高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案(含解析)新人教A版选修23

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理 一名游客从沈阳出发去长沙游玩,已知从沈阳到长沙每天有 7 个航班、6 列火车. 问题 1:该游客从沈阳到长沙的方案可分几类? 提示:两类,即乘飞机、坐火车. 问题 2:这几类方案中各有几种方法? 提示:第 1 类方案(乘飞机)有 7 种方法,第 2 类方案(坐火车)有 6 种方法. 问题 3:该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法? 提示:共有 7+6=13 种不同的方法.
1.完成一件事有两类不同的方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案 中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法.
2.完成一件事有 n 类不同的方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案 中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,则完成这件事共有 N=m1 +m2+…+mn 种不同的方法.
1.分类加法计数原理中各类办法相互独立,各类办法中的各种方法也相互独立,用任 何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
2.要清楚“完成一件事”的含义,即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中 具体所指的是什么.
3.分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类. 分步乘法计数原理
一名游客从沈阳出发去长沙游玩,但需在北京停留,已知从沈阳到北京每天有 7 个航班, 从北京到长沙每天有 6 列火车.
问题 1:该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤? 提示:两个,即先乘飞机到北京,再坐火车到长沙. 问题 2:完成每一步各有几种方法? 提示:第 1 个步骤有 7 种方法,第 2 个步骤有 6 种方法. 问题 3:该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法? 提示:共有 7×6=42 种不同的方法.

1.完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方 法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.
2.完成一件事需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方 法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,则完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方 法.
1.分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步,各个步骤相互依存,完不成其中任 何的一步都不能完成这件事,只有当各个步骤都完成之后,才能完成该事件.
2.要清楚“完成一件事”的含义,即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中 具体所指的是什么.
3.分步时,首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准,标准不同,分的步骤数也 会不同.

分类加法计数原理

某校高三共有三个班,各班人数如下表.

男生数 女生数 总数

高三(1)班

30

20

50

高三(2)班

30

30

60

高三(3)班

35

20

55

(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?

(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,

有多少种不同的选法?

(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席,共有三类不同的方案:

第 1 类,从高三(1)班中选出 1 名学生,有 50 种不同的选法;

第 2 类,从高三(2)班中选出 1 名学生,有 60 种不同的选法;

第 3 类,从高三(3)班中选出 1 名学生,有 55 种不同的选法.

根据分类加法计数原理知,从三个班中选 1 名学生任学生会主席,共有 50+60+55=

165 种不同的选法.

从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任学生会生活部部长,共

有三类不同的方案:

(2)第 1 类,从高三(1)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法;

第 2 类,从高三(2)班男生中选出 1 名学生,有 30 种不同的选法; 第 3 类,从高三(3)班女生中选出 1 名学生,有 20 种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学 生任学生会生活部部长,共有 30+30+20=80 种不同的选法.
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
若 x,y∈N*,且 x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数. 解:按 x 的取值进行分类: x=1 时,y=1,2,3,4,5,共构成 5 个有序自然数对; x=2 时,y=1,2,3,4,共构成 4 个有序自然数对; …… x=5 时,y=1,共构成 1 个有序自然数对. 根据分类加法计数原理,共有 N=5+4+3+2+1=15 个有序自然数对.
分步乘法计数原理 从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位偶数. (1)三位数有三个数位:
百位 十位 个位 故可分三个步骤完成: 第 1 步,排个位,从 1,2,3,4 中选 1 个数字,有 4 种方法; 第 2 步,排十位,从剩下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法; 第 3 步,排百位,从剩下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 4×3×2=24 个满足要求的三位数. (2)分三个步骤完成: 第 1 步,排个位,从 2,4 中选 1 个,有 2 种方法; 第 2 步,排十位,从余下的 3 个数字中选 1 个,有 3 种方法;

第 3 步,排百位,只能从余下的 2 个数字中选 1 个,有 2 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有 2×3×2=12 个满足要求的三位偶数.
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
一个口袋里有 5 封信,另一个口袋里有 4 封信,各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里各取 1 封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的 9 封信,分别投入 4 个邮筒,有多少种不同的投法? 解:(1)各取 1 封信,不论从哪个口袋里取,都不能算完成了这件事,因此应分两个步 骤完成,由分步乘法计数原理知,共有 5×4=20 种不同的取法. (2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑,第 1 封信投入邮筒有 4 种可能,第 2 封信仍有 4 种可能……第 9 封信还有 4 种可能,所以共有 49 种不同的投法.
两个计数原理的综合应用 王华同学有课外参考书若干本,其中有 5 本不同的外语书,4 本不同的数学书,3 本 不同的物理书,他欲带参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带 1 本去图书馆,则有多少种不同的带法? (2)若带外语、数学、物理参考书各 1 本,则有多少种不同的带法? (3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆,则有多少种不同的带法? (1)完成的事情是带一本书,无论带外语书,还是数学书、物理书,事情都已完成, 从而确定应用分类加法计数原理,结果为 5+4+3=12(种). (2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理书中各选 1 本后, 才能完成这件事,因此应用分步乘法计数原理,结果为 5×4×3=60(种). (3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理,有 5×4=20 种选法;同样, 选外语书、物理书各 1 本,有 5×3=15 种选法;选数学书、物理书各 1 本,有 4×3=12 种选法.即有三类情况,应用分类加法计数原理,结果为 20+15+12=47(种).
在用两个计数原理处理问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分 类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则,在“分步”时 要正确设计“分步”的程序,注意“步”与“步”之间的连续性.

有一项活动,需在 3 名老师、8 名男同学和 5 名女同学中选部分人员参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同的选法? (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师、一名同学参加,有多少种不同的选法? 解:(1)有三类:3 名老师中选一人,有 3 种方法;8 名男同学中选一人,有 8 种方法; 5 名女同学中选一人,有 5 种方法. 由分类加法计数原理知,有 3+8+5=16 种选法. (2)分三步:第 1 步选老师,有 3 种方法;第 2 步选男同学,有 8 种方法;第 3 步选女 同学,有 5 种方法. 由分步乘法计数原理知,共有 3×8×5=120 种选法. (3)可分两类,每一类又分两步. 第 1 类,选一名老师再选一名男同学,有 3×8=24 种选法; 第 2 类,选一名老师再选一名女同学,共有 3×5=15 种选法. 由分类加法计数原理知,共有 24+15=39 种选法.
1.计数时出现的“遗漏”
有红、黄、蓝旗各 3 面,每次升 1 面、2 面或 3 面旗纵向排列在某一旗杆上,表示不 同的信号,顺序不同也表示不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?
每次升 1 面旗可组成 3 种不同的信号;每次升 2 面旗可组成 3×3=9 种不同的信号; 每次升 3 面旗可组成 3×3×3=27 种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可组成 3+9 +27=39 种不同的信号.
1.求解时,易忽略信号可分为每次升 1 面、每次升 2 面、每次升 3 面这三类. 2.解决此类问题一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止 重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连续性.
某外语小组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日语,

从中选出会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组,有多少种不同的选法? 解:共分三类:第 1 类,当既会英语又会日语的人被当作会英语的人时,选出只会日语
的一人即可,有 2 种选法;第 2 类,既会英语又会日语的人被当作会日语的人时,选出只会 英语的一人即可,有 6 种选法;第 3 类,既会英语又会日语的人都不参加该二人组时,则需 从只会日语和只会英语的人中各选一人,有 2×6=12 种方法,故共有 2+6+12=20 种选法.

1.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一

套,则不同的配法种数为( )

A.7

B.12

C.64

D.81

解析:选 B 要完成长裤与上衣配成一套,分两步:第 1 步,选上衣,从 4 件上衣中任

选一件,有 4 种不同选法;第 2 步,选长裤,从 3 条长裤中任选一条,有 3 种不同选法.故

共有 4×3=12 种不同的配法.

2.已知集合 M={-2,1,3},N={-4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐

标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )

A.18

B.17

C.16

D.10

解析:选 B 分两类:第 1 类,M 中的元素作横坐标,N 中的元素作纵坐标,则有 3×3

=9 个在第一、二象限内的点;第 2 类,N 中的元素作横坐标,M 中的元素作纵坐标,则有 4×2

=8 个在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理,共有 9+8=17 个点在第一、二象限

内.

3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚数

有________个.

解析:第 1 步取 b 的数,有 6 种方法;第 2 步取 a 的数,也有 6 种方法.根据分步乘法

计数原理,共有 6×6=36 个虚数.

答案:36

4.一学习小组有 4 名男生、3 名女生,任选一名学生当数学课代表,共有________种

不同选法;若选男、女生各一名当组长,共有________种不同选法.

解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有 4 种选法;另一类是从

女生中选,有 3 种选法.根据分类加法计数原理,共有 4+3=7 种不同选法.

若选男、女生各一名当组长,需分两步:第 1 步,从男生中选一名,有 4 种选法;第 2

步,从女生中选一名,有 3 种选法.根据分步乘法计数原理,共有 4×3=12 种不同选法.

答案:7 12 5.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法? 解:(1)由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有 8+7=15 种取法. (2)由分步乘法计数原理得, 从中任取两个不同颜色的球共有 8×7=56 种取法.

一、选择题

1.若 x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},则 x·y 的不同值个数是( )

A.2

B.6

C.9

D.8

解析:选 C 求积 x·y 需分两步取值:第 1 步,x 的取值有 3 种;第 2 步,y 的取值有

3 种,故有 3×3=9 个不同的值.

2.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平

面个数为( )

A.40

B.16

C.13

D.10

解析:选 C 分两类:第 1 类,直线 a 与直线 b 上 8 个点可以确定 8 个不同的平面;第

2 类,直线 b 与直线 a 上 5 个点可以确定 5 个不同的平面.故可以确定 8+5=13 个不同的

平面.

3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土

地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有( )

A.24 种

B.18 种

C.12 种

D.6 种

解析:选 B 法一(直接法):若黄瓜种在第一块土地上,则有 3×2×1=6 种不同的种

植方法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上均有 3×2×1=6 种不同的种植方法.故共

有 6×3=18 种不同的种植方法.

法二(间接法):从 4 种蔬菜中选出 3 种种在三块地上,有 4×3×2=24 种方法,其中不

种黄瓜有 3×2×1=6 种方法,故共有 24-6=18 种不同的种植方法.

4.设集合 A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},定义 A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪

B},则 A*B 中元素个数是( )

A.7

B.10

C.25

D.52

解析:选 B A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},x 有 2 种取法,y 有 5 种取法.由

分步乘法计数原理得 2×5=10.

5.用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能

相邻出现,这样的四位数有( )

A.36 个

B.18 个

C.9 个

D.6 个

解析:选 B 分三步完成,1,2,3 这三个数中必有某一个数字被重复使用 2 次.

第 1 步,确定哪一个数字被重复使用 2 次,有 3 种方法;

第 2 步,把这 2 个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有 3 种方法;

第 3 步,将余下的 2 个数字排在四位数余下的两个位置上,有 2 种方法.

故有 3×3×2=18 个不同的四位数.

二、填空题

6.加工某个零件分三道工序.第一道工序有 5 人,第二道工序有 6 人,第三道工序有

4 人,从中选 3 人每人做一道工序,则选法有________种.

解析:从第一、第二、第三道工序中各选一人的方法数依次为 5,6,4,由分步乘法计数

原理知,选法总数为 N=5×6×4=120.

答案:120

7.如图,从 A→C 有________种不同的走法.

解析:分为两类,不过 B 点有 2 种走法,过 B 点有 2×2=4 种走法,共有 4+2=6 种走 法.
答案:6 8.如图所示,由电键组 A,B 组成的串联电路中,合上两个电键使电灯 发光的方法有________种. 解析:只有在合上 A 组两个电键中的任意一个之后,再合上 B 组三个电 键中的任意一个,才能使电灯发光.根据分步乘法计数原理共有 2×3=6 种不同的方法接通电源,使电灯发光. 答案:6 三、解答题 9.若直线方程 Ax+By=0 中的 A,B 可以从 0,1,2,3,5 这五个数字中任取两个不同的数 字,则方程所表示的不同直线共有多少条?

解:分两类完成: 第 1 类,当 A 或 B 中有一个为 0 时,表示的直线为 x=0 或 y=0,共 2 条. 第 2 类,当 A,B 不为 0 时,直线 Ax+By=0 被确定需分两步完成: 第 1 步,确定 A 的值,有 4 种不同的方法; 第 2 步,确定 B 的值,有 3 种不同的方法. 由分步乘法计数原理知,共可确定 4×3=12 条直线. 由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有 2+12=14 条. 10.设有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不同的水彩画. (1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法? 解:(1)分三步完成:第一步选国画有 5 种;第二步选油画有 2 种;第三步选水彩画有 7 种.根据分步乘法计数原理得,共有 5×2×7=70 种不同的选法. (2)分三类:第一类,选国画和油画共有 5×2=10 种;第二类,选国画和水彩画共有 5×7 =35 种;第三类,选油画和水彩画共有 2×7=14 种.根据分类加法计数原理共有 10+35 +14=59 种不同的选法.
11.如图所示,要给“三”“维”“设”“计”四个区域分别涂 上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域 必须涂不同的颜色,有多少种不同的涂色方法?
解:“三”“维”“设”“计”四个区域依次涂色,分四步完成: 第 1 步,涂“三”区域,有 3 种选择; 第 2 步,涂“维”区域,有 2 种选择; 第 3 步,涂“设”区域,由于它与“三”“维”区域颜色不同,有 1 种选择; 第 4 步,涂“计”区域,由于它与“维”“设”区域颜色不同,有 1 种选择. 所以根据分步乘法计数原理,共有 3×2×1×1=6 种不同的涂色方法.


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