2019-2020年高三数学第一轮复习单元讲座 第41讲 逻辑、推理与证明、复数、框图教案 新人教版

2019-2020 年高三数学第一轮复习单元讲座 第 41 讲 逻辑、推理与证
明、复数、框图教案 新人教版
一.课标要求: 1.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题;② 理解必要条件、充分条件与充要条
件的意义,会分析四种命题的相互关系; (2)简单的逻辑联结词 通过数学实例,了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 (3)全称量词与存在量词 ① 通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义; ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2.推理与证明 (1)合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类
比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用; ②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理
的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理; ③通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 (2)直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了
解分析法和综合法的思考过程、特点; ②结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法--反证法;了解反证法
的思考过程、特点; (3)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题; (4)数学文化 ①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立
宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想; ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用; 3.数系的扩充与复数的引入 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运
算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实 世界的联系;
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件; (3)了解复数的代数表示法及其几何意义; (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4.框图 (1)流程图 ①通过具体实例,进一步认识程序框图; ②通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图); ③能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用;

(2)结构图 ①通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息; ②结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用。 二.命题走向

常用逻辑用语

本部分内容主要是常用的逻辑用语,包括命题与量词,基本逻辑联结词以及充分条

件、必要条件与命题的四种形式。

预测 07 年高考对本部分内容的考查形式如下:考查的形式以选择、填空题为主,考

察的重点是条件和复合命题真值的判断。

推理证明

本部分内容主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理

科)等内容,其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表

研究性命题的发展趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主

要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,

但单独出题的可能性较小;

预计 xx 年高考将会有较多题目用到推理证明的方法。

复数

复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义,

一般是选择题、填空题,难度不大,预计今后的高考还会保持这个趋势。

预测 xx 年高考对本讲的试题难度不会太大,重视对基本问题诸如:复数的四则运算

的考查,题目多以选择、填空为主。

框图

本部分是新课标新增内容,历年高考中涉及内容很少,估计 xx 年高考中可能在选择

题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特征的形式出现;也可能以画某种知识的

结构图或解决某类问题的流程图为形式的解答题出现,但不论哪种形式,所占份量都不

会很大。

三.要点精讲

1.常用逻辑用语 (1)命题

命题:可以判断真假的语句叫命题;

逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结

词的命题。复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母 p,q,r,s,……表示命题,故复合命题有三种形式:p 或 q;

p 且 q;非 p。

(2)复合命题的真值

“非 p”形式复合命题的真假可以用下表表示:

p

非p









“p 且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示:

p

q

p且q

























“p 且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示:

p

q

P或q

























注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表;2°由真值表得:“非 p”形式复合命题

的真假与 p 的真假相反;“p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真,其他情况为假;

“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况为真;3°真值表是根据简单

命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内

容。

(3)四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的 条件,那么这两个命题叫做互为逆命题; 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫 做互否命题,这个命题叫做原命题的否命题; 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定,那么这两个命题叫 做互为逆否命题,这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命 题的真假较困难时,可转化为判断其逆否命题的真假。 (4)条件 一般地,如果已知 p q,那么就说:p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件。 可分为四类:(1)充分不必要条件,即 p q,而 qp;(2)必要不充分条件,即 pq, 而 q p;(3)既充分又必要条件,即 p q,又有 q p;(4)既不充分也不必要条件, 即 pq,又有 qp。

一般地,如果既有 p q,又有 q p,就记作:pq.“”叫做等价符号。pq 表示 p q

且 q p。

这时 p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,则 p 是 q 的充分必要条件,简称充 要条件。
(5)全称命题与特称命题 这里,短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并 用符号表示。含有全体量词的命题,叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部 分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。 2.推理与证明 (1)合情推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质

的推理,叫做归纳推理(简称归纳)。归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理; 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一
类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比)。 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事
物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般地,事物之间的各个性质之间并不是 孤立存在的,而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似,那么它们在另 一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;(4)在一般情况下,如果类比 的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠。
(2)演绎推理 分析上述推理过程,可以看出,推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题(如“全 等三角形”)推出特殊性命题的过程,这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特 殊性命题为真的推理,叫做演绎推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为 真。 (3)证明 反证法:要证明某一结论 A 是正确的,但不直接证明,而是先去证明 A 的反面(非 A) 是错误的,从而断定 A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯 定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法。 反证法的步骤:1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;2)从这个假设 出发,通过推理论证,得出矛盾;3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。 注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛 盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论。 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的 条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已 具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法。 用分析法证明不等式的逻辑关系是: 分析法的思维特点是:执果索因; 分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真,只需要证明命题为真, 从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有…… 这只需要证明命题 A 为真,而已知 A 为真,故命题 B 必为真。 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不 等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法, 用综合法证明不等式的逻辑关系是: 综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质 和公式,推出结论的一种证明方法。 3.数系的扩充与复数的引入

形如 a+bi(a,b 的数,我们把它们叫做复数,全体复数所形成的集合叫做复数集,一

般用字母 C 表示,其中 a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部。

复数的加法法则:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;复数的加法法则:(a+bi)-

(c+di)=(a-c)+(b-d)i;复数的乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;复数

的除法法则:(a+bi)(c+di)===

=+;

4.框图

(1)结构图

首先,你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的理解和透彻的掌握,从头止尾抓

住主要脉络进行分解,然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点并将其逐 一地写在矩形框内。最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连,这样就 画成了知识结构图。
认识结构图:由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线构成。 绘制结构图的步骤:1)先确定组成系统的基本要素,以及这些要素之间的关系;2) 处理好“上位”与“下位”的关系;“下位”要素比“上位”要素更为具体, “上位” 要素比“下位”要素更为抽象。3)再逐步细化各层要素;4)画出结构图,表示整个系 统。 (2)流程图 绘制流程图的一般过程:首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是 否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表达;再次,分析各步骤之间的关系;最后, 画出流程图表示整个流程。 鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端,人们开始用流程图来表示算法,这种 描述方法既避免了自然语言描述算法的拖沓冗长,又消除了起义性,且能清晰准确地表 述该算法的每一步骤,因而深受欢迎。 设计算法解决问题的主要步骤: 第一步、用自然语言描述算法; 算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更 经常地用图形方式来表示它。 第二步、画出程序框图表达算法; 第三步、写出计算机相应的程序并上机实现。 四.典例解析 题型 1:判断命题的真值 例 1.写出由下述各命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题,并指
出所构成的这些复合命题的真假。
(1)p:9 是 144 的约数,q:9 是 225 的约数。
(2)p:方程 x2-1=0 的解是 x=1,q:方程 x2-1=0 的解是 x=-1;
(3)p:实数的平方是正数,q:实数的平方是 0.
解析:由简单命题构成复合命题,一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语
言上的调整。
(1)p 或 q:9 是 144 或 225 的约数;
p 且 q:9 是 144 与 225 的公约数,(或写成:9 是 144 的约数,且 9 是 225 的约数);
非 p:9 不是 144 的约数.
∵p 真,q 真,∴“p 或 q”为真,“p 且 q” 为真,而“非 p”为假.

(2)p 或 q:方程 x2-1=0 的解是 x=1,或方程 x2-1=0 的解是 x=-1(注意,不能写

成“方程 x2-1=0 的解是 x=±1”,这与真值表不符);

p 且 q:方程 x2-1=0 的解是 x=1,且方程 x2-1=0 的解是 x=-1;

非 p:方程 x2-1=0 的解不都是 x=1(注意,在命题 p 中的“是”应理解为“都是”

的意思);

∵p 假,q 假,∴“p 或 q”与,“p 且 q” 均为假,而“非 p”为真.

(3)p 或 q:实数的平方都是正数或实数的平方都是 0;

p 且 q:实数的平方都是正数且实数的平方都是 0;

非 p:实数的平方不都是正数,(或:存在实数,其平方不是正数);

∵p 假,q 假,∴“p 或 q”与“p 且 q” 均为假,而“非 p”为真.
点评:在命题 p 或命题 q 的语句中,由于中文表达的习惯常常会有些省略,这种情 况下应作词语上的调整。
题型 2:条件 例 2 . ( 1 ) ( xx 北 京 2 ) “ ” 是 “ 直 线

(m ? 2)x ? 3my ?1 ? 0与直线(m ? 2)x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的( )

A.充分必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案:B;

解析:当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为 0 一条斜

率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。

点评:对于两条直线垂直的充要条件①都存在时②中有一个不存在另一个为零对于

②这种情况多数考生容易忽略。

(2)(xx 湖南 6)设集合 A={x|<0,B={x || x -1|<a,若“a=1”是“A∩B

≠”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A;

解析:由题意得 A:-1<x<1,B:1-a<x<a+1,

1)由 a=1。A:-1<x<1.B:0<x<2。

则 A 成立,即充分性成立。

2)反之:A,不一定推得 a=1,如 a 可能为。

综合得“a=1”是: A”的充分非必要条件,故选 A。

点评:本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识。

题型 3:四种命题

例 3.(1)(xx 江苏 13)命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为



(2)判断命题:“若没有实根,则”的真假性。

解析:(1)答案:若;

由题意原命题的否命题为“若”。

(2)很可能许多同学会认为它是假命题(原因 m=0 时显然方程有根),而它的逆否

命题:“若有实根”,显然为真,其实不然,由没实根可推得,而的真子集,由,故原命

题为真,其实,用逆否命题很容易判断它是真命题;

点评:本题考查了命题间的关系,由原命题写出其否命题。

题型 4:全称命题与特称命题

例 4.命题 p:“有些三角形是等腰三角形”,则┐p 是( )

A.有些三角形不是等腰三角形

B.所有三角形是等腰三角形

C.所有三角形不是等腰三角形

D.所有三角形是等腰三角形

解析:像这种存在性命题的否定命题也有其规律:命题 p:“存在使 P(x)成立”,

┐p 为:“对任意”,它恰与全称性命题的否定命题相反,故的答案为 C。

点评:简易逻辑题,比较抽象,不少学生在有些问题的看法上常出现一些自己也说

不清道不明的疑惑,但要依据具体的规则进行详细的处理。

题型 5:合情推理

例 5.(1)观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以

连 3 条弦,4 个点可以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,你由此可以归纳出什么规律?

(2)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间,并判断类比的结论是否成立:

1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交,则必于另一条相交。

2)如果两条直线同时垂直与第三条直线,则这两条直线平行。

解析:(1)设为个点可连的弦的条数,则

(2) 1)一个平面如和两个平行平面中的一个相交,则必然和另一个也相交,次结论成立; 2)若两个平面同时垂直第三个骗马,则这两个平面也相互平行,此结论不成立。 点评:当前提为真,结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。 题型 6:演绎推理 例 6.(06 年天津)如图,在五面体中, 点是矩形的对角线的交点,面是等边三角 形,棱。 (1)证明//平面;

(2)设,证明平面。 解析:(Ⅰ)证明:取 CD 中点 M,连结 OM. 在矩形 ABCD 中,,又, 则,连结 EM,于是四边形 EFOM 为平行四边形. 又平面 CDE,切 EM 平面 CDE,∵FO∥平面 CDE (Ⅱ)证明:连结 FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE 中,

且 EM ? 3 CD ? 1 BC ? EF 。

2

2

因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM 而 FM∩CD=M,∴CD⊥平面 EOM,从而 CD ⊥EO.而,所以 EO⊥平面 CDF。
点评:本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能 力和推理论证能力。 题型 7:特殊证法
例 7.(1)用反证法证明:如果 a>b>0,那么; (2)(06 全国 II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…。 (Ⅰ)求 a1,a2;(Ⅱ){an}的通项公式。 解析:(1)假设不大于,则或者<,或者=。 ∵a>0,b>0,∴<<,< ,a<b; =a=b.这些都同已知条件 a>b>0 矛盾,∴.

证法二(直接证法)



∵a>b>0,∴a - b>0 即, ∴,∴。 (2)(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1=12。

当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2-12,

于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0,解得 a1=16。

(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,Sn2-2Sn+1-anSn=0。

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0



由(Ⅰ)知 S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23。

由①可得 S3=34,由此猜想 Sn=n+n 1,n=1,2,3,…

下面用数学归纳法证明这个结论

(i)n=1 时已知结论成立;

(ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk=k+k 1,

当 n=k+1 时,由①得 Sk+1=2-1Sk,即 Sk+1=kk+ +12,

故 n=k+1 时结论也成立.

综上,由(i)、(ii)可知 Sn=n+n 1对所有正整数 n 都成立,

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n+n 1-n-n 1=n(n1+1),

又 n=1 时,a1=12=1×1 2,所以{an}的通项公式 an=n+n 1,n=1,2,3,…

点评:要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。

题型 8:复数的概念及性质

例 8.(1)(福建卷)设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是

A.ad-bc=0

B.ac-bd=0

C. ac+bd=0

D.ad+bc=0

(2)(北京卷)在复平面内,复数对应的点位于

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

解析:(1)复数=为实数,∴,选 D;

(2)解:故选 D;

点评:复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主

要考察复数的的分类和几何性质。

题型 9:复数的运算

例 9 . ( 1 ) ( 06 浙 江 卷 ) 已 知

m ? 1? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m ? ni ? ( 1? i

(A)1+2i

(B) 1-2i

(C)2+i

) (D)2-i

(2)(湖北卷)设为实数,且,则



解析:(1) m ? 1? ni ? m ? ?1? n? ? ?1? n?i ,由、是实数,得,
1? i
∴,故选择 C。

(2) x ? y ? x(1? i) ? y(1? 2i) ? ( x ? y ) ? ( x ? 2 y )i ,

1?i 1?2y 2

5

25 2 5

而 所以,解得 x=-1,y=5,
所以 x+y=4。 点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。

题型 10:框图 例 10.(1)方案 1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决
定生产数量; 方案 2:商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈,
因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。 (2)公司人事结构图 解析:(1)方案 1:派出调研人员赴北京、上海、广州调研,待调研人员回来后决
定生产数量。
方案 2: 商家如战场!抓紧时间搞好调研,然后进行生产,调研为此项目的的瓶颈, 因此需要添加力量,齐头并进搞调研,以便提前结束调研,尽早投产使产品占领市场。
于是:
(2)
点评:建立合理的结构图和流程图解决实际问题,要形成良好的书写习惯遵循从上 到下、从左到右的规则。 五.思维总结
1.简易逻辑的重点内容是有关“充要条件”、命题真伪的试题。主要是对数学概念 有准确的记忆和深层次的理解,试题以选择题、填空题为主,难度不大,要求对基本知

识、基本题型,求解准确熟练; 2.推理证明题主要和其它知识结合到一块,属于知识综合题,解决此类题目时要建
立合理的解题思路; 3.高考对于复数的考察主要以复数的四则运算为主,按新课标的要求高考将不再考
察共轭复数、复数的模等知识点; 4.框图属于新增内容,将以考察考生的实际应用能力为主,考查考生的知识迁移能
力。


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