湖南省新化县第四中学高中数学课件《2.3-2等差数列的前n项和)》必修五


2.3 等差数列的前n项和 第二课时 问题提出 1.等差数列的递推公式是什么? an - an - 1 = d (n ? 2) an-1+an+1=2an(n≥2) 2.等差数列的通项公式是什么?在结构 上它有什么特征? an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+q. 在结构上是关于n的一次函数. 3.等差数列前n项和的两个基本公式是什 么? n(n ? 1)d n (a1 + a n ) Sn = , S n ? na1 ? 2 2 4.深入研究等差数列的概念与前n项和公 式及通项公式的内在联系,可发掘出等 差数列的一系列性质,我们将对此作些 简单探究. 探究(一):等差数列与前n项和的关系 n (a1 + a n ) , 思考1:若数列{an}的前n和 S n = 2 那么数列{an}是等差数列吗? {an}是等差数列 ? S n n (a1 + an ) 2 思考2:将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数,这个函数有什 么特点? n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数. 思考3:一般地,若数列{an}的前n和 Sn=pn2+qn,那么数列{an}是等差数列 吗?若Sn=pn2+qn+r呢? ? {an}是等差数列 ?Sn=pn2+qn. Sn 思考4:若{an}为等差数列,那么 { } n 是什么数列? Sn {an}是等差数列 ? { } 为等差数列 n 思考5:等差数列的求和公式可化为 n (n - 1)d S n = nan , 2 一般地,若数列{an}的前n和 S n = nan + pn (n - 1), 那么数列{an}是等差数列吗? {an}是等差数列 ? Sn nan + pn (n - 1) 探究(二):等差数列前n项和的性质 思考1:在等差数列{an}中,Sn,S2n,S3n 三者之间有什么关系? S3n=3(S2n-Sn) 思考2:在等差数列{an}中,设S1=a2+ a4+…+a2n,S2=a1+a3+…+a2n-1, 则S 1 -S 2 与 an + 1 S1 = S1-S2=nd, S a S1 S2 分别等于什么? 思考3:设等差数列{an}、{bn}的前n项 an 和分别为Sn、Tn,则 等于什么? bn an S 2 n ?1 ? bn T2 n ?1 思考4:在等差数列{an}中,若a1>0, d<0,则Sn是否存在最值?如何确定其 最值? 当ak≥0,ak+1<0时,Sk为最大. 理论迁移 2 4 例1 设等差数列 5, 4 , 3 , 7 7 的前n项和为Sn,求当n为何值时Sn取最 大值. n =7 或8 例2 设等差数列{an}的公差为-2,且 a1 ? a4 ? a7 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? a97 ? 50 ,求 -82 ? a99 的值. 例3 设等差数列{an}、{bn}的前n项 和分别为Sn、Tn,若 15 23 a8 求 的值. b8 Sn 2n ? , Tn 3n ? 1 15 23 小结作业 1.以等差数列前n项和为背景可引发出许 多性质,作为研究性学习,其结论不要求 记忆,但要了解探究这些性质的数学思想 方法和技巧,并在解题中灵活运用. 2.等差数列的定义、通项公式、求和公 式是等差数列的基本知识点,在运用中 具有很大的灵活性和较强的技巧性,适 当了解等差数列的一些基本性质,会给

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