浙江专版2019版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件_图文

高考数学 §6.3 等比数列 知识清单 考点一 等比数列的有关概念及运算 1.如果一个数列从第二项起,每一项与其前一项的比等于 ① 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列 an?1 的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为② an =q(n∈N*) . 2.如果a,G,b成③ 等比数列 ,那么G叫做a与b的等比中项,且G= ④ ± ab . 3.等比数列的通项公式为an=⑤ a1qn-1 和an=⑥ amqn-m . an a1 an am 4.等比数列的公比公式为qn-1=⑦ 和qn-m=⑧ . 5.等比数列的前n项和公式 ?na1 (q ? 1), ? Sn= ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1). ? 考点二 别地,a1an=a2an-1=…. 等比数列的性质及应用 1.m,n,p,q∈N*,若⑨ m+n=p+q ,则am,an,ap,aq的关系为aman=apaq,特 2.若{an}和{bn}均是等比数列,则{manbn}仍为等比数列. 3.若公比q≠-1,则等比数列中依次k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …成等比数列,其公比为⑩ qk . 方法技巧 方法 1 等比数列中“基本量法”的解题策略 在等比数列中,把等比数列中的已知条件转化为关于首项和公比的方 程,解方程组求出首项和公比的方法称为基本量法. 在等比数列{an}中,一般参与运算的量为a1,q,n,an,Sn,若已知其中三个,则 可求出其余两个,即“知三求二”,但要注意其多解性. 例1 (2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,11)已知等比数列{an}的首项 为1,前3项的和为13,且a2>a1,则数列{an}的公比为 的前10项和为 . ,数列{log3an} 解题导引 利用“基本量法”,求得q→利用等差数列求和公式得结论 解析 设数列{an}的公比为q,由题易知,1+q+q2=13,所以q=-4(舍)或q=3, 所以an=3n-1,log3an=n-1,故S10= 答案 3;45 评析 本题考查等比数列的概念,利用“基本量”法求公比和数列通 项,等差数列求和公式等基础知识,考查运算求解能力和方程思想. 10 ? 9 =45. 2 方法 2 等比数列的性质及应用的解题策略 在等比数列{an}中,经常用到的性质: 1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am· an=ap· aq,反之也成立. 2.若等比数列{an}的前n项积为Pn,则P2n-1= an (n∈N*). 3.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且公比q≠-1,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成 等比数列. 2 n ?1 例2 (2017浙江镇海中学第一学期期中,13)已知实数列{an}是等比数 列,若a2a5a8=8,则 1 4 9 + + 的最小值是 a1a5 a1a9 a5 a9 . 解题导引 1 4 9 利用等比数列性质化简 + + →利用基本不等式得结论 a1a5 a1a9 a5 a9 解析 由a2a5a8=8,得a5=2,则 ∵ 1 4 1 9 9 + + = 2 + 2 +1. a1a5 a1a9 a5 a9 a3 a7 6 1 9 6 3 2 2 a a + ≥ = = , 当且仅当 9 = 时取等号. 3 7 2 2 2 2 2 a3 a7 a3 a7 a5 2 2 3 ,a7=2 3 .故当 3 1 4 2 3 9 5 a3= ,a7=2 3 时, + + 取最小值,最小值为 . 3 a1a5 a1a9 a5 a9 2 ∵a5>0,∴a3>0,a7>0,从而有a7=3a3,又a3a7= a52 =4,所以a3= 答案 5 2 方法 3 等差、等比数列的综合问题的解题策略 在解决等差、等比数列综合问题时,一般采用以下策略: 1.利用“整体法”,在等差数列中,Sn= 体,巧用性质,减少运算量. 2.把等差数列、等比数列的通项和前n项和看成关于n的函数,借助函数 与方程思想解决等差与等比数列的综合问题. 3.等差数列与等比数列之间是可以转换的,如{an}是正项等比数列,则 {logaan}(a>0,且a≠1)为等差数列,从而可以用类比的方法,把等差数列的 一些性质类比到等比数列中. a1 ? an a1 ? an ×n,可把 看成一个整 2 2 例3 (2017浙江镇海中学第一学期期中,18)已知单调递增的等比数列 {an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=anlog2an,其前n项和为Sn,若(n-1)2≤m(Sn-n-1)对n≥2恒成立,求实 数m的取值范围. 解题导引 利用“基本量”法求得an→利用错位相减法得Sn→分离变量,构造函数, 转化为求函数的最值→利用函数的单调性得最值→结论 解析 (1)设等比数列的公比为q, 由题意可知:2(a3+2)=a2+a4,又a2+a3+a4=28, ∴a3=8,a2+a4=20. ? a1 ? 32, ? a1q 2 ? 8, ?a1 ? 2, ? ∴? 解得 ( 舍 ), 或 ? 1 ? 3 a q ? a q ? 20, q ? ?q ? 2, 1 ? 1 ? 2 ? ∴an=2n. (2)由(1)知,bn=n· 2n, ∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn=2×2+2×23+3×24+…+n×2n+1, 两式相减得-Sn=2+22+23+…+2n-n· 2n+1, ? 2 ? 2n?1 n ?1 ? n+1 ? n ? 2 ∴Sn=- ? 1 ? 2 ? =(n-1)2 +2. ? ? 若(n-1)2≤m(Sn-n-1)对n≥2恒成立,则(n-1)2≤m[(n-1)2n+1+2-n-1]对n

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