3.2.1立体几何中的向量方法一:平行和垂直-数学选修2-1_图文

3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量 一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量 ?l A? P a 直线l的向量式方程 AP ? t a 2、平面的法向量 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 l 平面 α的向量式方程 a a AP ? 0 ? P A 例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,_0_,0__) __ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1__) ___ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___(-_1_,_-1__,1_)__ z O1 C1 A1 B1 o A x C y B 例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6) 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) 则 n ? AB ,n ? AC .∵ AB ? (?3, 4, 0) , AC ? (?3, 0, 2) ∴ ?( ??( x, x, y, y, z) z) ? ? (?3, (?3, 4, 0, 0) 2) ? ? 0 0 即 ? ?3 x ?? ?3 x ? ? 4y 2z ? ? 0 0 取 x ? 4,则 n ? (4, 3, 6) ∴ ? ?? ? ? ?? y z ? ? 3 4 3 2 x x ∴ n ? (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量. 总结:如何求平面的法向量 ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ? (a1,b1,c1),b ? (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 组 ?? ? n ? a ? 0 ??n ? b ? 0 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 练习 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC 的中点, 求平面EDB的一个法向量. 解:如图所示建立空间直角坐标系. Z 依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1), P 11 E(0, , ) B(1,1,0) 22 DE ? (0, 1 , 1 ) DB =(1,1,0) 22 设平面EDB的法向量为 n ? (x, y,1) D 则n ? DE, n ? DB A 于是 ? ? ? 1 2 y ? 1 2 ? 0 ? n ? ?1, ??x ? y ? 0 ?1, 1? X E C Y B 用向量方法解决立体问题 因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置,所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系. 二、 立体几何中的向量方法 ——证明平行与垂直 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面?, ? 的法向量分别为 u, v ,则 (一). 平行关系: (1) l / /m ? a / /b ? a ? ? b ; a l b m 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面?, ? 的法向量分别为 u, v ,则 (2) l / /? ?① a ? u ? a ? u ? 0 ; u a α ? ② a∥AC ? ③ a ? x AB ? y AD 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面?, ? 的法向量分别为 u, v ,则 (3) ? / /? ? ① u / /v ? u ? ?v. u α v β ? u?? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面?, ? 的法向量分别为 u, v ,则 (二)、垂直关系: (1) l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 l a b m 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面?, ? 的法向量分别为 u, v ,则 (2) l ? ? ? a // u ? a ? ? u l a ? A u C B 设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b , 平面?, ? 的法向量分别为 u, v ,则 (3)? ? ? ? u ? v ? u? v ? 0 β uv α 例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行 已知 直线l与m相交, l ? ?, m ? ?, l∥? , m∥? 求证?∥? . a αb um l 证明 取l,m的方向向量a,b v 取?,?的法向量u, v. β l∥? , m∥? ? a ? v, b ? v ?v ?? 又 ? ?? ? ?∥?. 例2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方 形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的 中点,DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证:AE//FG. 证 :如图所示, 建立 Z 空间直角坐标系. A(6,0,0), P E(3,3,3), F(2,2,0), G(0,4,2), 几何法呢? AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2) AE = 3 FG AE // FG EG 2 AE//FG D A F C Y B X 例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正 方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点

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