物理奥赛:力学 万有引力与天体运动_图文

第六专题
解题知识与方法研究

万有引力定律与天体运动
疑难题解答研究
例题1(天体轨道的判定) 例题2(利用万有引力作用下的质点 运动求椭圆曲率半径) 例题3(卫星“怪像”) 例题4(星球运动的阻力) 例题5(飞船着陆问题) 例题6(飞船和宇航站对接问题) 例题7(双星问题)

一、对宇宙中复杂的天体受力运动的 简化 二、引力问题的基本运动方程 三、行星绕日运动的轨道与能量

解题知识与方法研究
一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化 (1)天体通常相距很远,故可将天体处理为质点. (2)很多时候,某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的: a、可将该两天体作为二体问题处理. b、施力天体由于某些原因(如质量相对很大)在某惯性系中可认为几乎不动,这

时问题很简单(我们通常讨论的就是这种情况).
二、引力问题的基本动力学方程 如图,行星m在太阳M的有心引力作用下运动. 在太阳惯性参照系中,由牛顿运动定律和引力定律 有径向动力学方程 mar = m( dvr Mm ? rω 2 ) = ?G 2 dt r dv⊥ r =r β ) 等于零. dt v
vr

v⊥ r

m

M
太阳

r

行星的横向加速度 a⊥ r ( ≠

因为引力为有心力,故行星对太阳参考轴角动量 守恒
rmv sin ? = rmv⊥ r = r mω = 常量
2

v

v⊥ r

?

vr

m

此式变化后即得开普勒第二定律: 1 1 rv sin ? = r 2ω = 常量 2 2 表明: 开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现. 开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动. 又因万有引力为保守力,故“太阳+行星”系统的机 械能守恒 1 2 Mm mv + (?G 2 ) = 常量 2 r

M
太阳

r

当然,此方程也不限于 行星做椭圆轨道运动!

三、天体绕日运动的轨道与能量 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律(角动 量守恒、机械能守恒等)可导出在如图的极坐标下 的绕日运动的天体的轨道方程:
M

v

m
r

θ
r0
y

p L2 2 EL2 . (其中,p = , e = 1+ 2 2 3 ) . r= 1 + e cos θ GMm 2 G M m
b 轨道方程为一圆锥曲线方程: (1) E < 0时,e < 1,为椭圆, M 位于其中一个
焦点 (即开普勒第一定律);

m o c r M

θ
x

a

总能量为:

E=?

GMm 2a

y m
r

(2)E > 0时,e > 1,为双曲线的一支,M 位于
内焦点

总能量为:

GMm E= a

b O a

M F (c,0)

x

(3)E = 0时,e = 1,为抛物线,M 位于焦点. 总能量为: E =0
m

y

自行计算出上述三个能量值! (能否不用高等数学?)

O

M F

x

疑难题解答研究
例1(天体轨道的判定) 如图,太阳系中星体A做半径为R1的圆运动,星体B作抛 物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1,且两轨道在同一平面上,两星体运动方 向也相同. 设B运动到近日点时,A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆. 解 计算新星体C的机械能. 设C 距日R3 ,三星速度如图. 在径向: 可认为在A、B靠拢过程中质心未动. 所以C到太阳的距离为
R3 = mA R1 + mB R2 mA + 2mB = ? R1 mA + mB mA + mB

① C

R1

在切向: A、B合并过程中动量也守恒, 则有
(mA + mB )vC = mAv A + mB vB



B A vB v C v A
R3 R2

日(M )

研究②式中的vA、vB: 因A作圆运动,故v A = GM . R1

B作抛物线运动,机械能为零. 因而有

1 MmB 2 mB vB ? G = 0. 2 R2
C 所以
vB =
2GM GM 2GM = = (= v A ) 2 R1 R1 R2 B A vB v C v A

R1
日(M )

将vA、vB代入②得

vC =

R2 mA + 2mB R3 = ? R1 ① 利用①③,C星体的机械能为 mA + mB 1 M (mA + mB ) 2 EC = ( mA + mB )vC ? G 2 RC 题后思考 1 GM M (mA + mB ) = (mA + mB ) ? ?G 本题能不能直接判断? mA + 2mB 2 R1 ? R1 EA<0,EB=0,EA+EB=? mA + mB 1 MmA (mA + mB ) EC与(EA+EB )谁大谁小? = ? G? < 0. 2 (mA + 2mB ) R1 C的轨道是什么?
因此,新星体C的轨道为椭圆.

2GM R1



例2(利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径) 行星绕太阳作椭圆运动,已 知轨道半长轴为A,半短轴为B,太阳质量记为MS. 试用物理方法求椭圆各定点处的曲率 半径. 解 行星运动情况如图.
v3

? 3
v1

Mm v 2 只要求得顶点处的速 据 F =G 2 =m , ρ 度问题便不难解决! r
由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得 1 2 M m 1 2 M m 1 2 M m mv1 ? G S = mv2 ? G S = mv3 ? G S 2 A?C 2 A+C 2 A 1 1 1 ( A ? C )v1 = ( A + C )v2 = Av3 sin ? 2 2 2 B 由图可知 sin ? = , 代入②式得 A 1 1 1 ( A ? C )v1 = ( A + C )v2 = Bv3 2 2 2 由① ③解得
v1 = A + C GM S A ? C GM S GM S , v2 = , v3 = . B A B A A

C

2 A
v2
B

S

1

① ②

4



求顶点1处的曲率半径ρ1: m v12 = F1 = G M S m 2 ρ1 ( A ? C)

v1 =

A + C GM S B A
2

v3 ?

3

F3 v1
C
F1

B2 . 将前面得到的v1代入, 即得 ρ1 = A
求顶点3处的曲率半径ρ3: M m M m B m = F3 sin ? = G S2 sin ? = G S2 ? A ρ3 A A
2 v3

A

S

1

v2
4

B

A2 . 将前面得到的v 将前面得到的 3代入, 即得 ρ3 = B

v3 =

GM S A

题后小结与思考 椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到? 求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的 曲率半径.

例3(卫星怪像问题) 质量为m的人造卫星在绕地球(质量为Me)的飞行过程中, 由于受到微弱的摩擦阻力f(常量),不能严格按圆周轨道运动,而是缓慢地沿一螺旋 形轨道接近地球.因f 很小,轨道半径变化十分缓慢,每一周均可近似处理为半径为r的 圆周轨道,但r将逐周缩短. 试求在r轨道上旋转一周,r的改变量及卫星动能EK的改变量. 解 卫星的动能、势能、总机械能为 1 Mm 1 Mm EK = mv 2 , EP = ?G e , E = mv 2 ? G e . 2 r 2 r 在运行中万有引力作为向心力 v2 Mm m = G e2 r r 将此代入EK、E的表达式,可得到 GMm GMm , E=? 2r 2r 卫星旋转一周摩擦力做功为 EK = GMm 可知,卫星旋转时总机械能的小增量?E (实为减少)和轨道半径r 的小 2r 改变?r的关系是 M em M m GM e m?r GM e m ?E = E ( r + ?r ) ? E (r ) = (?G ≈ ? ?r. ) ? (?G e ) = 2 (r + ?r )r 2r 2(r + ?r ) 2r 由E = ?
W f = ? f (2π r )

由功能关系,当卫星旋转一周时,有 W f = ?E. 即 ? f (2π r ) = GM e m ? ?r 2r 2 EK = GMm , 2r GMm E=? . 2r

所以卫星每旋转一周,r的改变量为

?r = ?
动能的改变量为

4π r f (r减小) . GMm
3

?EK = ??E = ?(?2π rf ) = 2π rf

现在觉得“卫星怪像”还怪不怪?

例4(星体运动的阻力)一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为 ρ 的非常稀薄的气体, 由于它的引力场,此星球将吸引迎面接近它的粒子,并俘获撞在它 表面上的所有的气体分子. 设相对于速度V,分子的热运动速度可忽略. 分子间的相互作 用不计. 求作用在星体上的阻力. 解 为方便研究问题取星球为参照系. b V 气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示. 在横截面为 S = π b 的圆柱体内的分子 才能与星球相碰.
2

A

v

研究圆截面边缘上的一个分子: 设被俘获前的瞬间(A点处) 的速度为v. 由机械能守恒得 1 2 GM 1 2 v ? = V 2 R 2 由角动量守恒得 vR = Vb
2 : 联立消去,解得b b = R + v

2GMR V2

设气体受到的阻力为f(等于星球所 受阻力),由动量定理知星球在?t时间内 使气体的动量改变为
f ?t = {ρ (π b ? V ?t )}V
2

A
v

b V

得到

f = πρV 2b 2 = πρV 2 ( R 2 +
2GM 2GM = π R ρ (V + ). R
2 2

2GMR 2 ) 2 V
b = R2 +
2GMR 2GMR V2

例5(飞船着陆问题) 一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动 ,其高度h=100km. 为使飞船落到月球表面,喷气发动机在图中P点作一短时间发动. 从喷 口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s,月球半径为R=170km,月球表面的落体加 速度g=1.7m/s2. 飞船可用两种不同方式到达月球(如图所示): (1)向前喷射气流,使飞船到达月球背面的A点 (与P点相对),并相切. (2)向外喷射气流,使飞船得到一指向月球中心 的动量,飞船轨道与月球表面B点相切. 试计算上述两种情况下所需要的燃料量. 求出喷气前、后飞船的 解 喷气后,飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分 速度问题即可解决! (如图). 设飞船喷气前的速度v0,月球质量为M, 则有
2 v0 Mm m? =G ( R + h) ( R + h) 2

A

M o

P

v0 (1)

B
M o

P

v0

月球表面的重力加速度为 g = 代入上式,便得
v0 =

GM R2

gR 2 = 1652(m/s) R+h

(2)

(1)设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1. 到达 A处速度为vA. 则由角动量守恒和能量守恒得

v A R = v1 ( R + h)
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 ? G = mv A ? G 2 R+h 2 R

v1 A vA
v0 (1)

M o

P

2 gR 3 = 1628m / s 联立此两式消去vA解得 v1 = ( R + r )(2 R + h)
设喷出的气体质量为?m1, 对喷气前后的短暂过程, 由动量守恒有 mv0 = (m ? ?m1 )v1 +?m1 (v1 + u ) 解得

B M o

v2 vr v0

v0 P

?m1 = 32.4(kg).

(2) 因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获 2 的速度vr, 从而飞船的速度变为v2 = v0 + vr2 . 同样有 角动量和能量守恒方程

(2)

vB R = v0 ( R + h)
1 Mm 1 2 Mm 2 m(v0 + vr2 ) ? G = mvB ? G 2 R+h 2 R

联立此两式消去vB解得 vr =

h v0 = 97(m / s). R 设喷出的气体质量为?m2, 对喷气前后的短暂过程,

v1

在沿原半径方向上由动量守恒有

A vA

M o

P

(m ? ?m2 )vr +?m2 ( ?u + vr ) = 0
解得 燃料.

?m2 = 116.4(kg).
显然, ?m2 > ?m1. 所以选择第一种方式登月较省

v0 (1)
B M o v2 vr v0
(2)

v0
P

题后思考 仔细研究如何计算喷出 的气体相对月球的速度!

例6 质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着,其
轨道半径是地球半径的n=1.25倍. 某瞬间,飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道 运动,其最远点到地心的距离为8nR. 问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时,飞船绕地 球运行一周后正好与宇航站相遇. 解 发射前后飞船、宇航站的运动情况如图. 记地球质量为ME,发射前共同速度为u. 由

m
原轨道

u2 ( M + m) M E ( M + m) =G ( nR) 2 nR


M R
v V

u=

GM E . nR

记分离后的瞬间飞船速度为v,宇航站速度为V. 由动量守恒有 ( M + m)u = MV + mv m V ?u = M u?v ① nR 8nR

所求的比值为

进一步研究分离后飞船和宇航站的运动,求v、V:

研究分离后的飞船: 设远地心点的速度为v′, 由开普勒第二定律 及能量守恒定律有 1 1 (nR)v = (8nR )v′ 2 2 1 2 M m 1 M m mv ? G E = mv′2 ? G E 2 nR 2 8nR 由此两式解出 v =

m
M
原轨道
v′

R
v V

V′

4 GM E 4 = u 3 nR 3



r

nR

8nR

研究分离后的宇航站: 设近地心点的速度为V ′,距地心r. 由开普勒 第二定律及能量守恒定律有 1 1 (nR)V = rV ′ 2 2 1 M M 1 M M MV 2 ? G E = MV ′2 ? G E 2 nR 2 r 由此两式解出

V=

2r GM E 2r ? = ?u nR + r nR nR + r



m
研究分离后的相遇以求得r: 设飞船的周期为t,宇航站的周期为T. 由开普勒第三定律有 t2 T2 = 8nR + nR 3 nR + r 3 ( ) ( ) 2 2 即 ( 9nR 3 t ) = ( )2 nR + r T
v V

原轨道 M R V′

v′

r
nR 8nR

确定t/T: 因飞船运行一周恰好与宇航站相遇,所以
t = kT . k = 1、、、、 . 2 3 4 ??
2 3

代入上式,得 r=

9?k
2

? nR



k 3 宇航站不能与地球相碰(只要近地点不碰,其它点便不会相碰). 故应 r > R 将④代入,得

9?k
2

2

3

m
? nR > R
原轨道 M R V′
v V

即 所以

k 3 2 9?k 3 k
2 3

v′

× 1.25 > 1

k ≤ 11. 由上述①②③④式求m/M: m V ?u = = M u?v
2

2r ?u ? u nR + r = 4 u? u 3

2r ?1 nR + r 4 1? 3

r
nR 8nR ① m V ?u = M u?v 题后思考

= 3 ? 2(9 ? k 3 ).

最后结果为何与u无关? 4 GM E 4 2 m v= = u ② 要求 > 0. 即3 ? 2(9 ? k 3 ) > 0. 若分离后v、V反向,结 3 nR 3 M 果又如何? 2r 2r GM E k ≥ 10. 得 V= ? = ?u ③ m nR + r nR nR + r = 0.048, 0.153. 可见k只能取两个值:k=10,11. 相应有 2 M 9?k 3 ④ r= ? nR 2 k 3

例7 一双星系统,两颗星的质量分别为M和m(设M>m),距离为d,在引力作用 下绕不动的质心作圆周运动. 设这两颗星近似为质点. 在超新星爆炸中,质量为M的星体 损失质量?M. 假设爆炸是瞬时的、球对称的,并且对残余体不施加任何作用力(或作用 力抵消),对另一颗星也无直接作用. 试求,在什么条件下,余下的新的双星系统仍被约 束而不相互远离. v 解 需计算爆炸后的总机械能. 如图,爆炸前两星绕质心旋转. 旋转半径满足 r1 + r2 = d m M r1 = d , r2 = d. M +m M +m 旋转的角速度 ω满足 V2 v2 Mm M? = m? = G 2 . r1 r2 d
由以上诸式得到 V = m

r2 r1

m

M
V

C

G G , v=M . d ( M + m) d ( M + m)

爆炸后的瞬间,因球对称爆炸所以(M-?M)位置、速度均不变. 因爆炸对星体m也 无作用,故m的位置、速度也不变.

新系统的质心C′还在两星连线上的原处吗? 新系统的质心C′还会静止吗?

v
r2 r1
m

M
新系统的势能为 ( M ? ?M )m ′ E P = ?G d 新系统在新质心参照系中的动能为 1 1 ′ EK = ( M ? ?M )(V + vC ′ ) 2 + m(v ? vC ′ ) 2 2 2 由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为 vC ′ = mv ? ( M ? ?M )V ( mv ? MV ) + ?MV = . ( M ? ?M ) + m ( M ? ?M ) + m V

C

vC ′
( M ? ?M ) r1′

r2′

v m

C′

V

注意到式中的 (mv ? MV ) = 0. 所以 vC ′ = ?MV . ( M ? ?M ) + m

进而得到系统在新质心系中的动能为

1 ?MV ′ EK = ( M ? ?M )(v + )2 2 ( M ? ?M ) + m r1 ( M ? ?M )m 1 ?MV 2 ′ E P = ?G C + m(V ? ) M d 2 ( M ? ?M ) + m G V =m , V 新系统仍被约束的条件是 d ( M + m) ′ ′ EP + EK < 0. G v=M . d ( M + m) ′ ′ 将EP、EK的表达式代入,整理得 1 ?M < ( M + m). 2 ( M ? ?M ) r1′
题后思考 以后两星还绕新质心作圆运动吗? (严格证明你的结论!)

v
r2
m

vC ′

r2′

v m

C′

V

另解 用二体问题折合质量法 爆炸前: Mm ?= . 等效的运动如图(a). 两星折合质量 M +m

v
d

?

v2 Mm ?旋转的速度v 满足 ? = G 2 d d
得到 爆炸后:
v= G ( M + m) d

M

(a)

( M ? ?M ) m 两星折合质量 ? ′ = . 等效的运动如图(b). ( M ? ?M ) + m

v

?′

d ( M ? ?M )m . ( M ? ?M ) d 新系统的动能 EK = 1 ? ′v 2 = 1 ? ( M ? ?M )m ? ( G ( M + m) ) 2 (b) ′ 2 d 2 ( M ? ?M ) + m 1 ( M ? ?M ) m G ( M + m ) 题后思考 = ? ? . 2 ( M ? ?M ) + m d 计算两体的引力势能时 新系统的势能 EP = G ′ 代入系统约束的条件 解得
′ ′ EP + EK < 0. 1 ?M < ( M + m). 2

为何不用折合质量?

两体问题
仅有两个质点组成的孤立系统,两个质点的质量为m1、m1,相互作用力大小为f, 从m1至m2的矢径为 R.
r 取二者的质心C为参照系(惯性系). 设C到m1的矢径为 r .



r=

m1 1 R…………() m1 + m 2
m1

R

r
f

对m2,由牛顿第二定律有 d 2r f = m2 ? 2 ……………( ) 2 dt 将(1)代入(2): m1m 2 d 2 R f = ? . m1 + m2 dt 2

m1m2 = ? (称为m1与m2的折合质量, 则有 ) m1 + m2 d 2R f = ? 2 ………………( ) 3 dt

m2

f

C

(3)式表明,若取m1为参照系(一般不是惯性系,在此系中牛顿第二定律不成立) ,则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为? 的质点在中心力 f 的作用下按牛顿第二 定律所形成的运动,而无须考虑惯性力的作用.

“卫星怪象”问题
卫星(质量为m)与地球(质量为M) 系统的总能量为 Mm . 2r 1 2 Mm Mm mv + (?G ) = ?G . 2 r 2r E = ?G 于是可知 1 2 Mm Mm mv = G = ?( ?G ). 2 2r 2r 1 ( EK ) (? E )   EP ) (? 2 1 EK = ? E = ? E P . 2 1 ?EK = ??E = ? ?EP . 2 怪哉! 在总机械能减少( ? E < 0)时, 动能增加而势能却减少!? 该如何解释?



即 对两端的变化量有


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