,PC=2,则四棱锥 P-ABCD 的体积最大值为 .

(1)求证:BG∥平面 PEF; (2)如果 PA=AB=2,求三棱锥 P-BEG 的体积. 19. [2016· 原创信息卷(文)] (本小题满分 12 分) 已知圆柱 OO1 的底面半径是 2,高是 4,ABCD 是圆柱的一个轴截面.动点 E 从 B 点出发,沿着圆柱的
侧面到达点 D,如图所示,其最短距离在侧面留下的曲线是 S,将轴截面 ABCD 绕着轴 OO1 逆时针旋 转 θ(0<θ<π)后,边 B1C1 和曲线 S 交于点 F.

学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

评卷人



分 三、解答题

17. [2016· 原创信息卷(文)] (本小题满分 12 分)
如图,∠BCD=90° ,BC=CD=1,AB⊥面 BCD,∠ADB=60° ,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且


= .



(1)当 θ= 时,在 A1D1 上是否存在点 G,使 C1G∥平面 A1BF; (2)当 θ=2 时,试求三棱锥 C1-ABF 的体积. 20. [2015· 大连二十四中高三模拟(文),19] (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥ 平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点.
π

π 2

(1)若平面 BEF 与平面 BCD 的交线为 l,求证:EF∥l; (2)当面 BEF⊥面 ACD 时,求三棱锥 A-BEF 的体积. 18. [2016· 原创信息卷(文)] (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° ,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA=PD,E,G 分

(1)求证:AC⊥平面 BDEF;

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(2)求证:平面 BDGH∥平面 AEF; (3)求多面体 ABCDEF 的体积. 21. [2015· 原创信息卷(文)] (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 A-BCDE 中,AC,BC,CD 两两垂直,BE∥CD,BC=AC,点 F 为 AE 的中点.

4π ( 3

11) =

3

44 11 π,故选 3

B.

2. 【答案】C【解析】本题考查学生的空间想象能力以及多面体外接球的问题.由题意可知,正四 棱锥 P-ABCD 外接球的球心应该是侧棱 PA 的中垂线与正四棱锥高 PH 的交点,由题意知
AH= ,∵PA= 5,∴PH=
2 2 3 2 2
1

.设球的半径为 R,由三角形相似可得2



=

(1)求证:AB⊥DF; (2)若多面体 ABC-DF 的体积为
4 2 ,且 3

积为 4πR AC=2,BE= 2,试求线段 CD 的长.

2

50 = π,选 9

5 2 ,∴R= ,∴球 6

O 的表面



C.



22. [2015· 高考重庆卷(文),20](本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)
如图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面
π ABC,∠ABC= ,点 2

3. 【答案】C【解析】本题考查三视图,空间几何体的侧面积.该几何体如图所示,平面 PCD⊥平面
ABCD,四棱锥的高为 1,底面为边长为 1 的正方形,则 = × 1 × 1 = , = = ×
1 2 1 2 1 2 2 , 2 1 5 5 ,所以侧面积最大值为 .故选 2 2

线

D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=



1× 2=

=2×1× 5=

C.



EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC.

要 答 题

(1)证明:AB⊥平面 PFE; (2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.
参考答案

1. 【答案】B【解析】本题考查几何体的三视图,外接球的体积计算,考查空间想象能力.由三视图 知此几何体为四棱锥,设为 S-ABCD.其中面 SAD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为矩 形,AD=6,AB=2,△ SAD 的高 SE=4,AE=2.设 O 为此棱锥外接球的球心,则 O 到面 SAD 的距离为 1,由
条件知,SA=2 5,SD=4 2,sin ∠SAD= ,所以△ SAD 外接圆的直径为
2 2 2

2 5

sin∠

=

4 2
2 5

=2 10.设 S -

ABCD 外接球的半径为 r,则 r =( 10) +1 =11,∴r= 11,∴这个四棱锥外接球的体积为

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学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________
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的距离是 1,与 AB 的距离是 2,所以不成立;1 与1 1 , 的距离都是 2,故选 C.
6 2

4. 【答案】C【解析】本题考查自定义问题以及空间想象能力,考查了分析问题与解决问题的能 力. 设正方体的棱长是 2,由题意可知, 与 是"1 1 , "的等距线,距离都是 1.因为与1 1
锥的体积 = · · · · = ×
1 3 1 2 1 6 3? 2 2 1

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仅当3 ? 2 = 2 ,即 a= 时,其体积 ()取得最大值.故选 D.

中,D,E 分别为 AB,PC 的中点,令 PC=a(0<a< 3),由题意可求得 DE=
3? 2 ,且 2

5. 【答案】D【解析】本题考查三棱锥的体积以及空间想象能力.如图所示,在三棱锥 P-ABC

× = 12 (3 ? 2 )2 ≤ 12 ×

PC⊥ 平面,则三棱
1 3? 2 + 2 2

= 8,当且

1

7. 【答案】D【解析】本题考查三视图、锥体的体积,表面积.作出该四棱锥的直观图如图所示,

可知 BC=BE=4,AE=3,故 AB=AD=5,AC= 41,故所有棱长的最大值为 41,故 A 正确;



S△ ABE=S△ ADE= × 3× 4=6,SBCDE=4× 4=16,S△ ABC=S△ ACD= × 4× 5=10,

1 2

1 2



故所求四棱锥的表面积 S=48,故 B 正确; 该四棱锥的体积 VA-BCDE= × 3× 4× 4=16,故 C 正确;
1 3

线 内

该四棱锥可以补成一个长、宽、高分别为 4,3,4 的长方体, 故外接球半径 r=
4 2 +32 +4 2 2



=

41 ,故 2

D 错误;综上所述,选 D.

要 答

8. 【答案】C【解析】本题考查几何体的展开思想的应用.把三角形 AB1C1 和三角形 ACC1 展开在
一个平面内,如图所示:



此时 AB1= 3,且∠B1AC=60°

要使得 B1P+PQ 最小,则当取如图所示的 P1,Q1 时, 即过点 B1 作 AC 的垂线,此时垂线段的长为 B1Q1=AB1sin∠B1AC= 3× = ,故选 C.
3 3 2 2

6. 【答案】C【解析】本题考查旋转体以及空间想象能力.由题意得,该几何体是由两个圆锥组成 的组合体,故选 C.

9. 【答案】A【解析】本题考查线面垂直、三棱锥的体积和利用导数研究函数的单调性.在等腰 直角△ BCD 中,因为 GM∥BC,所以 GM⊥CD,且 GM=DM=3-x,同理 HM⊥DC,且 HM=MC=x,所以

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CM⊥平面 GHM,所以三棱锥 C-GHM 的体积为
1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 VC-GHM= S△ GHM· CM= ·x(3-x)· x= x (3-x)=- x + x (0<x<3),V'=- x +x, 3 3 2 6 6 2 2

11. 【答案】B【解析】本题考查构成三角形、三棱锥的条件等基础知识,意在转化与化归思想等
基本技能.取 BC 中点为 O.连接 OS,OA,则 OS=OA= 16 2 , 4

令 V'(x)<0,即- x +x<0,解得:2<x<3,所以 V(x)在(0,2)上是增函数,在(2,3)上是减函数,所以选项 A 的 图象满足题意.故答案为 A.

1 2

2

学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

10. 【答案】A【解析】本题考查四面体中的垂直关系以及多面体与球的组合问题. 四面体的直观图如图所示,

在△ CBS 中 4+4>a,解得 a<8; 在△ SOA 中,2 16 2 >a, 4

解得 0<a<4 2.

【方法技巧】对于空间几何体的问题,可转化为平面图形求解. ∵PA⊥面 PBC,PA=4,PB=BC=2 3,AC=2 7,

∴AB=2 7,PC=2 3,

12. 【答案】B【解析】本题考查圆柱与球的组合体.

所以,△ PBC 为等边三角形,△ ABC 为等腰三角形; 则四面体的体积 VP -ABC= S△ PBC· PA= ×
1 3 1 3 1 2

×2 3×2 3×

3 2

×4=4 3,

其表面积 S= ×2 3×4×2+ × 2 3 ×

1 2

1 2

2

3 2

+ 2×2 3×5=16 3,
3 4

1

设四面体的内切球的半径为 r,则 Sr=V,即 r= ;

1 3

2 3 =4,则外接球的直径 sin 60° 3 3 2 面体的内切球与外接球的半径之比为 ∶2 2 = . 4 16

等边△ PBC 所在的小圆的直径 PD=

2R= 42 + 42 =4 2,即 R=2 2;所以四

作出圆柱、球的轴截面,如图所示,其中 EH 是截面椭圆的半长轴,球 C1 与截面相切于 M. ∵cos∠QFH=cos β= 半径为 12,在 Rt△


12 = ,FQ=24,∴FH=26.因为球 C1,C2 与圆柱的底面和侧面都相切,所以球的 13 12 C1ME 中,sin∠C1EM=cos∠EFQ= ,C1M=12,∴C1E=13,C2E=C1E=13,所以圆柱的 13
’ 2

高为 OO =OC1+C1C2+C2O =50,则圆柱的体积为 V=π·12 ×50=7200π. 二、填空题

第 21 页 共 28 页…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….第 22 页 共 28 页

13. 【答案】

13 3 18 1 3 1 2 2 3 ,延长 3 2 r,由射影定理知,B1 =

(2) 【答案】设



=

=λ,∵∠BCD=90° ,∴DC⊥BC,又

AB⊥面 BCD,∴DC⊥AB,又

【解析】本题考查三棱锥的计算和球的计算.设△ BCD 的中心是 O1,当 A,O,O1 三点共线时,三棱
锥的体积最大,即 × × 2× 2× sin60° × AO1=1,解得 AO1= 3,由几何关系知 BO1= 于 O2 点,连接 BO2,故△ ABO2 是直角三角形,设球 O 的半径是
2 3 3 2 13 3 . 18

AB∩BC=B,∴DC⊥面 ABC,∴DC⊥BE,即 BE⊥EF,若面 BEF⊥面 ACD,则 BE⊥面 ACD?BE⊥AC, 由 BC=CD=1 且∠BCD=90° ?BD= 2,

AO1 交球 O

3× (2r- 3),即
又∠ADB=60° ,得 AB= 6,在△ ABC 中,由勾股定理得 AC= 7,

= 3 × 2- 3 ,解得 r=

由 AB =AE· AC,得 AE= ,此时,λ=

2

14. 【答案】52π
2 = 36 3,解得 【解析】本题考查球体的表面积公式.设 AB=a,AA1=b,依题意,得 6·4 · 6 = 72 = 2, 2 故外接球的半径 R= 22 + 32 = 13,故所求外接球表面积 S=4πR =4π·13=52π. = 6, 3

6 7



= 7.

6

所以 S△ AEF= S△ ACD=

36 49

36 49

× 2 × 7× 1=

1

18 7 ,因为 49

BE =AE· EC= ,

2

6 7

密 封

所以 VA-BEF= S△ AEF· BE= ×

1 3

1 3

18 7 49

×

42 7

=

6 6 . 49

线

15. 【答案】13 【解析】本题考查正方体的对称性和旋转. 由题意知,符合条件的直线 PQ 必过正方体的中心,满足题意的直线 PQ 共三类:
第一类:当 PQ 为正方体的对角线时,正方体绕 PQ 旋转 或 时,能与原图重合,这类直线共有 4 条; 第二类:当 PQ 过正方体对面中心时,正方体绕 3 条;
2π 4π 3 3 π 3π PQ 旋转 ,π 或 时,能与原图重合,这类直线共有 2 2

18. (1) 【答案】如图,连接 AG 交 PE 于点 M,连接 FM, 因为 E,G 分别为 AD,PD 的中点,所以 M 为△ PAD 的重心,所以 AM=2MG, 在△ ABG 中,AF=2FB,所以 BG∥FM, 又因为 FM?平面 PEF,BG?平面 PEF,所以 BG∥平面 PEF. (2) 【答案】连接 BE,EG, 在菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,E 为 AD 的中点, 所以 BE⊥AD,又因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 所以 BE⊥平面 PAD,

内 不 要

第三类:当 PQ 过正方体对棱中点时,正方体绕 PQ 旋转 π 时,能与原图重合,这类直线共有 6 条,所以 满足条件的直线 PQ 共 13 条.故答案为 13.

答 题

16. 【答案】

2 6 9

【解析】本题考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、空间几何体的体积和基本不等式.
过点 P 作 PH⊥AD 于 H,因为平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PH⊥平面 ABCD,即 PH 为四棱锥 PABCD 的高,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,连接 EH,所以 BC⊥平面 PEH,所以 BC⊥EH,在直角三角形 PBC 中,因为 PB= 2,PC=2,所以 BC= 6,根据等面积法得:PE=
4 2 中,PH +EH =PE = ≥2PH· EH,所以 PH· EH≤ ,所以四棱锥 3 3 1 1 1 2 2 6 2 6 = S· PH= · BC· EH· PH≤ × 6× = .故答案为 . ABCD 3 3 3 3 9 9
2 2 2

2× 2 2 3 = ,在直角三角形 6 3

PEH 根据等体积法,得 VP-BEG=VB-PEG= S△ PEG· BE= × PG·AG· BE= × 1× × 3 = ,
1 3 1 3 1 2 1 2 1 6 3 2 1 4

P-ABCD 的体积为 VP-

17. (1) 【答案】由 = ,得 EF∥CD,
又 CD?面 BCD,EF?面 BCD,于是 EF∥面 BCD. ∵EF?面 BEF 且面 BCD∩面 BEF=l,∴EF∥l.


所以三棱锥 P-BEG 的体积为 .

1 4

19.

第 23 页 共 28 页............................................................................................................................. ............................................................................................................................. ................................................................................................................................... 第 24 页 共 28 页

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(1) 【答案】当 θ=2 时,则 B1,C1 恰好是 AB 和 CD 中垂线上的点,故 F 是 B1C1 的中点,当 G 是 A1D1
的中点时,C1F
──────

π



A1G,故 A1FC1G 是平行四边形,C1G∥A1F,∴C1G∥平面 A1BF.

又因为 OH∩GH=H,OH,GH?平面 BDGH, 所以平面 BDGH∥平面 AEF. 8分

(3) 【答案】由第 2 问,得 AC⊥平面 BDEF,
又因为 AO= 2,四边形 BDEF 的面积 S? BDEF=3×2 2=6 2,

所以四棱锥 A-BDEF 的体积 V1= ×AO×S? BDEF=4.

1 3

学校:____________姓名:___________班级:____________考号:____________

同理,四棱锥 C-BDEF 的体积 V2=4.

(2) 【答案】由第 1 问知 F 是 B1C1 中点,故1 - = 1 - = -1 .
由圆柱的几何特征知,FB1⊥平面 ABB1, ∴FB1=2,由三角形面积公式得,△1 = × 4× 2=4,
1 2

所以多面体 ABCDEF 的体积 V=V1+V2=8.

12 分

21. (1) 【答案】取 AB 的中点 G,连接 FG,CG. ∵F 是 AE 的中点,∴FG∥BE. 又∵BE∥CD,∴CD∥FG. ∴C,D,F,G 四点共面. 2 分 ∵AC,BC,CD 两两垂直, ∴CD⊥平面 ABC,∴CD⊥AB. ∵BC=AC,∴AB⊥CG. 又 CG∩CD=C,∴AB⊥平面 CDFG.5 分 ∵FD?平面 CDFG, ∴AB⊥DF.6 分 (2) 【答案】设 CD=x,则
V 多面体 ABC-DF=V 四棱锥 A-BCDE-V 四棱锥 F-BCDE= S 梯形 BCDE· - = × ( 2+x)×2×1=
1 3 1 2 1 1 3 2 4 2 . 3

∴1 - = -1 = × 4× 2= .

1 3

8 3

20. (1) 【答案】因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 又因为平面 BDEF⊥平面 ABCD,平面 BDEF∩平面 ABCD=BD,且 AC?平面 ABCD, 所以 AC⊥平面 BDEF. 4分 (2) 【答案】在△ CEF 中,因为 G,H 分别是 CE,CF 的中点,

解得 x=3 2,即线段 CD 的长为 3 2. 12 分

所以 GH∥EF, 又因为 GH?平面 AEF, EF?平面 AEF, 所以 GH∥平面 AEF, 设 AC∩BD=O,连接 OH, 在△ ACF 中,因为 OA=OC, CH=HF,所以 OH∥AF, 又因为 OH?平面 AEF,AF?平面 AEF, 所以 OH∥平面 AEF,

22. (1) 【答案】如图,由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰△ PDC 中 DC 边的中点,故 PE⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PE?平面 PAC,PE⊥AC,所以 PE⊥平面 ABC,从 而 PE⊥AB.

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因∠ABC= ,EF∥BC,故 AB⊥EF.

π 2

从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE,EF 都垂直,所以 AB⊥平面 PFE.

(2) 【答案】设 BC=x,则在直角△ ABC 中,
AB= 2 - 2 = 36- 2 ,

从而 S△ ABC= AB· BC= x 36- 2 .

1 2

1 2



由 EF∥BC 知,

2 = = ,得△ 3

AFE∽△ABC,故

△ 2 2 4 = = ,即 △ 3 9

S△ AFE= S△ ABC.

4 9

封 线

由 AD= AE,S△ AFD= S△ AFE= ·S△ ABC= S△ ABC= x 36- 2 ,

1 2

1 2

1 4 2 9

2 9

1 9

内 不

从而四边形 DFBC 的面积为 SDFBC=S△ ABC-S△ AFD= x 36- 2 - x 36- 2 = x 36- 2 .

1 2

1 9

7 18



由第 1 问知,PE⊥平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高. 在直角△ PEC 中,PE= 2 - 2 = 42 -22 =2 3.

答 题

体积 VP-DFBC= · SDFBC· PE= · x 36- 2 · 2 3=7,

1 3

1 7 3 18

故得 x -36x +243=0,解得 x =9 或 x =27,由于 x>0,可得 x=3 或 x=3 3.

4

2

2

2

所以,BC=3 或 BC=3 3.

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