人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第三章直线与方程习题课

数学 学习目标 1.能熟练求出两直线的交点坐标 .2.理解直线过定点的含义.3.能解决简单的对称 问题.4.体会坐标法的基本思想. 知识点一 两直线的交点坐标 已知直线:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,点 A(a,b). (1)若点 A 在直线 l:Ax+By+C=0 上,则有:Aa+Bb+C=0. (2)若点 A 是直线 l1 与 l2 的交点,则有: ?A1a+B1b+C1=0, ? ? ?A2a+B2b+C2=0. ? 知识点二 两直线的位置关系 ? ?A1x+B1y+C1=0 方程组? 的解 ?A2x+B2y+C2=0 ? 一组 一个 相交 无数组 无数个 重合 无解 零个 平行 直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系 知识点三 两点间的距离公式 (1)条件:点 P1(x1,y1),P2(x2,y2). (2)结论:|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (3)特例:点 P(x,y)到原点 O(0,0)的距离|OP|= x2+y2. 类型一 直线恒过定点问题 例 1 求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一定点,并 求出这个定点坐标. 证明 方法一 对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 数学 令 m=0,得 x-3y-11=0; 令 m=1,得 x+4y+10=0. 解方程组? ? ?x-3y-11=0, ?x+4y+10=0, ? 得两条直线的交点坐标为(2,-3). 将点(2,-3)代入方程组左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0. 这表明不论 m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 方法二 将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)= 0. 由于 m 取值的任意性,有? ?2x+y-1=0, ? ? ?-x+3y+11=0, ? ?x=2, 解得? ?y=-3. ? 所以不论 m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线 的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解. (2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0, 其中 λ 是参数, 这就说明了它表示的直线必过定点, 其定点可由方程组? ? ?A1x+B1y+C1=0, ?A2x+B2y+C2=0 ? 解得.若整理成 y-y0=k(x-x0)的形式,则表示所有直线必过定点(x0,y0). 跟踪训练 1 不论 m 为何实数,直线 (m - 1)x + (2m - 1)y = m - 5 恒过的定点坐标是 ________________. 答案 (9,-4) 取 m=1,得直线 y=-4. 解析 方法一 1 取 m= ,得直线 x=9.故两直线的交点为(9,-4), 2 下面验证直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过点(9,-4). 数学 将 x=9,y=-4 代入方程,左边=(m-1)· 9-4· (2m-1)=m-5=右边, 故直线恒过点(9,-4). 方法二 直线方程可变形为(x+2y-1)m-(x+y-5)=0, ∵对任意 m 该方程恒成立, ∴? ? ?x+2y-1=0, ?x+y-5=0, ? ? ?x=9, 解得? ?y=-4, ? 故直线恒过定点(9,-4). 类型二 对称问题 命题角度1 关于点对称问题 例 2 (1)求点 P(x0,y0)关于点 A(a,b)的对称点 P′的坐标; (2)求直线 3x-y-4=0 关于点(2,-1)的对称直线 l 的方程. 解 (1)根据题意可知点 A(a,b)为 PP′的中点, 设 P′点的坐标为(x,y), x+x ? ?a= 2 , 则根据中点坐标公式得? y+y ? ?b= 2 , 0 0 ? ?x=2a-x0, 所以? ?y=2b-y0. ? 所以点 P′的坐标为(2a-x0,2b-y0). (2)方法一 设直线 l 上任意一点 M 的坐标为(x,y), 则此点关于点(2,-1)的对称点为 M1(4-x,-2-y), 且 M1 在直线 3x-y-4=0 上, 所以 3(4-x)-(-2-y)-4=0, 即 3x-y-10=0. 所以所求直线 l 的方程为 3x-y-10=0. 方法二 在直线 3x-y-4=0 上取两点 A(0,-4),B(1,-1), 则点 A(0,-4)关于点(2,-1)的对称点为 A1(4,2), 数学 点 B(1,-1)关于点(2,-1)的对称点为 B1(3,-1). 可得直线 A1B1 的方程为 3x-y-10=0, 即所求直线 l 的方程为 3x-y-10=0. 反思与感悟 (1)点关于点的对称问题:若两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于点 P(x0,y0)对称,则 x +x ? ?x = 2 , P 是线段 AB 的中点,并且? y +y ? ?y = 2 . 1 2 0 1 2 0 (2)直线关于点的对称问题:若两条直线 l1,l2 关于点 P 对称,则:①l1 上任意一点关于点 P 的对称点必在 l2 上,反过来,l2 上任意一点关于点 P 的对称点必在 l1 上;②若 l1∥l2,则点 P 到直线 l1,l2 的距离相等;③过点 P 作一直线与 l1,l2 分别交于 A,B 两点,则点 P 是线段 AB 的中点. 跟踪训练 2 与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是( A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 答案 D 解析 由平面几何知识易知所求直线

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