品味一道数学题的多种解法

品味一道数学题的多种解法 2013 年人民教育出版社出版的幼儿师范学校 教科书《数学》 (下册)第 57 页《曲线的交点》后面 有这样一道练习题:求与曲线 x2-y2=1 只有一个公共 点的直线方程。 根据例题提供的思路,通常可以这样求解: 解: (分两种情况讨论)情况 1:如果直线斜率不 存在,设直线方程为 x=a,则可联立方程组: x2-y2=1 ① x=a ② ②式代入①式得 a2-y2=1,即 y2-a2+1=0 ∵只有一个公共点 ∴?=4(a2-1)=0 ∴a=±1 于是斜率不存在时直线方程为 x=1 或 x=-1. 情况 2: 如果直线斜率存在为 k, 直线在 y 轴上的 截距为 b,设直线方程为 y=kx+b x2-y2=1 ① y=kx+b ② ②式代入①式得 x2(1-k2)-2kbx-(b2+1)=0

1) 要分析这个方程解的情况应讨论: 1) 当 1-k2=0 也即 k=±1 时,上面的方程变为-2kbx-(b2+1)=0, 很显然, 当 b≠0 时方程只有一个解, 原方程组也就只 有一个解,说明已知直线与曲线只有一个公共点,所 以直线方程为 y=±x+b(b≠0) 。2)当 1-k2≠0,也即 k≠±1 时,上面的方程是关于 x 的一元二次方程 ∵?=4k2b2+4(1-k2) (b2+1)=4b2+4-4k2=0 ∴k2=b2+1(k≠±1) 所以直线方程为 y=kx+b(k2=b2+1,k≠±1) 总之,满足已知条件的直线有三类:1.直线 x=1 或 x=-1;2.直线 y=x+b(b≠0) ;3.直线 y=kx+b(k≠ ±1,k2=b2+1) 。 当然若设直线方程为 Ax+By+C=0, 再与已知曲线 方程联立形成方程组,也可以得到结果。与上面解法 可以归为同类方法,因为都使用了代数法解决问题。 解的过程中需要缜密思考,不可有丝毫疏忽大意,可 以深刻感受到逻辑推理之美,值得品味。 把两条曲线的交点问题转化为两条曲线的方程联 立形成方程组的解的问题,从而用代数方法解决几何 问题,整个过程不用顾及曲线是什么形状,可以用不 变应万变。这种方法优点是严密的逻辑性,以及应用 的广泛性;不足是缺乏直观,方法过于模式化。如果

能把代数的方程与曲线的几何图形联系起来,也能让 学生体会到数学美之所在, 这样看来, 该题若放在 《双 曲线》一节之后出现,学生的思路就会更开阔。 学习了双曲线的有关知识后, 学生就知道 x2-y2=1 表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线,顶点(-1,0) , (1, 0) ,两条渐近线为 y=±x,大致图像为: 联系图形分析:在坐标系中设想一条运动(可平 移、旋转)的直线,容易得出下面的结果: 1)当直线与 y 轴平行,也即直线斜率不存在时, 只有经过双曲线顶点的直线 x=±1 与双曲线相切且只 有一个公共点。 2)与渐近线 y=±x 平行(不含重合)的直线,与 双曲线的一支必相交,只有一个公共点,此时直线方 程为 y=±x+b(b≠0) 。 3)当直线与 y 轴、渐近线 y=±x 都不平行时,设 直线斜率存在为 k, 直线在 y 轴上的截距为 b, 当=|k|1, 即 k>1 或 k1,也即 k≠±1) 。 这种解法既形象又直观,体现了代数与几何的统 一,尽收数学之美,从点滴着眼,感悟数学中的曲线 之美、运动之美、逻辑推理之美等,可以好好品味。 不过这种解法对学生提出了更高的知识要求,学生需 要理解并灵活运用所学的知识,并能用运动的观点解

决数学问题,这时才能领悟“会当凌绝顶,一览众山 小”之美。


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