高中数学2-4正态分布课件新人教A版选修_图文

2.4 【课标要求】 正态分布 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线 1. 所表示的意义. 了解变量落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ- 2. 3σ,μ+3σ]的概率大小. 会用正态分布去解决实际问题. 3. 【核心扫描】 1.正态分布曲线的特点及其所表示的意义.(重点) 2.正态分布中参数μ,σ的意义及其对正态分布曲线形状的影 响.(易混点) 3.利用正态分布解决实际问题.(难点) 自学导引 1.正态曲线的概念 2 ( x - μ ) 1 e- ,x∈(-∞,+∞) 2 2σ 2π σ 函数φμ,σ(x)=___________________________________ , 其中实数μ、σ(σ>0)是参数,称φμ,σ(x)的图象为正态分布 密度曲线,简称正态曲线. 想一想:函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义是什么? 提示 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数, 可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大 小的特征数,可以用样本标准差去估计. 2. 正态分布 (1)一般地,若对于任何实数,a,b(a<b),随机变量X满 φ μ ,σ (x)dx 足P(a<X≤b)=____________,则称X服从正态分布. ?b ? ? ?a N(μ,σ2) ,若X服从正态分布,记作 (2)正态分布记作:_________ X~N(μ,σ2) ____________. 想一想:若随机变量X~N(μ,σ2),则X是离散型随机变量 吗? 提示 若 X~N(μ,σ2),则 X 不是离散型随机变量,由正态 b ? φμ,σ( x)dx 可知, X 可取 (a, 分布的定义:P(a<X≤b)=? ? ? a b]内的任何值,故 X 不是离散型随机变量,它是连续型随机 变量. 3.正态曲线的特点 (x-μ) 1 正态曲线 φμ ,σ (x)= e- ,x∈(-∞,+∞) 2 2 σ 2π σ 有以下性质: 上方 ,与 x 轴_______ 不相交 ; (1)曲线位于 x 轴_____ 直线x=μ 对称; (2)曲线是单峰的,它关于__________ 1 x=μ 处达到峰值σ 2π ; (3)曲线在______ ________ 2 (4)曲线与x轴之间的面积为___ 1 ; (5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿 _____平移; x轴 (6) 当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越 “_____”,表示总体的分布越_____ ;σ越大,曲线越 “_____” 瘦高 ,表示总体的分布越_____ 集中 . 分散 矮胖 试一试:如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲 线N(0,σ2)图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系如何? 1 x2 提示 当 μ=0,σ=1 时,正态曲线 f(x)= e- 在 x=0 时 2 2π 1 取最大值 ,故 σ2=1,由正态曲线的性质,当 μ 一定时, 2π 曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦高”,σ 越大,曲线 越“矮胖” ,于是有σ1<σ2=1<σ3.故 σ1<σ2<σ3. 4.正态分布的3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 0.682 P(μ-σ<X≤μ+σ)=_______ ,6 0.954 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= _______ ,4 0.997 P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= _______ .4 (2)3σ原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量 (μ-3σ,μ+3σ) 之间的值,并简称之为_______ 3σ原则 X只取_________________ . 试一试:已知随机变量X~N(0,1),你能求出X在区间 (-3,+∞)内取值的概率吗? 提示 由 X~N(0,1)可知,μ=0,σ=1. 结合密度函数的图象可知 1 1 P(X≥-3)= P(-3≤X≤3)+ =0.998 7. 2 2 名师点睛 1.正态曲线 正态曲线指的是一个函数的图象,这个函数就是总体的概 (x-μ) 1 率密度函数,其解析式是 φμ ,σ (x)= e- . 2 2 σ 2π σ 对于这个函数解析式,要注意下面几点: 2 (1)函数的自变量是x,定义域是R,即x∈(-∞,+∞). (2)解析式中含有两个常数:π和e,这是两个无理数,其 中π是圆周率,e是自然对数的底数,即自然常数. (3)解析式中含有两个参数:μ和σ.其中μ可取任意实数; σ>0.在不同的正态分布中μ、σ的取值是不同的,这是 正态分布的两个特征数. 1 (4)解析式中前面有一个系数 ,后面是一个以 e 为底数 2π σ (x-μ)2 的指数函数的形式,幂指数为- ,其中 σ 这个参数 2 2σ 在解析中的两个位置上出现,注意两者的一致性. 2.正态分布 (1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间 在(a,b]上的概率等于总体密度函数在[a,b]上的定积分 值.也就是指随机变量X的取值区间在(a,b]上时的概率 等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图 形的面积. (2)正态分布是自然界最常见的一种分布,例如:测量的 误差;人的身高、体重等;农作物的收获量;工厂产品的 尺寸:直径、长度、宽度、高度……都近似地服从正态分 布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而 每个因素所起的作用不太大,则这个指标服从正态分布. (3)在正态分布N(μ,σ2)中,参数μ是反映随机变量取值的 平均水平的特征数,即总体随机变量的期望值或均值,它 可以用样本的期望值或均值去估计,其取值是任意的实 数.参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数,即总 体随机变量的标准差,它可以用样本的标准差去估计,其 取值范围是正数,即σ>0. (4)从正态曲线可以看出,对于固定的μ和σ而言,随机变 量取值在(μ-σ,μ

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