圆锥曲线定点定值最值范围问题学案

圆锥曲线定点定值最值范围问题
适用学科 适用区域 知识点
数学 江苏 1, 直线和圆的方程 2, 直线和圆的位置关系 3, 椭圆和双曲线的方程和性质 4, 圆锥曲线的热点问题

适用年级

高三

课时时长 (分钟) 120

学习目标

1, 学习圆锥曲线的几何性质 2, 学习直线和圆椭圆的综合问题 3, 定点定值和最值范围问题

学习重点 学习难点

定点定值和范围问题 定点定值和范围问题解析几何综合题

教学过程
一、复习预习
【高考考情解读】 纵观近几年高考,解析几何是重要内容之一,所占分值在 30 分以上, 大题小题同时有,除了本身知识的综合,还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成 综合题,多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质,三种圆锥曲 线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题,难度较高,还有可能涉 及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题,重点关注定点、定值及最值、 范围问题.

1

二、知识讲解
考点/易错点 1 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法: 将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若 Δ >0,则直 线与椭圆相交;若 Δ=0,则直线与椭圆相切;若 Δ<0,则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法: 将直线方程与双曲线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①若 a≠0,当 Δ >0 时,直线与双曲线相交;当 Δ=0 时,直线与双曲线相切;当 Δ <0 时,直线与双曲线相离. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法: 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0(或 ay2 +by+c=0). ①当 a≠0 时,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点. 考点/易错点 2 有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系,“设而不求”;有关焦点弦长 问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算. (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2), 则所得弦长 P1P2= |x2-x1|或 P1P2= 系,即作如下变形: |x2-x1|= x1+x2
2-4x 1x2,

1+k2

1 1+ 2|y2-y1|, 其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用根与系数的关 k

2

|y2-y1|=

y1+y2

2-4y

1y2.

(2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间距离公式). 考点/易错点 3 弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”来简化运算. 考点/易错点 4 轨迹方程问题

(1)求轨迹方程的基本步骤: ①建立适当的平面直角坐标系,设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法). ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系. ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化. ④化简整理方程——简化. ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性. (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:将几何关系直接翻译成代数方程; ②定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程; ③代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; ④交轨法:写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹; (3)注意①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图 形,而轨迹方程则是代数表达式.步骤②⑤省略后,验证时常用途径:化简是否同解变 形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等.

三、例题精析
【例题 1】曲线方程的求法及其简单应用 【题干】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 B: ( x ? 1) ? y ? 16 与点 A(-1,0),
2 2

P 为圆 B 上的动点,线段 PA 的垂直平分线交直线 PB 于点 R,点 R 的轨迹记为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 与 x 轴正半轴交点记为 Q,过原点 O 且不与 x 轴重合的直线与曲线 C 的交点
3

记为 M,N,连结 QM,QN,分别交直线 x=t(t 为常数,且 t≠2)于点 E,F,设 E,F 的纵坐标分别为 y1 , y 2 , 求y1 ? y 2 的值(用 t 表示). 【答案】 (1)连结 RA,由题意得 RA=RP,RP+RB=4, x2 y2 所以 RA+RB=4>AB=2,由椭圆定义,得点 R 的轨迹方程为 + =1. 4 3 (2)设 M(x0,y0),则 N(-x0,-y0),QM,QN 的斜率分别为 kQM,kQN, y0 y0 则 kQM= ,kNQ= , x0-2 x0+2 所以直线 QM 的方程为 y= y0 (x-2),直线 QN 的方程为 y= (x-2). x0-2 x0+2 y0 y0

令 x=t(t≠2),则 y1=

y0 (t-2),y2= (t-2), x0-2 x0+2

x2 y2 3 2=3- x2. 又点 M(x0,y0)在椭圆 + =1 上,所以 y0 0 4 3 4

所以 y1·y2= 2 (t-2)2= x0-4

y2 0

? 3 ? ? 3- x2 t-2 0? ? 4 ?
x2 0-4

2

3 =- (t-2)2,其中 t 为常数且 t≠2. 4 【解析】 (1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为圆锥曲线,则可考虑用 定义法或待定系数法求解. (2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时,可以用相关点法,利用相关点法 求解曲线方程需要注意两个方面:一是准确定位,即确定联动点,动点的轨迹可能与多 个动点相关,但要抓住与其一起联动的点;二是找准关系,即根据已知准确求出动点与 其联动点的坐标之间的关系,然后代入联动点所在曲线方程求解. 【例题 2】

4

→ → → → 【题干】设 F(1,0),点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且MN=2MP,PM⊥PF. (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; → → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线 C 上的点,且|AF|,|BF|,|DF|成等差数 列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时,求 B 点坐标. 【答案】 (1)y2=4x(x≠0)(2)B(1,±2). y → → 【解析】(1)设 N(x,y),则由MN=2MP,得 P 为 MN 的中点,所以 M(-x,0),P(0, ). 2 y → → → → → 又PM⊥PF得PM·PF=0,PM=(-x,- ), 2 y → PF=(1,- ),所以 y2=4x(x≠0). 2 (2)由(1)知 F(1,0)为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点 P0(x0,y0)到 F 的 p 距离等于其到准线的距离,即 P0F=x0+ , 2 p → p → p → 所以|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,|DF|=x3+ , 2 2 2 → → → 根据|AF|,|BF|,|DF|成等差数列,得 x1+x3=2x2, y3-y1 y3-y1 4 直线 AD 的斜率为 = 2 = , x3-x1 y3 y2 y1+y3 1 - 4 4 y1+y3 所以 AD 中垂线方程为 y=- (x-3), 4 x1+x3 y1+y3 x1+x3 又 AD 中点( , )在直线上,代入上式得 =1, 2 2 2 即 x2=1,所以点 B(1,±2).

5

【例题 3】圆锥曲线中的定值、定点问题 x2 y2 1 【题干】 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 l 经过椭圆 C 的右 a b 2 焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λ AF,MB=μ BF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ +μ 的值是否为定值?若是,求出 λ +μ 的值;否则,说明理由; (3)连结 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点? 若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由. 【解析】(1)待定系数法;(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消 y 后可得点
→ → → → A,B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式MA=λ AF,MB=μ BF把 λ ,μ 用点 A,B 的横坐 标表示出来,只要证明 λ +μ 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定值,否则就不是定值;(3) 先根据直线 l 的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线 AE,BD 的交点坐标,如果直线 AE,BD 相交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点,这样只要证明直线 AE,BD 都经过这个 定点即证明了两直线相交于定点,否则两直线就不相交于定点.

【答案】

(1)依题意得 b=

c 1 3,e= = ,a2=b2+c2, a 2

x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为 y=k(x-1),求得 l 与 y 轴交于 M(0,-k), 又 F 坐标为(1,0),设 l 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2),

y=k x-1 ? ? 由?x y + =1, ? ?4 3
2 2



6

消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 8k2 4k2-12 ∴x1+x2= , x , 1x 2= 3+4k2 3+4k2 → → 又由MA=λ AF,∴(x1,y1+k)=λ (1-x1,-y1), ∴λ = x1 ,同理 μ = , 1-x2 x2

1-x1

x1 x2 x1+x2-2x1x2 ∴ λ +μ = + = 1-x1 1-x2 1- x1+x2 +x1x2 8k2 = 3+4k 2 4k2-12 3+4k2 8 =- . 4k2-12 3

- 2

8k2 1- + 3+4k2 3+4k2

8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ +μ 的值为定值- . 3 (3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相

?5 ? 交于 FK 的中点 N? ,0?, ?2 ?
猜想,当直线 l 的倾斜角变化时,

?5 ? AE 与 BD 相交于定点 N? ,0?, ?2 ?
证明:由(2)知 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴D(4,y1),E(4,y2),当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线

?5 ? AE 过定点? ,0?, ?2 ?
y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1 5 y2-y1 ? 3? 当 x= 时,y=y2+ ·?- ? 2 4-x1 ? 2?

7



2 4-x1

·y2-3 y2-y1

2 4-x1 2 4-x1 ·k x2-1 -3k x2-x1 2 4-x1 -8k-2kx1x2+5k x1+x2 2 4-x1 -8k 3+4k2 -2k 4k2-12 +5k·8k2 2 4-x1 · 3+4k2 =0.







?5 ? ∴点 N? ,0?在直线 lAE 上. ?2 ? ?5 ? 同理可证,点 N? ,0?也在直线 lBD 上. ?2 ? ?5 ? ∴当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点? ,0?. ?2 ?
【例题 3】 【题干】(2013·陕西)已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线,证明:直线 l 过定点.

【答案】如图,设动圆圆心为 O1(x,y),由题意,得 O1A=O1M, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的 中 点, ∴O1M= 又 O1A= ∴ x-4 x2+42, x-4
2+y2= 2+y2,

x2+42,

化简得 y2=8x(x≠0).
8

又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (2)证明 由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中 Δ =-32kb+64>0. 8-2bk 由根与系数的关系得,x1+x2= , k2 ① b2 x 1x 2= 2 , k y1 y2 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线,所以 =- , x1+1 x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时 Δ >0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直线 l 过定点(1,0). 【解析】 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的 问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的. (2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定 点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). ③ ②

【例题 3】圆锥曲线中的最值范围问题

9

x2 y2 【题干】 (2013·浙江)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点, a b C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

? ?b=1, 【答案】 (1)由题意得? ?a=2. ?

x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1.(2)设 A(x1, y1), B(x2, 4

y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d= 1 k2+1 ,

所以 AB=2

4-d2=2

4k2+3 k2+1

.又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.

? ?x+ky+k=0, 由? ?x2+4y2=4. ?
8 所以 PD= k2+1 4+k2

8k 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故 x0=- . 4+k2

1 8 4k2+3 .设△ABD 的面积为 S,则 S= ·AB·PD= , 2 4+k2 ≤ 2 32 4k2+3· 13 16 13 = , 13

所以 S=

32 4k2+3+ 13 4k2+3

4k2+3

10

当且仅当 k=±

10 10 时取等号.所以所求直线 l1 的方程为 y=± x-1. 2 2

【解析】

求最值及参数范围的方法有两种:①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数 关系式,将其代入由题目列出的不等式(即为消元),然后求解不等式;②由题目条件和 结论建立目标函数,进而转化为求函数的值域. 【例题 3】 【题干】 已知椭圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O, 从每条曲线上的各取两个点,其坐标如下表所示: x y (1)求 C1,C2 的标准方程; π (2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C,D 两点,且椭圆 C1 的左焦点 F 在 6 以线段 CD 为直径的圆的外部,求 m 的取值范围. x2 y2 【答案】 (1)椭圆 C1 的方程为 + =1,抛物线 C2 的方程为 y2=9x. 6 2
(2)m 的取值范围是(-2 3,-3)∪(0,2 3)

1 -3

- 0

6

4 -6

3 1

【解析】 (1)先判断出(- 6,0)在椭圆上,进而断定点(1,-3)和(4,-6)在抛物线上,故( 3,1)

x2 y2 在椭圆上,所以椭圆 C1 的方程为 + =1,抛物线 C2 的方程为 y2=9x. 6 2 3 (x-m), 3

(2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),直线 l 的方程为 y=

11

3 ? y= ? 3 x-m 由? x y ? ? 6 + 2 =1,
2 2

消去 y 整理得 2x2-2mx+m2-6=0,

由 Δ >0 得 Δ =4m2-8(m2-6)>0,即-2

3<m<2

3



m2-6 3 3 1 而 x1x2= ,x1+x2=m,故 y1y2= (x1-m)· (x2-m)= [x1x2-m(x1+x2)+m2] 2 3 3 3 m2-6 → → .欲使左焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆的外部,则FC·FD>0, 6



→ → 又 F(-2,0),即FC·FD=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4>0. 整理得 m(m+3)>0,即 m<-3 或 m>0.②由①②可得 m 的取值范围是(-2 3,-3)∪(0,2 3).

四、课堂运用
【基础】 1. 已知方程 x2 k+1 + y2 3-k = 1(k∈R) 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是

________.

2. △ABC 的顶点 A(-5,0)、B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹 方程是________________.

x2 y2 3. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中 4 3 → → 上的任意一点,则OP·FP的最大值为________.
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心和左焦点,点 P 为椭圆

【巩固】 x2 y2 1. 直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m

x2 2. 设 F1、F2 为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两点, 4 → → 当四边形 PF1QF2 面积最大时,PF1·PF2 的值等于________.

【拔高】 x2 y2 2 1. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左、右焦点分别是 F1、F2, a b 2 过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 E、G 两点,且△EGF2 的周长为 4 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、 B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足OA+OB → → → 2 =tOP(O 为坐标原点),当|PA-PB|< 5 时,求实数 t 的取值范围. 2.

3

课程小结
1. 求轨迹与轨迹方程的注意事项
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(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中, 发现动点 P 的运动规律, 即 P 点满足 的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. (2)求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解 (即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程 表示).检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形. 2. 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值 能达到事半功倍的效果. 3. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解 决; (2)代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立起目标函数, 再求这个函数的最值,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系; ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; ④利用基本不等式求出参数的取值范围; ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

课后作业
【基础】 1. 直线 3x-4y+4=0 与抛物线 x2=4y 和圆 x2+(y-1)2=1 从左到右的交点依次为 A, AB B,C,D,则 的值为________. CD

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y2 2.已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物 3 线 y2=18x 上,则实数 m 的值为________.

【巩固】 1. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2,且两条曲线 在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 PF1=10,椭圆与双 曲线的离心率分别为 e1,e2,则 e1·e2 的取值范围是________.

2.已知抛物线方程为 y2=4x, 直线 l 的方程为 x-y+4=0, 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的 距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为________.

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【拔高】 x2 y2 1. 已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D,椭 a b 圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 l:x = 10 分别交于 M,N 两点. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值.

2.在平面直角坐标系中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 1 PB 的斜率之积为- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;

2,0),B(-

2,0),直线 PA 与

(2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q 不重合),求证:直线 MQ 过 x 轴上一定点.

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x 2 y2 3 x y 3.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,左顶点 M 到直线 + =1 的距离 d= a b 2 a b 4 5 5

,O 为坐标原点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值; (3)在(2)的条件下,试求△AOB 的面积 S 的最小值.

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