2019人教A版高中数学必修二课件:1-3空间几何体的表面积与体积1-3-2_图文

A版· 必修2 第一章 空间几何体 1. 3 空间几何体的表面积与体积 球的体积和表面积 1.3.2 课前自主预习 知识点 球的体积和表面积 1.球的体积 如果球的半径为 R,那么它的体积 V= 2.球的表面积 如果球的半径为 R,那么它的表面积 S= 4 1 πR3 □ 3 2 4πR2 □ . . 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径.( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径.( √ ) R (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V= 3 S.( √ ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) 1 (1)表面积为 4π 的球的半径是________ . 4π 3 (2)直径为 2 的球的体积是________ . 4 (3)(教材改编,P28,T3)已知一个球的体积为3π,则此球 的表面积为_______ . 4π 3.(教材改编, P27, 例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c, 则这个球的表面积是( c2 A.4π c2 B.2π c2 C. π ) D.2πc2 课堂互动探究 探究 1 例1 球的体积与表面积 (1)已知球的直径为 6 cm,求它的表面积和体积; (2)已知球的表面积为 64π,求它的体积; 500 (3)已知球的体积为 3 π,求它的表面积. 解 (1)∵直径为 6 cm, ∴半径 R=3 cm. ∴表面积 S 球=4πR2=36π(cm2), 4 3 体积 V 球=3πR =36π(cm3). (2)∵S 球=4πR2=64π, ∴R2=16,即 R=4. 4 3 4 256 3 ∴V 球=3πR =3π×4 = 3 π. 4 500 (3)∵V 球=3πR3= 3 π, ∴R3=125,R=5. ∴S 球=4πR2=100π. 拓展提升 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径 R 或者通过 条件能求出半径 R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的关键要素, 把握住这两点, 计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 【跟踪训练 1】 (1)两个球的半径相差 1,表面积之差 364π 3 为 28π,则它们的体积和为________ . (2)已知球的大圆周长为 16π cm,求这个球的表面积. 答案 (2)见解析 解析 得 (1)设大、小两球半径分别为 R,r,则由题意可 ?R-r=1, ?R=4, ? ∴? 2 2 ?4πR -4πr =28π, ?r=3. 4 3 4 3 364π ∴它们的体积和为3πR +3πr = 3 . (2)设球的半径为 R cm,由题意可知 2πR=16π,解得 R =8,则 S 球=4πR2=256π(cm2). 探究 2 例2 面积和体积. 球的三视图 某个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表 解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方 体,上部是半径为 1 的半球,该几何体的表面积为 1 S=2×4π×12+6×22-π×12=24+π. 该几何体的体积为 1 4 2π 3 V=2 +2×3π×1 =8+ 3 . 3 拓展提升 (1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积, 关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义. (2)求解表面积和体积时,要避免重叠和交叉. 【跟踪训练 2】 积为( ) 某几何体的三视图如图所示,它的体 A.72π B.48π C.30π D.24π 解析 由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立 圆锥体的组合体,球的半径为 3,圆锥的底面半径为 3,高 1 4 1 3 为 4,根据体积公式可得组合体的体积为2×3π×3 +3 π×32×4=30π. 探究 3 例3 A. 6π 球的截面问题 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O ) B. 4 3 π C.4 6π D.6 3π 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( 解析 利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点, 则 OO′= 2,O′M=1, ∴OM= ? 2?2+1= 3,即球的半径为 3, 4 ∴V=3π×( 3)3=4 3π. 拓展提升 球的截面的性质 (1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何 问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键, 因此在解决球的有 关问题时, 我们必须抓住球的轴截面, 并充分利用它来分析 解决问题. (2)利用球的半径、 球心到截面圆的距离、 截面圆的半径 可构成直角三角形,进行相关计算. 【跟踪训练 3】 如图,有一个水平放置的透明无盖的 正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容 器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,若不 计容器厚度,则球的体积为( ) 500π A. 3 cm3 866π B. 3 cm3 C. 1372π 3 cm 3 2048π D. 3 cm3 解析 如图, 作出球的一个截面, 则 MC=8-6=2(cm), 1 1 BM=2AB=2×8=4(cm).设球的半径为 R cm,则 R2=OM2+MB2=(R-2)2+42, 4 500 ∴R=5,∴V 球=3π×53= 3 π(cm3). 【跟踪训练 4】 球的表面积为 400π,一个截面的面积 6 为 64π,则球心到截面的距离为________ . 解析 如图,由已知条件知球的半径 R=10,截面圆的 半径 r=8, ∴球心到截面的距离 h= R2-r2=6. 探究 3 例4 球的组合体问题 设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点 ) B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 都在一个球面上

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