苏教版高中数学必修5-1.3《正弦定理、余弦定理的应用(第2课时)》教学教案

1.3 正弦定理、余弦定理的应用 【三维目标】: 一、知识与技能 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题; 2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式 解决这些问题。 二、过程与方法 本节课是解三角形应用举例的延伸,利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何 和物理上的问题。 三、情感、态度与价值观 1.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力,进一步培养学 生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力; 2.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生的 探索精神。 【教学重点与难点】: 重点:利用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决一些几何和物理上的问题。 难点:利用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题。 【学法与教学用具】: 1. 学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用,有些题目只选用其一, 或两者混用,这当中有很大的灵活性,需要对原来所学知识进行深入的整理、加工,鼓励一题 多解,训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示,利用动态效果,能使学生更好地明 辨是非、掌握方法。 2. 教学用具:直尺、多媒体、实物投影仪 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1 课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 总结解斜三角形的要求和常用方法: (1)利用正 弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题: ①已知两角和任一边,求其它两边和一角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求其它的边和角. (2)应用余弦定理解以下两类三角形问题: ①已知三边求三内角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角。 二、研探新知,质疑答辩,排难解惑,发展思维 例 1(教材 P21 第 8 题)如图,有两条相交成 60 角的直线 XX ? 、YY ?,交点是 O ,甲、乙 分别在 OX 、 OY 上,起初甲离 O 点 3 千米,乙离 O 点1千米,后来两人同时用每小时 4 千米的 速度,甲沿 XX ? 方向,乙沿Y ?Y 方向步行。 Y (1)起初,两人的距离是多少? Q? (2 )用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短? 解:(1)设甲、乙两人起初的位置是 A 、 B , B? X? P? O A? X 则 AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA?OB cos 60 Y? ? 32 ?12 ? 2?3?1? 1 2 ?7 ∴起初,两人的距离是 7 。 (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q ,则 AP ? 4t , BQ ? 4t , 当 0 ? t ? 3 时, PQ2 ? (3 ? 4t)2 ? (1? 4t)2 ? 2(3 ? 4t)(1? 4t) cos 60 ? 48t2 ? 24t ? 7 ; 4 当 t ? 3 时, PQ2 ? (4t ? 3)2 ? (1? 4t)2 ? 2(4t ? 3)(1? 4t) cos120 ? 48t2 ? 24t ? 7 , 4 所以, PQ ? 48t2 ? 24t ? 7 。 (3) PQ2 ? 48t2 ? 24t ? 7 ? 48(t ? 1)2 ? 4 , 4 ∴当 t ? 1 时,即在第15 分钟末, PQ 最短。 4 答:在第15 分钟末,两人的距离最短。 例 2(教材 P19 例 3)作用在同一点的三个力 F1, F2 , F3 平衡.已知 F1 ? 30N , F2 ? 50N ,F1 与 F2 之间的夹角是 60 ,求 F3 的大小与方向(精确到 0.1 )。 解: F3 应和 F1, F2 合力 F 平衡,所以 F3 和 F 在同一直线上,并且大小相等,方向相反。如 图,在 ?OF1F 中,由余弦定理,得 F ? 302 ? 502 ? 2?30?50cos120 ? 70? N ? 。 再由正弦定理,得 sin ?F1OF ? 50 sin 120 70 ?5 3。 14 所以 ?F1OF ? 38.2 ,从而 ?F1OF3 ? 141.8 。 答 F3 为 70N , F3 与 F1 之间的夹角是141.8 。 本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用,教学时可作如下分析:由图根据余弦定 理可求出 OF ,再根据正弦定理求出 ?F1OF 。 例 3(教材 P19 例 4)如图 1-3-4,半圆 O 的直径为 2 , A 为直径延长线上的一点,OA ? 2 , B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC 。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大? 分析:四边形的面积由点 B 的位置唯一确定,而点 B 由 ?AOB 唯一确定,因此可 设 ?AOB ? ? , 再用? 的三角函数来表示四边形 OACB 的面积。 解:设 ?AOB ? ? .在 ?AOB 中,由余弦定理,得 AB2 ? 12 ? 22 ? 2?1? 2cos? ? 5 ? 4cos? 。 于是,四边形 OACB 的面积为 S ? S?AOB ? S?ABC ? 1 OA?OB sin? ? 3 AB2 2 4 ? 1 ? 2?1? sin? ? 3 ?5 ? 4 cos? ? 2 4 ? sin? ? 3 cos? ? 5 3 4 ? 2 sin ???? ? ? 3 ? ?? ? 5 4 3 因为 0 ? ? ? ? ,所以当? ? ? ? ? 时,? ? 5 ? ,即 ?AOB ? 5 ? 时,四边形 OACB 的面积 32 6 6 最大。 对于本例,教学中可引导学生分析得到四边形 OACB 的面积随着? ??AOB? 的变化而变 化,这样将四边形 OACB 的面积表示成? 的函数

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