惠州市2018届高三第一次调研考试(理数)


惠州市 2018 届高三第一次调研考试 数学(理科)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答 题卡上。 2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本 试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. (1)已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? { y | y ? 2x } ,则 M ? N ? ( A. (0, 2] B. (0, 2) C. [0, 2] D. [2, ??) ) )

(2)已知 a 是实数, i 是虚数单位,若 A. 1 B. ?1

a ?i 是纯虚数,则 a =( 1? i
C.

2

D. ? 2 )

(3)从 0,1,2,3,4 中任选两个不同的数字组成一个两位数,其中偶数的个数是( A.6 B.8 C.10 D.12 (4)已知定义域为 R 的偶函数 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数,且 f (1) ? 2 , 则不等式 f (log2 x) ? 2 的解集为( A. (2, ??) B. (0, ) ? (2, ??) )

1 2

C. (0,

2 ) ? ( 2, ??) 2

D. ( 2, ??)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (5)点 P?x, y ?为不等式组 ?3 x ? y ? 8 ? 0 所表示的平面区域内的动点, ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
y 的最小值为( ) x 1 A. ? B. ? 2 2
则 (6)设命题

C. ? 3

D. ?

1 3

p :若定义域为 R 的函数 f ( x) 不是偶函数,则 ?x ? R , f (? x) ? f ( x) .

q 命题 : f ( x) ? x | x | 在 (??, 0) 上是减函数,在 (0, ??) 上是增函数.
则下列判断错误的是( )

1

A.

p 为假

B.

q 为真

C.

p ∨ q 为真

D.

p ∧ q 为假

(7)已知函数 f ( x) ? 3cos(? x ? )( ? ? 0) 和 g ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1 的图象的对称轴完全相 3 同,若 x ?[0, ] ,则 f ( x) 的取值范围是( 3 A. [?3,3]

?

?

) C. [ ?3,

3 B. [? ,3] 2

3 3 ] 2

3 D. [?3, ] 2

) , ( 8 ) 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 中 的 坐 标 分 别 是 (0,0,0),(1,0,1
1 (0,1,1), ( ,1, 0) ,绘制该四面体三视图时, 正视图的方向如下图所示, 2
则得到左视图 可以为( ...
z



o x
正(主)视方向

y

A

B

C

D

(9)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵 爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个 全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用

2 ? 勾 ? 股 ? ?股 — 勾?2 ? 4 ? 朱实 ? 黄实 ? 弦实,化简得:勾 2 ? 股 2 ? 弦

2

.设勾股形中勾股比为 1 : 3 ,若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉(大小 )

朱 黄 朱 朱

忽略不计) ,则落在黄色图形内的图钉数大约为( A.866 B.500 C.300 D.134

?

3 ? 1.732

?

(10)已知函数 y ? f ?x ?的定义域为 R ,且满足下列三个条件: ①对任意的 x1 , x2 ? ?4, 8?,当 x1 ? x 2 时,都有 ② f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ;

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 恒成立; x1 ? x2

③ y ? f ?x ? 4? 是偶函数; )

若 a ? f ?6? ,b ? f ?11?,c ? f ?2017? ,则 a, b, c 的大小关系正确的是( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. c ? b ? a

( 11 )已知三棱锥 S ? ABC , ?ABC 是直角三角形,其斜边 AB ? 8, SC ? 平面 ABC,

SC ? 6 ,则三棱锥的外接球的表面积为( ) A. 64? B. 68? C. 72?
2

D. 100?

(12)已知 F1 , F2 分别是双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点,过其中一个焦点与双曲线 a 2 b2

的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆 内,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1, 2) B.(2, +∞) ) C. (1, 2) D. ( 2, ? ?)

二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的结果为

. .

开始

2 6 (14)二项式 ( x ? ) 展开式中的常数项是 x
(15)已知正方形 ABCD 的中心为 O 且其边长为 1, 则 OD ? OA ? BA ? BC ?

S ? 0, i ? 1
i ? 6?




?

??

?



( 16 ) 已 知 a , b , c 是 ?ABC 的 三 边 , a ? 4 ,

i ?i?2 S ? S ? 2i

输出S 结束

b ? (4, 6) , sin 2 A ? sin C , 则 边 c 的 取 值 范 围
是 .

三.解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题,每个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 (17)(本小题满分 12 分) 在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a1 , a4 , a8 成等比数列. (1)已知数列 ?an ? 的前 10 项和为 45,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 1 1 ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? ? , 9 n?9 an an?1

求数列 ?an ? 的公差. (18) (本小题满分 12 分) 已知圆柱 OO1 底面半径为 1,高为 ? ,ABCD 是圆柱的一个轴截面,动点 M 从点 B 出发沿着 圆柱的侧面到达点 D,其距离最短时在侧面留下的曲线 l 如图所示.将轴截面 ABCD 绕着轴
OO1 逆时针旋转 ? (0 ? ? ? ? ) 后,边 B1C1 与曲线 l 相交于点 P.
D

O1
D1

C1
C

(1)求曲线 l 长度; (2)当 ? ?

?
2

时,求点 C1 到平面 APB 的距离.

P

A

3

O

?

B1

B

A1

(19) (本小题满分 12 分) 近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大, 科学技术得到迅猛发展, 国内企业的国际竞 争力得到大幅提升。伴随着国内市场增速放缓,国内有实力企业纷纷进行海外布局,第二轮 企业出海潮到来。例如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直 默默拓展海外市场,在海外共设 30 多个分支机构,需要国内公司外派大量 70 后、 80 后中 青年员工。 该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度, 按分层抽样的方式 从 70 后和 80 后的员工中随机调查了 100 位,得到数据如下表: 愿意被外派
70 后

不愿意被外派

合计

20 20 40 40 20 60 80 后 60 40 100 合计 (1)根据调查的数据,是否有 90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”,并说明
理由; (2) 该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动, 拟安排 6 名参与调查的 70 后、80 后 员工参加。 70 后员工中有愿意被外派的 3 人和不愿意被外派的 3 人报名参加,从中随机选 出 3 人,记选到愿意被外派的人数为 x ; 80 后员工中有愿意被外派的 4 人和不愿意被外派 的 2 人报名参加,从中随机选出 3 人,记选到愿意被外派的人数为 y ,求 x ? y 的概率. 参考数据:

P( K 2 ? k )
k
参考公式: K ?
2

0.15
2.072

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(20) (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C : 点 A 且斜率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2, 0) ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 a 2 b2
y M

1 的直线与 y 轴交于点 P ,与椭圆交于另一个点 2

B ,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1 .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 P 且斜率大于

F1 O
P B N

F2

A x

1 的直线与椭圆交于 M, N 两点 2

( | PM |?| PN | ) ,若 S?PAM : S?PBN ? ? ,求实数 ? 的取值范围.

4

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ln x (其中 a 是实数) . (1)求 f ( x) 的单调区间;

1 20 (2)若 2(e ? ) ? a ? ,且 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , e 3
求 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围. (其中 e 为自然对数的底数) .

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的 第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 (22)(本题满分 10 分)[选修 4-4:坐标系与参数方程]

3 ? x ? 2 ? t ? 5 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 以坐标原点为极点, 4 ? y ? ?2 ? t 5 ?
以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos? ? tan ? . (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;
1 1 π? ? ? (2)若 C1 与 C2 交于 A,B 两点,点 P 的极坐标为 ? 2 2, ? ? ,求 的值. |PA | | PB | 4? ?

(23)(本题满分 10 分)[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 , g ( x) ? x ? a ? x ? a . (1)解不等式 f ( x) ? 9 ; (2) ?x1 ? R, ?x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 a 的取值范围.

5

数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 D 12 A

1【解析】依题意得 M ? [?1, 2] , N ? (0, ??) ? M ? N ? (0, 2] . a ?i a ? ?b, 2【解析】设 解得 a =1, 选择 A =bi (b ? 0) ,则 a ? i=(1 ? i)bi= ? b ? bi ,所以 b ? ?1, 1? i 3【解析】由题意,末尾是 0,2,4,末尾是 0 时,有 4 个;末尾是 2 时,有 3 个;末尾是 4 时,有 3 个,所以共有 4+3+3=10 个,故选 C. 4【解析】 f ( x) 是 R 的偶函数,在 (??, 0] 上是减函数,所以 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,

?

所 以

f2 ? f ( | 1 2 l ) o x? g 1 log2 x ? ?1 ? x ? 2 或 0 ? x ? . 答案 B. 2

f ( l 2o x g ? ?)

f| ) ?| l ( x1? g) 2o

| l1 ? o2 x g?

或1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5 【解析】 如图所示,不等式组 ?3 x ? y ? 8 ? 0 所表示的平面区域为图 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
中阴影部分.由 ?

?x ? 3 ?3x ? y ? 8 ? 0 y 可得 ? ,故 A?3,?1? . 的 x ? y ? ?1 ?x ? 2 y ? 1 ? 0
1 . 3
p 为假;

几何意义为直线 OP 的斜率,故当点 P 与点 A 重合时直线 OP 的斜率 的最小,此时 k OP ? ?

6【解析】函数 f ( x) 不是偶函数, 仍然可 ?x, 使f (- x) ? f ( x) ,

? x 2 (x ? 0) ? f ( x) ? x | x |? ? 2 ? ? ? x (x ? 0)

在 R 上都是增函数, q 为假; 以 p∨q 为假,选 C.

7 【解析】 因为函数 f(x)和 g(x)的图象的对称轴完全相同, 故 f(x)和 g(x)的周期相同, 所以? =2,

? ? ? ? f ( x) ? 3cos(2 x ? ) ,由 x ?[0, ],得 2 x ? ? [ ,? ],根据余弦函数的单调性,当 3 3 3 3 ? ? ? 3 ? 2 x ? ? ? ,即 x ? 时,f (x)min= ?3 ,当 2 x ? ? ,即 x ? 0 时,f (x)max= ,所以 f (x)
3 3 3 3 2 3 的取值范围是 [?3, ] ,选择 D. 2
8【解析】满足条件的四面体如左图,依题意投影到 yOz 平面为正投影,所以左(侧)视方 向如图所示,所以得到左视图效果如右图,故答案选 B.

6

9【解析】设勾为 a ,则股为 3a , ∴ 弦为 2 a ,小正方形的边长为 3a ? a .所以图中 大正方形的面积为 4a ,小正方形面积为
2

?

3 ? 1 a 2 ,所以小正方形与大正方形的面积

?

2

比 为

?

3 ?1 3 ∴ 落 在 黄 色 图 形 ( 小 正 方 形 ) 内 的 图 钉 数 大 约 ? 1? 4 2
3? ? ? 1000 ? 134 . 2 ? ?

?

2

为 ?1 ?

? ? ?

10 【 解 析 】 由 ① 知 函 数 f ?x ? 在 区 间 ?4, 8? 上 为 单 调 递 增 函 数 ; 由 ② 知

f ?x ? 8? ? ? f ?x ? 4? ? f ?x? , 即 函 数

f ?x ? 的 周 期 为 8

, 所 以

c ? f ?2017? ? f ?252? 8 ? 1? ? f ?1? , b ? f ?11? ? f ?3? ;由③可知 f ?x ? 的图象关于直线
x ? 4 对称,所以 b ? f ?11? ? f ?3? ? f ?5? , c ? f ?1? ? f ?7? ;因为函数 f ?x ? 在区间 ?4, 8?
上为单调递增函数,所以 f ?5? ? f ?6? ? f ?7? ,即 b ? a ? c

11【解析】本题考查空间几何体的表面积.三棱锥
在的外接球 ;所以三棱锥的外接球的直径 R=5;所以三棱锥的外接球的表面积

所在长方体的外接球,即三棱锥所 , 即三棱锥的外接球的半径 .选 D.

12 【解析】如图 1 ,不妨设 F1 (0, c), F2 (0, ?c) ,则过 F1 与渐近线 y ?

a x 平行的直线为 b

y?

a x?c, b

a bc ? ? ? y ? b x ? c, ? x ? ? 2a , bc c 联立 ? 解得 ? 即 M (? , ) a c 2a 2 ?y ? , ? y ? ? x, ? 2 b ?
因 M 在以线段 F1F2 为直径的圆 x2 ? y 2 ? c2 内,

bc 2 c 2 ) ? ( ) ? c2 ,化简得 b2 ? 3a 2 , 2a 2 c 即 c 2 ? a 2 ? 3a 2 ,解得 ? 2 ,又双曲线离心率 a c e ? ? 1 ,所以双曲线离心率的取值范围是(1,2). 选择 A. a
故 (? 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
7

13. 30

14.240

15. 1

16. (4 2 ,2 10)

13. 【解析】第一次,i=1,满足条件,i<6,i=1+2=3,S=6, 第二次,i=3,满足条件,i<6,i=3+2=5,S=6+10=16, 第三次,i=5,满足条件,i<6,i=5+2=7,S=16+14=30, 第四次,i=7,不满足条件 i<6,程序终止, 输出 S=30,故答案为:30

(x ?
14. 【解析】二项式

2 x

)6
展开式的通项公式为

Tr ?1 ? C 2 x
r 6 r

3 6? r 2

,令

6?

3 r?0 2 ,求得

r ? 4 ,所以二项式

(x ?

a 6 ) x 展开式中的常数项是 C 4 ×24=240.
6

15.【解析】 OD ? OA ? BA ? BC ? AD ? BD ? 1? 2 ? cos45? ? 1 16. 【解析】由正弦定理
2 2

?

??

?

4 c 4 c ? ? ,? ,? c ? 8 cos A , sin A sin C sin A sin 2 A
2 2 2

由余弦定理 16 ? b ? c ? 16bccos A ,?16 ? b ? 64cos A ? 16b cos A

cos2 A ?

4?b 16 ? b2 (4 ? b)(4 ? b) 4 ? b 2 2 ? 16 ? 4b , c ? 64 cos A ? 64 ? ? ? 16 64 ? 16b 16(4 ? b) 16
2

由 b ? (4, 6) , 32 ? c ? 40 ,? 4 2 ? c ? 2 10 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 【解】 (1)设数列 {a n } 的公差为 d( d ? 0 ) , 由 a1 , a4 , a8 成等比数列可得 a42 ? a1 ? a8 , 即 (a1 ? 3d ) ? a1 ? (a1 ? 7d ) , 得 a1 ? 9d ……4
2

分 由 数 列 ?an ? 的 前 10 项 和 为 45 得 10a1 ? 45d ? 45 , 即 90 d ? 45 d ? 45 , 所 以

1 d ? , a1 ? 3 . 3
故数列 {a n } 的通项公式为: a n ? 3 ? (n ? 1) ? (2)因为 bn ?

1 n?8 ? . 3 3

…………8 分

1 1 1 1 ? ( ? ), an an?1 d a n a n ?1

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和为

Tn ?

1 d

? 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 )? ? ( ? ), ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? a 2 a3 a n a n ?1 ? d a1 a n ?1 ? a1 a 2
8

即 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ? )? ( ? )? 2 ( ? )? ? d a1 a1 ? nd d 9d 9d ? nd d 9 9?n 9 9?n
…………12 分

因此

1 ? 1 ,解得公差 d ? ?1 或 1 . d2

18. (本小题满分 12 分) 【解】(1) l 在侧面展开图中为 BD 的长,其中 AB = AD = π, ∴ l 的长为 2? ; (2)当 ? ? …………………………3 分

?
2

时,建立如图所示的空间直角坐标系,……………………4 分

则有 A(0, ?1, 0) 、 B(0,1,0) 、 P(?1,0, ) 、 C1 (?1,0, ? ) ,……………………6 分 2 ??? ? ???? ? ??? ? ? ? AB ? (0, 2,0) 、 AP ? (?1,0, ) 、 OC1 ? (?1,0, ? ) ……………………8 分 2

?

z
D

O1
D1

C1
C

P

?2 y ? 0 ? ? 设平面 ABP 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ,……………9 分 ? ?x ? y ? z ? 0 ? ? 2
? 取 z = 2 得 n ? (? ,0, 2) ,……………………10 分
???? ? ? | OC1 ?n | ? ? ? 所以点 C1 到平面 PAB 的距离为 d ? ;……………………12 分 |n| ?2 ?4

A

O

?

B1

B

x

A1

y

注:本题也可以使用等积法求解. 19. (本小题满分 12 分) 【解】 (1) K 2 ?

n(ad ? bc)2 100 ? (20 ? 20 ? 40 ? 20)2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 60 ? 40
………4 分 …………5 分

?

400 ? 400 ?100 ? 2.778 ? 2.706 5760000

所以有 90% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关” (2)“ x ? y ”包含:“ x ? 0, y ? 1 ”、 “ x ? 0, y ? 2 ”、 “ x ? 0, y ? 3 ”、

“ x ? 1, y ? 2 ”、 “ x ? 1, y ? 3 ”、 “ x ? 2, y ? 3 ”六个互斥事件…………6 分
0 3 0 3 1 2 2 1 C3 C3 C4 C3 C3 C4 C2 C 4 12 且 P( x ? 0, y ? 1) ? , P( x ? 0, y ? 2) ? ? 3 ? ? 32 ? 3 3 C6 C6 400 C6 C6 400 0 3 1 2 3 0 2 1 C3 C3 C4 C3 C3 C4 C2 C2 108 4 , ? ? P ( x ? 1, y ? 2) ? ? ? 3 3 3 3 C6 C6 400 C6 C6 400 1 2 1 3 0 3 0 C3 C3 C4 C32C3 C2 C4 C2 36 36 , ? ? P ( x ? 2, y ? 3) ? ? ? 3 3 3 3 C6 C6 400 C6 C6 400

P( x ? 0, y ? 3) ?

P( x ? 1, y ? 3) ?

9

所以: P( x ? y ) ?

4 ? 12 ? 4 ? 108 ? 36 ? 36 200 1 ? ? . 400 400 2

…………12 分

20. (本小题满分 12 分) 【解】 (1)因为 BF 1 ? x 轴,得到点 B ( ?c, ?

b2 ), a

…………2 分

?a ? 2 ?a ? 2 ? 2 x2 y 2 1 ? ? b ? 1 . …………5 分 所以 ? ? ? ?b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程是 ? 4 3 a ( a ? c ) 2 ? ? ?c ? 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

1 PA ? PM ? sin ?APM S?PAM 2 2 ? PM PM ? (Ⅱ)因为 ? ? ??? ? (? ? 2) ……6 分 1 S?PBN 1 ? PN PN 2 PB ? PN ? sin ?BPN 2 ???? ? ???? ? 所以 PM ? ? PN . 由 (Ⅰ) 可知 P(0, ?1) , 设 MN 方程 : y ? kx ? 1 ,M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 2
8k ? x1 ? x2 ? 2 ? y ? kx ? 1 ? ? ? 4k ? 3 联立方程 ? x 2 y 2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 8kx ? 8 ? 0 .即得 ? (*) ? 8 ? ? 1 ?x ? x ? ? 1 2 3 ?4 ? 4k 2 ? 3 ?
又 PM ? ( x1 , y1 ? 1), PN ? ( x2 , y2 ?1) ,有 x1 ? ? 将 x1 ? ?

???? ?

??? ?

?
2

x2 ,

…………7 分

?
2

x2 代入(*)可得:

(2 ? ? )2

?

?

16k 2 . 4k 2 ? 3

…………8 分

因为 k ?

16k 2 16 1 ? ? (1, 4) , ,有 2 2 4k ? 3 3 ? 4 k2

…………9 分

则1 ?

(2 ? ? ) 2

?

? 4 且 ? ? 2 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 3 . (没考虑到 ? ? 2 扣 1 分) ………11 分
…………12 分

综上所述,实数 ? 的取值范围为 (4, 4 ? 2 3) . 注:若考生直接以两个极端位置分析得出答案,只给结果 2 分. 21. (本小题满分 12 分) 【解】 (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? a ?
2 2 令 g ( x) ? 2 x ? ax ? 2 , ? ? a ? 16 ,对称轴 x ?

2 2 x 2 ? ax ? 2 ? ,…….1 分 x x

a , g (0) ? 2 , 4

2 1)当 ? ? a ? 16 ≤0,即-4≤ a ≤4 时, f ?( x) ≥0

10

于是,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无单调递减区间.………………2 分 2)当 ? ? a 2 ? 16 >0,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, ①若 a ? ?4 , 则 f ?( x 无减区间. ……3 ) ? 0 恒成立,于是, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ?) , 分 ②若 a ? 4 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 , x2 ? , 4 4

当 x ? (0,x1 ) ? ( x2, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1,x2 ) 时, f ?( x) ? 0 . 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) .……4 分 综上所述:当 a? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无单调递减区间. 当 a ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) .…5 分 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , 若 f ( x ) 有 两 个 极 值 点 , 则 a ? 4 , 且 x1 ? x2 ?

a ? 0 , x1 x2 ? 1 , 2

?0 ? x1 ? 1 ? x2
2 又 ? 2x1 ? ax1 ? 2 ? 0 , a ? 2( x1 ?

1 20 1 1 1 1 , e ? ? x1 ? ? 3 ? , 又 ) , 2(e ? ) ? a ? e 3 e x1 3 x1

1 1 0 ? x1 ? 1,解得, ? x1 ? ……………………………………………7 分 3 e
2 2 于是, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ax1 ? 2 ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? 2 ln x2 )

x a 2 ? ( x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ln 1 2 x2 ? ?( x1 ? 1 1 1 ) ? ( x1 ? ) ? 4ln x1 ? 2 ? x12 ? 4ln x1 ……………………………………9 分 x1 x1 x1

?2( x 2 ? 1) 2 1 1 1 2 ? ? 0 恒成立, ) ,则 h ( x) ? 令 h( x) ? 2 ? x ? 4 ln x ( ? x ? x x3 2 e
? h( x )


1 1 ( , ) 3 e











1 1 ? h( ) ? h( x ) ? h( ) e 3





11

1 80 ? 4 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 4 ln 3 , 2 e 9 1 80 2 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围为 (e ? 2 ? 4, ? 4 ln 3) .…………………………12 分 e 9 e2 ?
22.(本小题满分 10 分) 【解】 (1)曲线 C1 的普通方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0; 曲线 C2 的直角坐标方程为: y ? x 2 . 5分 2分

3 ? x ? 2 ? t, ? ? 5 (t 为参数)代入 y ? x 2 得 (2) C1 的参数方程的标准形式为 ? 4 ? y ? ?2 ? t . ? 5 ?
9t 2 ? 80t ? 150 ? 0, 6 分

设 t1 , t2 是 A、 B 对应的参数,则 t1 ? t2 ?

80 50 ,t1t2 ? ? 0. 7 分 9 3 1 1 | PA | ? | PB | | t1 ? t2 | 8 ? ? ? ? ? . 10 分 | PA | | PB | | PA | ? | PB | | t1t2 | 15

23.(本小题满分 10 分)
1 ? ?3x, x ? 2 , ? 1 ? 【解】 (Ⅰ) f ( x) ? ?2 ? x, ?1 ? x ? , 2 ? ??3x, x ? 1. ? ?

2分

1 1 ? ? ? x ? , ??1 ? x ? , ? x ? ?1, f ( x) ? 9 等价于 ? 或 2 2 或? ? ??3x ? 0 ? ? ?3 x ? 9 ? 2 ? x ? 9
综上,原不等式的解集为 {x | x ? 3或x ? ?3}. (2)?| x ? a | ? | x ? a |? 2 | a | . 7分 5分

3分

1 3 由(Ⅰ)知 f ( x) ? f ( ) ? . 2 2
所以 2 | a |?

3 , 2

9分 10 分

3 3 实数 a 的取值范围是 [? , ]. 4 4

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