高二(理科)期末考试数学试题

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高二(理科)期末考试数学试题
金台高级中学
一.选择题(每小题 5 分,满分60 分) 1.设 l , m , n 均为直线,其中 m , n 在平面 a 内 , 则 “ l ? ? ” 是 “ l ? m 且 l ? n ” 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 2.对于两个命题: ① ? x ? R , ? 1 ? sin x ? 1 , ② ? x ? R , sin x ? co s x ? 1 , 下列判断正确的是( ) 。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真
2 2

晁群彦


B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.与椭圆

x

2

? y

2

? 1 共焦点且过点 Q ( 2 ,1) 的双曲线方程是(



4 y
2

A. x ?
2

?1

B.

x

2

? y

2

?1

C.

x

2

? y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

2

4

2

3

3

4.已知 F1 , F 2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与 A , B 两点, 则 ? A B F 2 是正三角形,则椭圆的离心率是(
2 2
2



w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

A

B

1 2
0

C

3 3

D

1 3

5.过抛物线 y ? 8 x 的焦点作倾斜角为 4 5 直线 l ,直线 l 与抛物线相交与 A , B 两点, 则弦 A B 的长是( A 8 ) B 16
2 2 2 2

C 32
2

D

64

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6.在同一坐标系中,方程 a x ? b x ? 1与 ax ? by

? 0 ( a ? b ? 0 ) 的曲线大致是(



A. 7.已知椭圆
x a
2 2

B.
? y b
2 2

C.

D.

? 1(a ? b

>0) 的两个焦点 F1, 2, P 在椭圆上, ? P F1 F 2 的面积 最 F 点 则

大值一定是(



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A

a

2

B

ab

C a a ?b
2

2

D

b

a ?b
2

2

8.已知向量 a

? (1,1, 0 ), b ? ( ? 1, 0 , 2 ), 且 k a ? b与 2 a ? b
1
3

互相垂直,则实数 k 的值是(
7

)

A.1

B. 5
? A1 B1 C 1 D 1

C.

5

D. 5
A1 B

9.在正方体 A B C D (
5

中, E 是棱 A1 B 1 的中点,则



D1 E

所成角的余弦值为


10 5 10

A. 1 0

B.
2

10

C.
2

5

D.

5

10.若椭圆 mx

? ny

? 1( m ? 0 , n ? 0 ) 与直线 y ? 1 ? x

交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点

2

n

的连线的斜率为
A. 2 9

2

,则 m 的值是(
B. 2 2       C.

)
3        2 D 2 .

2      

2 1 1 . 过 抛 物 线 x ? 4 y 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 P1 ? x 1 , y 1 ?, P2 ? x 2 , y 2 ? 两 点 , 若

y 1 ? y 2 ? 6 ,则 P1 P2 的值为 (

) C.8 D.10

A.5

B.6

12.以

x

2

?

y

2

=1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为





4

12
2

A.

x

2

?

y

? 1?

B.

x

2

?

y

2

? 1?

C.

x

2

?

y

2

? 1?

D.

16

12

12

16

16

4

二.填空题(每小题4分) 1 3 . 已 知 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 , 对 平 面 ABC 外 一 点 O , 给 出 下 列 表 达 式 :
OM ? x OA ? y OB ? 1 3 OC

其中 x,y 是实数,若点 M 与 A、B、C 四点共面,则 x+y=___ 14.斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,则 于___
2 15.若命题 P:“ ? x>0, ax ? 2 ? 2 x ? 0 ”是真命题 ,则实数 a 的取值范围是___.

AB



16.已知 ? A O B ? 9 0 ? , C 为空间中一点,且 ? A O C
A O B 所成角的正弦值为___.

? ? BO C ? 60?

,则直线 O C 与平面

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三.解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。 ) 17. (本小题满分 14) 设命题 P : " ? x ? R , x ? 2 x ? a " ,命题 Q : " ? x ? R , x ? 2 a x ? 2 ? a ? 0 " ;
2 2

如果“ P 或 Q ”为真,“ P 且 Q ”为假,求 a 的取值范围。

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18. (15分) 如图①在直角梯形 ABCP 中, BC∥AP, AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F,G 分别 是线段 PC、PD,BC 的中点,现将 ΔPDC 折起,使平 面 PDC⊥平面 ABCD(如图②) (Ⅰ)求证 AP∥平面 EFG; (Ⅱ)求二面角 G-EF-D 的大小; (Ⅲ)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ, 试给出证明.

19.(15分) 如图,金砂公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. A (Ⅰ)设 AD= x ,DE= y ,求 y 关于 x 的函数关系式; x E (Ⅱ) 如果 DE 是灌溉水管, 我们希望它最短, DE 的位置应在哪里? 则 y 请予以证明. D B C

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20(本小题满分 15分) 设 F1 , F 2 分别为椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右两个焦点.

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A (1, ) 到 F 1 , F 2 两点的距离之和等于 4,
2

3

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点, Q ( 0 , ), 求 | PQ | 的最大值
2 1



21(本小题满分 15分) 如图,设抛物线 C: x ? 4 y 的焦点为 F, P ( x 0 , y 0 ) 为抛物线上的任一点(其中 x 0 ≠0) ,
2

过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点. (Ⅰ)证明: FP ? FQ ;
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y A

(Ⅱ)Q 点关于原点 O 的对称点为 M,过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A、B 两点,若 AM ? ? MB ( ? ? 1) ,求 ? 的值. B O Q x
M F

P

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高二(理科)期末考试数学试题参考答案及评分标准
一.选择题:ABCCB DCBDB DD
2

二、填空题:13.

3

13.8 14. ( ?? , 4 )

15详解:由对称性点 C 在平面 A O B 内的射影 D 必在 ? A O B 的平分 线上作 D E ? O A 于 E ,连结 CE 则由三垂线定理 CE
DE ? 1
CD ?

? OE

,设

? O E ?1, O D ?

2

,又

? C O E ? 6 0 , C E?

?

O E ?

O E2 ?

,所以

OC ? OD
2

2

?

2

,因此直线 O C 与平面 A O B 所成角的正弦值

sin?C O D ?

2 2

,本题亦可用向量法。16. y ? ex

三.解答题:
17解:命题 P : " ? x ? R , x ? 2 x ? a "
2

即 x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ? a 恒成立 ? a ? ? 1
2 2

…………3 分

命题 Q : " ? x ? R , x ? 2 a x ? 2 ? a ? 0 "
2

即方程 x ? 2 a x ? 2 ? a ? 0 有实数根
2

∴ ? ? (2a ) ? 4(2 ? a ) ? 0 ? a ? ?2 或 a ? 1
2

.…………6 分 …………8 分 …………10 ………14

∵“ P 或 Q ”为真,“ P 且 Q ”为假,∴ P 与 Q 一真一假 当 P 真 Q 假时, ? 2 ? a ? ? 1 ;当 P 假 Q 真时, a ? 1 ∴ a 的取值范围是 ( ? 2, ? 1) ? [1, ? ? ) 18(14 分)解法一: (Ⅰ)在图②中 ∵平面 PDC⊥平面 ABCD,AP⊥CD ∴ PD⊥CD,PD⊥DA ∴PD⊥平面 ABCD 如图. 以 D 为坐标原点, 直线 DA、 DC、 分别为 x、 y DP 与 z 轴建立空间直角坐标系: …………………1 分 则
D ?0 , 0 , 0 ?

A ?2 ,0 ,0 ?

B ?2 , 2 ,0 ?

C ?0 , 2 , 0 ?

P ?0 , 0 , 2 ?

E ? 0 ,1,1 ? F ? 0 , 0 ,1 ? G ?1, 2 , 0 ?

? AP ? ? ? 2 , 0 , 2 ?

EF ? ? 0 , ? 1, 0 ?

FG ? ?1, 2 , ? 1 ?

………………3 分

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设平面 GEF 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,由法向量的定义得:
? n ? EF ? 0 ? ( x, y, z ) ? ( 0 , ? 1, 0 ) ? 0 ?y ? 0 ?y ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? FG ? 0 ? ( x, y, z ) ? (1, 2 , ? 1 ) ? 0 ?x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? z ?

不妨设 z=1,



n ? (1, 0 ,1 )

………………………………4 分 ………………………………5 分

AP ? n ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 2 ? 0

? AP ? n ,点 P ? 平面 EFG

∴AP∥平面 EFG ………………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 GEF 的法向量 n ? (1, 0 ,1) ,因平面 EFD 与坐标平面 PDC 重合 则它的一个法向量为 i =(1,0,0)………………………………8 分 设二面角 G
? EF ? D

为 ? .则

n ?i cos ? ? n ?

1 2?

?

2 2

…………9 分

由图形观察二面角 G ? EF ? D 为锐角,故二面角 G-EF-D 的大小为 45° 。………10 分 (Ⅲ)假设在线段 PB 上存在一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ, ∵P、Q、D 三点共线,则设 DQ ∴ DQ
? ( 2t ,2t ,2 ? 2t )

? (1 ? t ) DP ? t DB

,又 DB

? ?2 , 2 ,0 ?

, DP

? ?0 , 0 , 2 ?

,又 DA

? ?0 , 0 , 2 ?

…………11 分

若 PC⊥平面 ADQ,又 PC

? (0 ,2,? 2 )



? PC ? DA ? 0 ? ( 0,2,-2 ) ? ( 2 , 0 , 0 ) ? 0 1 ? ? ? ? 2 ? 2t ? 2(2 ? 2t ) ? 0 ? t ? ? 2 ? ( 0,2,-2 ) ? ( 2 t , 2 t , 2 ? 2 t ) ? 0 ? PC ? DQ ? 0 ?

…………15分

2 ∴ , ………………………………13 分 故在线段 PB 上存在一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,且点 Q 为线段 PB 的中点。……15分 解法二: (1)∵EF∥CD∥AB,EG∥PB,根据面面平行的判定定理 ∴平面 EFG∥平面 PAB,又 PA ? 面 PAB,∴AP∥平面 EFG ……………………4 分 (2)∵平面 PDC⊥平面 ABCD,AD⊥DC ∴AD⊥平面 PCD,而 BC∥AD,∴BC⊥面 EFD 过 C 作 CR⊥EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR,根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角,∵GC=CR,∴∠GRC=45° , 故二面角 G-EF-D 的大小为 45° 。 …………………8 分 (3)Q 点为 PB 的中点,取 PC 中点 M,则 QM∥BC,∴QM⊥PC 在等腰 Rt△ PDC 中,DM⊥PC,∴PC⊥面 ADMQ ……………………15分

DQ ?

1

( DP ? DB )

19(14 分)解: (1)在△ ADE 中, y 2= x 2+AE2-2 x · cos60° AE·
? y 2= x 2+AE2- x · AE,① 1 1
2
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…………………2 分
3 2 a

2

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又 S△ ADE= S△ ABC= ·
( 2 x )

2=
2

? x · sin60° x · AE· AE=2.②

……4 分

②代入①得 y 2= x 2+

-2( y >0), ∴ y =

x ?
2

4 x
2

?2

………6 分

又 x ≤2,若 x ? 1 ,
x ?
2

AE ?
4 x
2

2

? 2 x 1 x,矛盾,所以 ≥

?2



y



(1≤ x ≤2).
2

………………………7 分
?2 ≥
2?2 ? 2 ? 2,

(2)如果 DE 是水管 y = x ?
4

4 x
2

………………10 分

2 当且仅当 x 2= x ,即 x = 2 时“=”成立,

…………………………15分 ………………………………15分

故 DE∥ BC,且 DE= 2 . 20解: (Ⅰ)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,

由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2. …….2 分
3 2 1 2
x
2
2

又点 A (1, ) 在椭圆上 , 因此
y
2

?

3 2 ( ) 2 b
2

? 1得 b

2

? 3 , 于是 c

2

? 1 . …….4 分

所以椭圆 C 的方程为

?

4 x
2

3 y
2

? 1, 焦点 F 1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 ).

…….6 分

(Ⅱ)设 P ( x , y ), 则
1 2 ? ? 1 3 (y ? 3 2 ) ?5
2

?

?1? x

2

? 4?

4 3

y

2

…….8 分
1 3 y ? y?
2

4

3

| PQ | ? x ? ( y ?
2 2

) ? 4?
2

4 3

y ? y ? y?
2 2

1 4

? ?

17 4

…….10 分 …….12 分

又? ? 3 ? y ?

3 ?当y ? ?

3 2

时 , | PQ | max ?
|? y 0 ? 1

5

…….15分

21解: (Ⅰ)证明:由抛物线定义知 | PF
k PQ ? y ? | x ? x ?
0



x0 2


x0 2 ( x ? x0 ) ,

可得 PQ 所在直线方程为 y ? y 0 ? ∵ y0 ?
x0 4
2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

∴得 Q 点坐标为(0, ? y 0 )
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∴ | QF |? y 0 ? 1 ∴ |PF|=|QF| (Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),又 M 点坐标为(0, y0) ∴AB 方程为 y ?
x0 2 x ? y0

…….8 分。

2 ? x ? 4y ? 2 由? 得 x ? 2x0 x ? 4 y0 ? 0 x0 y ? x ? y0 ? 2 ?

∴ x 1 ? x 2 ? 2 x 0 , x 1 x 2 ? ? 4 y 0 ? ? x 0 ……①
2

…….10 分。

由 AM

? ? MB

得: ( ? x 1 , y 0 ? y 1 ) ? ? ? ( x 2 , y 2 ? y 0 ) , ……②
2 2 2

∴ x1 ? ? ? x 2 由①②知 ?
?
2

…….12 分。

? (1 ? ? ) x 2 ? 2 x 0

?x 2 ? x0
2

2

,得 (1 ? ? ) x 2 ? 4 ? x 2 ,由 x0≠0 可得 x2≠0, …….15分。

∴ (1 ? ? ) ? 4 ? ,又 ? ? 1 ,解得: ? ? 3 ? 2 2 .

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