广东省湛江市2012—2013学年高一下学期期末调研考试数学试题


湛江市 2012—2013 学年度第二学期期末调研考试 高中数学(必修④ )试卷 、⑤
说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 三 15 16 17 18 19 20

题号 得分





总分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入下面答题卡中。 题号 选项 1.已知向量 a ? (2, x) ,b ? (1 , 4) ,若 a⊥b,则实数 x 的值为 A. 8 2.2sin75°cos75°的值为 A. ? B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分

1 2

C. ?

1 2

D. ? 2

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

3.已知 a>b,c>d,且 c、d 不为 0,则下列不等式恒成立的是 A.

a b ? c d

B. ac ? bd

C. a ? c ? b ? d

D. a ? c ? b ? d

4.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25

5.在△ABC 中,A=60° ,a= 3,b= 2,则 A.B=45° 135° 或 B.B=135° C.B=45° D.以上答案都不对

6.如图阴影部分用二元一次不等式组表示为

y?2 ? A. ? ?2 x ? y ? 4 ? 0
y?2 ? ? x?0 C. ? ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

? 0? y?2 ? B. ? x ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

? 0? y?2 ? D. ? x ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

? ? ? ? ? ? b 7.已知 a ? 3 , b ? 2 3 , a? ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角是
A. 30 ? 8.若 xy ? 0 ,则对 B. 60 ? C. 120 ? D. 150 ?

x y ? 说法正确的是 ks5u y x
B.有最小值 2 D.无法确定 ,若前 n 项的和 S n ? 10 ,则项数 n n ?1 ? n ( n ? N * )

A.有最大值 ? 2 C.无最大值和最小值 9.数列{an}的通项公式 an ? 为 A. 10 B. 11

10.函数 f x? ? ? >0,0≤ ?<2 ? ) 的部分图象如下图,则 () sin( ) x (x∈R, ? ?

C. 120

D. 121

? ? , ?= 4 4 ? ? C. ? = , ?= 2 4
A. ? =

? 5? , ?= 4 4 ? ? D. ? = , ?= 3 6
B. ? =

y 1 o 1 3 x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。ks5u 11.已知数列 {an } 的通项公式 an ? n 2 ? n ? 3(n ? N * ) ,则 a3 ? .

2 sin ? ? cos α ? 1,那么 tan ? 的值为 3 sin ? ? 2 cos α x ?1 ? 0 的解集为 13.不等式 . x?2
12.如果 14.把函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

.

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸 4


长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得函数图象的解析式为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (1,2) , b ? (?3,2) . (1)求 | a ? b | 和 | a ? b | ; (2)当 k 为何值时, (ka ? b) //(a ? 3b) .

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

16. (本小题满分 12 分) 我舰在敌岛 A 处南偏西 50° B 处, 的 发现敌舰正离开 A 岛沿北偏西 10° 的方向以每小时 10 海里的速度航行,我舰要用 2 小时的时间追赶敌舰,设图中的 C 处是我舰追上敌舰的地 点,且已知 AB 距离为 12 海里. (1)求我舰追赶敌舰的速度; (2)求∠ABC 的正弦值.
[来源

17.(本小题满分14分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a4 ? ?3 , S5 ? ?25 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {| an |} 的前 20 项和 T20 .

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(

?
2

? x) ? sin x .

(1)求函数 y ? f (x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f (? ?

?
4

)?

? 2 ,求 f (2? ? ) 的值. 4 3

19. (本小题满分 14 分) 某公司利用 A、B 两种原料生产甲、乙两种产品,每生产 1 吨产品所需要的原料及利润 如下表所示: A 种原料(单位:吨) B 种原料(单位:吨) 利润(单位: 万元) 甲种产品 乙种产品 1 2 2 1 3 4

公司在生产这两种产品的计划中,要求每种产品每天消耗 A、B 原料都不超过 12 吨。 求每天生产甲、乙两种产品各多少吨,使公司获得总利润最大?最大利润是多少?

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 an ? 是首项 a1 ? 1 的等比数列,其前 n 项和 Sn 中, S3 、 S4 、 S2 成等差数列. (1)求数列 an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 log 1 an ? 1,求数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ;
2

?

?

(3)求满足 (1 ?

1 1 1 1013 的最大正整数 n 的值. )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? T2 T3 Tn 2013

湛江市 2012—2013 学年度第二学期期末调研考试 高中数学(必修④ )试题 、⑤ 参考答案及评分意见

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入下面答题卡中。 题号 选项 1 C 2 C 3 D 4 B 5 C 6 B 7 C 8 B 9 C 10 A 得分

二、填空题:本大题共有 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11. 9 ; 12. 3 ; 13. ? ??, ?1? ? ? 2, ? ?? 14. y ? cos x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ a ? (1,2) , b ? (?3,2) , ∴ a ? b ? (?2,4) ,a ? b ? (4,0) , …………………ks5u………………………………4 分 ∴ | a ? b |? (?2)2 ? 42 ? 2 5 , | a ? b |? (?4)2 ? 02 ? 4 . ……………………6 分 (2)

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? (k ? 3,2k ? 2) , ? ? a ? 3b ? ( 1 , ? ) ? 3 ( ? , 2 ) ( 1 ………………………………………………8 分 2 3 ? ,0, 4)

若 (ka ? b) //(a ? 3b) ,则 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2)? 0, ……………………………………10 分 解得 k ? ? 12 分 16. (本小题满分 12 分)
来源

?

?

?

?

1 . ……………………………………………………………………………… 3

解: (1)在△ABC 中,由已知,AC=10×2=20(海里),AB=12(海里) , ∠BAC=180°-50°-10°=120°. ………………………………………………1 分 ks5u 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 120° =784, ………………4 分 ∴BC=28 海里, ……………………………………………………………5 分 ∴v=14 海里/小时. …………………………………………………………6 分 (2)在△ABC 中,根据正弦定理,得

AC BC ? sin ?ABC sin ?BAC
……………………………………9 分

所以 sin ?ABC ?

AC sin ?BAC 20 sin120? 5 3 .…………………11 分 ? ? BC 28 14 5 3 .…………………………………………………12 分 14

故∠ABC 的正弦值是

17.(本小题满分14分) 解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由条件得

? a1 ? 3d ? ?3 ? ?5a1 ? 10d ? ?25


, …………………………………………………………………4

?a1 ? ?9 ? d ?2 , 解得 ?
………………………………………………………………… …6 分 所以 {an } 通项公式 an ? ?9 ? 2(n ? 1) ,即 an ? 2n ? 11.……………………………… 7分 (2)令 2n ? 11 ? 0 ,解得 n ? 8分

11 , …………………………………………………………… 2

∴ 当 n ? 5 时,an ? 0 ;当 n ? 6 时,an ? 0 , ………………………………………… 9分 ∴

T20 ? a1 ? a2 ? ? ? a20 ? ?(a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? a6 ? a7 ? ? ? a20 ………………10 分
? ?2(a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? ? a20 )

? ?2S5 ? S 20
…12 分

………………………………………………………………………………

? ?2[5 ? (?9) ?

5? 4 20 ? 19 ? 2] ? [20 ? (?9) ? ? 2] 2 2

? 250 .………………………………………………………………………………………
…14 分 18. (本小题满分 14 分)ks5u 解: (1) f ( x ) ? sin(

?
2

? x) ? sin x

? cos ?s i n x x

…………………………………………………………………………1 分

? 2(
…2 分

2 2 sin x ? cos x) 2 2

………………………………………………………

? 2 sin( x ?
……3 分 最 小

?
4

) ……………………………………………………………………









T?

2? ? 2? .……………………………………………………………………4 分 1


?

?
2

? 2k? ? x ?


?
4

?

?
2

? 2k? , ……………………………………………………………5 分 ? 3? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? 4 4




k ? Z .……………………………………………………6 分


y ? f (x)

















[?

3? ? ? 2k? , ? 2k? ] 4 4



k ? Z . ……………………………7 分
(2)由(1)可知 f ( x ) ? ∴ f(? ? 9分 ∴ f (2? ?

2 sin( x ?

?
4

),

?
4

)?

2 sin ? ?

1 2 , sin ? ? . …………………………………… 得 3 3

?

? ?? ) ? 2 sin ? 2? ? ? 4 2? ?

?

2 cos 2?

…………………………………………………………… 11 分

?

2 1 ? 2 sin 2 ?

?

?

…………………………………………………… 13 分

[

?
… 14 分

7 2 . …………………………………………………………………… 9

19. (本小题满分 14 分) 解:设生产 x 吨甲种产品, y 吨乙种产品,总利润为 Z(万元) , 则约束条件为

? x ? 2 y ? 12 ?2 x ? y ? 12 ? ,……………………………………………………………………………… ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
……4 分 目 标 函 数 为

Z ? 3x ? 4 y ,………………………………………………………………………5 分
可行域为下图中的阴影部分:ks5u

………………………… …9 分

3 1 x? z 4 4 当目标函数直线经过图中的点 M 时, Z 有最大值,……………………………………………
化目标函数为斜截式方程: y ? ? 10 分 联立方程组 ?

? x ? 2 y ? 12 , ?2 x ? y ? 12
所以 M (4,4) , ………………………………………………………………12

解得 ? 分 将?

?x ? 4 , ?y ? 4

?x ? 4 代入目标函数得 Z Max ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 28(万元) . ?y ? 4

答:公司每天生产甲、乙两种产品都是 4 吨时,公司可获得最大利润,最大利润为 28 万元. …………………14 分 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)若 q ? 1 ,则 S 3 ? 3 , S 4 ? 4 , S 2 ? 2 ,显然 S3 , S4 , S2 不构成等差数列, ∴ q ? 1.

a1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 2 ) 故由 S3 , S4 , S2 成等差数列得: 2 ? ? ? 1? q 1? q 1? q
2分 ∴ 2q ? q ? q
4 3 2

…………

? 2q2 ? q ?1 ? 0 ? (2q ? 1)(q ? 1) ? 0 ,

∵ q ? 1 ,∴ q ? ?

1 .………………………………………… 2

ks5u………………………………4 分 ∴

1 1 a n ? 1 ? (? ) n ?1 ? (? ) n ?1 .……………………………………………………………5 2 2
分 (2)∵ bn ? 2 log 1 an ? 1 ? 2 log 1 (? ) n?1 ? 1 ? 2 log 1 ( ) n?1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1
2 2 2

1 2

1 2

…………… 7 分 ∴

Tn = ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1?
? n ?1 ? 2n ? 1? 2

? n2 .…………………………………………………………………………
……9 分 (3) ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ?

? 1? ?1 ? ? ? Tn ? ? ?

? ? 1 ?? 1? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2 ?? 3 ? n ? ? ?
? 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 n2 ? 1 ? ? ??? 22 32 42 n2

?
…11 分

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n2

……………………………………………

?
13 分

n ?1 . ……………………………………………………………………………………… 2n
n ? 1 1013 11 ? ,解得: n ? 154 . 2n 2013 13
满 足 条 件 的 最 大 正 整 数

令 故

n







154 . ………………………………………………14 分

说明:以上各题只给出一种解(证)法,若还有其他解(证)法,请酌情给分。

ks5u


相关文档

【解析版】广东省广州市执信中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
广东省湛江市2012—2013学年高一下学期期末调研考试物理试题 Word版含答案
广东省湛江市2012-2013学年高一上学期期末数学试题
广东省肇庆市2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题
广东省湛江市2012—2013学年高一下学期期末调研考试生物试题
广东省湛江市2012—2013学年高一下学期期末调研考试政治试题
广东省湛江市2012—2013学年高一下学期期末调研考试英语试题
广东省湛江市2012—2013学年高一下学期期末调研考试历史试题
广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题
电脑版