人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第三章直线与方程习题课


数学 学习目标 1.能熟练求出两直线的交点坐标 .2.理解直线过定点的含义.3.能解决简单的对称 问题.4.体会坐标法的基本思想. 知识点一 两直线的交点坐标 已知直线:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,点 A(a,b). (1)若点 A 在直线 l:Ax+By+C=0 上,则有:Aa+Bb+C=0. (2)若点 A 是直线 l1 与 l2 的交点,则有: ?A1a+B1b+C1=0, ? ? ?A2a+B2b+C2=0. ? 知识点二 两直线的位置关系 ? ?A1x+B1y+C1=0 方程组? 的解 ?A2x+B2y+C2=0 ? 一组 一个 相交 无数组 无数个 重合 无解 零个 平行 直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系 知识点三 两点间的距离公式 (1)条件:点 P1(x1,y1),P2(x2,y2). (2)结论:|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (3)特例:点 P(x,y)到原点 O(0,0)的距离|OP|= x2+y2. 类型一 直线恒过定点问题 例 1 求证:不论 m 取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 都经过一定点,并 求出这个定点坐标. 证明 方法一 对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0, 数学 令 m=0,得 x-3y-11=0; 令 m=1,得 x+4y+10=0. 解方程组? ? ?x-3y-11=0, ?x+4y+10=0, ? 得两条直线的交点坐标为(2,-3). 将点(2,-3)代入方程组左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=0. 这表明不论 m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 方法二 将已知方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0 整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)= 0. 由于 m 取值的任意性,有? ?2x+y-1=0, ? ? ?-x+3y+11=0, ? ?x=2, 解得? ?y=-3. ? 所以不论 m 取什么实数,所给直线均经过定点(2,-3). 反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线 的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解. (2)方法二:含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0, 其中 λ 是参数, 这就说明了它表示的直线必过定点, 其定点可由方程组? ? ?A1x+B1y+C1=0, ?A2x+B2y+C2=0 ? 解得.若整理成 y-y0=k(x-x0)的形式,则表示所有直线必过定点(x0,y0). 跟踪训练 1 不论 m 为何实数,直线 (m - 1)x + (2m - 1)y = m - 5 恒过的定点坐标是 ________________. 答案 (9,-4) 取 m=1,得直线 y=-4. 解析 方法一 1 取 m= ,得直线 x=9.故两直线的交点为(9,-4), 2 下面验证直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 恒过点(9,-4). 数学 将 x=9,y=-4 代入方程,左边=(m-1)· 9-4· (2m-1)=m-5=右边, 故直线恒过点(9,-4). 方法二 直线方程可变形为(x+2y-1)m-(x+y-5)=0, ∵对任意 m 该方程恒成立, ∴? ? ?x+2y-1=0, ?x

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